2016 Autumn Mathematics Exam Paper (Czech Republic)

MATEMATIKA MAMZD16C0T04 DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám Hranice úspěšnosti: 33 %...

MATEMATIKA MAMZD16C0T04 DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám Hranice úspěšnosti: 33 % Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. 1 Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte Povolené pomůcky: psací a rýsovací jej do záznamového archu. Pokud uvedete potřeby, Matematické, fyzikální a chemické pouze výsledek, nebudou vám přiděleny tabulky a kalkulátor bez grafického režimu, žádné body. bez řešení rovnic a úprav algebraických Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole výrazů. nebudou hodnoceny. U každé úlohy je uveden maximální počet Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište bodů. správné řešení. Odpovědi pište do záznamového archu. Poznámky si můžete dělat do testového 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám sešitu, nebudou však předmětem hodnocení. Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli Nejednoznačný nebo nečitelný zápis záznamového archu, a to přesně z rohu odpovědi bude považován za chybné do rohu dle obrázku. řešení. První část didaktického testu (úlohy 1–15) A B C D E tvoří úlohy otevřené. 17 Ve druhé části didaktického testu (úlohy 16–26) jsou uzavřené úlohy, které Pokud budete chtít následně zvolit jinou obsahují nabídku odpovědí. U každé úlohy odpověď, zabarvěte pečlivě původně nebo podúlohy je právě jedna odpověď zakřížkované pole a zvolenou odpověď správná. vyznačte křížkem do nového pole. Za neuvedené řešení či za nesprávné řešení úlohy jako celku se neudělují záporné A B C D E body. 17 2 Pravidla správného zápisu odpovědí Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí Odpovědi zaznamenávejte modře nebo a jejich oprav bude považován černě píšící propisovací tužkou, která píše za nesprávnou odpověď. dostatečně silně a nepřerušovaně. Pokud zakřížkujete více než jedno pole, Budete-li rýsovat obyčejnou tužkou, bude vaše odpověď považována následně obtáhněte čáry propisovací tužkou. za nesprávnou. Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 Obsah testového sešitu je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CZVV bude ve smyslu obecně závazných právních norem považováno za porušení autorských práv. 1 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Počáteční cena akcie nejprve klesla o 20 % a pak tato nová cena vzrostla o 20 %. Výsledná cena akcie je 1 296 Kč. (CZVV) 1 bod Vypočtěte počáteční cenu akcie. 1 bod Zjednodušte: ሺ͵ଷ ή ʹሻଵ଴଴  ൌ ͵ଵହ଴ ή ሺ͵ ή ʹଶ ሻହ଴ max. 2 body Je dán výraz: ʹ ͻ ͻ െ ‫ݔ‬ ቌ  ή ඨ ቍ ͵ ͻ Uveďte všechny hodnoty ‫܀ א ݔ‬, pro něž má výraz smysl (podmínky). Výraz zjednodušte do tvaru dvojčlenu.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 2  max. 2 body Pro ܽ ‫ ך ܀ א‬ሼെʹǢ ͳǢ ʹሽ zjednodušte: ͳ ܽെͳ ൬ܽ െ ͳ െ ൰ή ൌ ܽെͳ ܽήܽെͶ V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. max. 3 body V oboru ‫ ܀‬řešte: ͳ ͳെ‫ݔ‬ ͳ ൅ ଶ ൌ ʹ‫ ݔ‬െ Ͷ ‫ ݔ‬െ ʹ‫ʹ ݔ‬ V záznamovém archu uveďte celý postup řešení včetně stanovení podmínek.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Je dána funkce f s předpisem ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬ଶ a definičním oborem Df ൌ ‫ۃ‬െʹǢ ͵‫ۄ‬. y 1 O 1 x (CZVV) 1 bod Zapište obor hodnot funkce f. VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 7 Grafem funkce g je přímka. y g 1 1 O x (CZVV) 1 bod Zapište předpis funkce g.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Přímka p je určena bodem A a směrovým vektorem ‫ݑ‬ ሬԦ. Přímka q prochází bodem B a je kolmá k přímce p. y B A 1 O 1 x ‫ݑ‬ ሬԦ (Body A, B i počáteční a koncový bod orientované úsečky, která je umístěním vektoru ‫ݑ‬ ሬԦ, jsou mřížové body.) (CZVV) max. 2 body Sestrojte přímky p a q. V záznamovém archu obtáhněte vše propisovací tužkou a nezapomeňte obě přímky popsat. Zapište obecnou rovnici přímky q. VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 9 Ze čtvrtletní práce získalo 22 žáků 3. B následující známky: 3, 4, 2, 5, 4, 3, 4, 2, 1, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 2, 4, 5, 1, 3, 4 známka 1 2 3 4 5 celkem četnost 22 (CZVV) max. 2 body Určete medián známek ze čtvrtletní práce ve 3. B. Určete modus známek ze čtvrtletní práce ve 3. B.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Všechny vagóny nákladního vlaku jsou plně naloženy pískem, který přivezla malá a velká nákladní auta. Malých aut bylo n (n je číslo sudé), velkých aut bylo o polovinu více než malých aut. Písek z malého auta naplní osminu vagónu a písek z velkého auta čtvrtinu vagónu. (CZVV) max. 2 body V závislosti na veličině n vyjádřete počet vagónů nákladního vlaku. Výraz zapište ve tvaru jednočlenu. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 Trojciferné číslo má splňovat následující podmínky: V dekadickém zápise je na místě stovek sudá číslice, na místě desítek lichá číslice a na místě jednotek libovolná číslice, která nebyla použita na předchozích místech. (Vyhovují např. čísla 492, 430, 813.) (CZVV) 1 bod Určete počet všech čísel, která splňují dané podmínky.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 6 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 12–13 Fiktivní obrazec je sestaven z podobných rovnoramenných trojúhelníků. Sousední trojúhelníky mají vždy jeden společný bod a jejich výšky na základnu leží na téže přímce. Nejmenší trojúhelník má délku základny 2 cm a velikost výšky na základnu 1 cm. Každý další trojúhelník má uvedené rozměry dvakrát větší než předchozí trojúhelník. v (CZVV) 1 bod Obrazec obsahuje 6 trojúhelníků. Vypočtěte v cm2 obsah největšího trojúhelníku. 1 bod Obrazec obsahuje 18 trojúhelníků. Vypočtěte v cm výšku v celého obrazce.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 7  max. 2 body V oboru ‫ ܀‬řešte: ͳ͸ ή ʹ௫ାଵ ൌ Ͷ ή ͺ௫ V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 8 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 15 Sourozenci Adam, Bořek a Cyril spořili na společný dar. Bořek uspořil 11 000 korun a Cyril třetinu aritmetického průměru úspor Adama a Bořka. Všichni tři chlapci dohromady uspořili třikrát více než samotný Adam. Neznámý počet korun, které uspořil Adam, označte symbolem a. (CZVV) max. 3 body Užitím rovnice s neznámou a vypočtěte, kolik korun uspořil Adam. Vypočtěte, kolik korun uspořil Cyril. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení obou částí úlohy a odpověď zapište celou větou.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 9  max. 2 body Je dán bod Pሾ3Ǣെ5ሿ. O každé z následujících přímek a, b, c, d (16.1ʹ16.4) rozhodněte, zdali daným bodem P prochází (A), či nikoli (N). A N aǣ‫ ݔ‬െ 5 ൌ Ͳ 5 b: ‫ ݕ‬ൌ െ ‫ݔ‬ 3 cǣ3‫ ݔ‬൅ 5‫ ݕ‬൅ 16 ൌ Ͳ dǣ‫ ݔ‬ൌ 3 ‫ ݕ‬ൌ ‫ݐ‬Ǣ ‫܀ א ݐ‬ 2 body V rovině jsou dány body AൣͲǢξʹ൧ a BൣʹξͷǢെξʹ൧. Jaký obvod má čtverec ABCD? 8ξͷ 22 8ξ͹ 28 Obvod nelze jednoznačně určit.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 10  2 body Na číselné ose je obraz čísla 1. Které z následujících čísel má svůj obraz na číselné ose nejdále od obrazu čísla 1? െξ͵ π െ  2 π   2 π െ 1 1 െ π VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19 Šestiúhelník ABCDEF je složen z bílého lichoběžníku a dvou tmavých rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníků. F E Výška lichoběžníku je 4 cm, jedna jeho základna měří 6 cm a obsah lichoběžníku je 32 cm2. C D A B (CZVV) 2 body Jaký je obsah šestiúhelníku ABCDEF? 74,5 cm2 82 cm2 90,5 cm2 96 cm2 100 cm2   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 11 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 20 Podél travnatého hřiště je natažena zahradní hadice. V libovolné části hadice řez vedený kolmo k ose hadice vytvoří mezikruží s vnitřním průměrem d ൌ 26,3 mm. (Deformaci hadice neuvažujeme.) d (CZVV) 2 body Jaké největší množství vody může obsahovat natažená hadice délky 50 m? Výsledek v litrech je zaokrouhlen na celé číslo. 11 litrů 27 litrů 86 litrů 272 litrů jiné množství vody VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21 V rovnostranném válci je vytvořena dutina tvaru polokoule. Poloměr podstavy válce i poloměr polokoule je r ൌ 10 cm, výška válce je 2r. 2r 2r (CZVV) 2 body Jaký je povrch vytvořeného tělesa (tj. válce s dutinou)? větší než 900 π cm2 900 π cm2 800 π cm2 700 π cm2 menší než 700 π cm2   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 12 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 22 Ve skupině jede 50 cyklistů. Celkem 10 z nich se provinilo konzumací alkoholických nápojů před jízdou. Policejní hlídka vybere ze skupiny náhodně 5 cyklistů. (CZVV) 2 body Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými cyklisty nebude žádný z 10 provinilců? Hodnota pravděpodobnosti je zaokrouhlena na setiny. 0,31 0,40 0,49 0,58 jiná pravděpodobnost   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 13 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 23 Po doplnění čísel do prázdných polí musí být zápis s uvedenými operacemi pravdivý. െ5 :3 െ5 ‫ݔ‬ :3 ‫ݔ‬െ5 ή2 െ1 ή2 െ1 ൅7 ൅7 Doplní-li se do jednoho prázdného pole neznámá ‫ݔ‬, pak lze rovnicí dopočítat číslo, které neznámá ‫ ݔ‬představuje. (CZVV) 2 body Která z následujících rovnic odpovídá naznačenému řešení na obrázku vpravo? ሺ‫ ݔ‬െ ͷሻ ή ʹ ൅ ͹ ൌ ͵ ή ‫ ݔ‬൅ ͳ ሺ‫ ݔ‬െ ͷሻ ή ʹ ൅ ͹ ൌ ͵ ή ሺ‫ ݔ‬൅ ͳሻ ‫ ݔ‬െ ͷ ή ʹ ൅ ͹ ൌ ͵ ή ሺ‫ ݔ‬൅ ͳሻ ‫ ݔ‬െ ͷ ή ʹ ൅ ͹ ൌ ͵ ή ‫ ݔ‬൅ ͳ žádná z uvedených 2 body Je dáno pět po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti: 4, x, y, z, – 8 Která hodnota vyjadřuje součet x ൅ y ൅ z ? –2 –3 –4 –6 žádná z uvedených   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 14  max. 4 body Přiřaďte ke každé rovnici (25.1–25.4) její řešení (A–F) v oboru ‫܀‬. tg ‫ ݔ‬ൌ 0 _____ cos ‫ ݔ‬ൌ 1 _____ sin 2‫ ݔ‬ൌ 0 _____ ‫ݔ‬ cotg ൌ1 _____ 2 ݇π ‫ݔ‬ൌ ; ݇ ‫܈ א‬ 2 ‫ ݔ‬ൌ ݇π; ݇ ‫܈ א‬ ‫ ݔ‬ൌ 2݇π; ݇ ‫܈ א‬ π ‫ݔ‬ൌ ൅ ݇π; ݇ ‫܈ א‬ 2 π ‫ ݔ‬ൌ ൅ 2݇π; ݇ ‫܈ א‬ 2 ‫ ݔ‬ൌ π ൅ 2݇π; ݇ ‫܈ א‬   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 15  max. 3 body V každé zobrazené situaci (26.1–26.3) je šířka řeky označena symbolem s a vzdálenost AB je 50 m. −26.3) odpovídající šířku s řeky (A– E). Přiřaďte ke každé situaci (26.1− Výsledky jsou zaokrouhleny na celé metry. B _____ s 40° A _____ s 50° 50° A B B _____ s 30° 40° A méně než 28 m 30 m 32 m 34 m více než 36 m ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI.   © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2016 16