Apunts de Dinàmica de Fluids PDF

Tema 2. Dinàmica de Fluids ideals 1  2.1 Conceptes generals 2.2 Equació de continuïtat Dinàmica de Fluids 2.3 Equació de Bernouilli Tema 2 2.4 Efecte Venturi 2.5 Forces de sustentaci...

Tema 2. Dinàmica de Fluids ideals 1  2.1 Conceptes generals 2.2 Equació de continuïtat Dinàmica de Fluids 2.3 Equació de Bernouilli Tema 2 2.4 Efecte Venturi 2.5 Forces de sustentació 2  2.1 Conceptes generals 2.2 Equació de continuïtat Dinàmica de Fluids 2.3 Equació de Bernouilli Tema 2 2.4 Efecte Venturi 2.5 Forces de sustentació 3 2.1 Conceptes generals Hidrodinàmica: estudi dels fluids en moviment → donem v̅(r̅ , t), P(r̅ , t) 4 2.1 Conceptes generals Hidrodinàmica: estudi dels fluids en moviment → donem v̅(r̅ , t), P(r̅ , t) Linia de fluxe: trajectòria d’una partícula dins del fluid Tub de flux: conjunt línies de fluxe que envolten superficie imaginària A 5 2.1 Conceptes generals Hidrodinàmica: estudi dels fluids en moviment → donem v̅(r̅ , t), P(r̅ , t) https://www.ccma.cat/el-temps/previsio/vents/ Camp de velocitats v̅(r̅ , t) Camp de pressions P(r̅ , t) 6 Aproximacions Fluid Incompressible: densitat no varia als diferents punts ni en canviar la pressió (líquids Ok) Fluid no viscós: fregament entre capes i amb parets contenidors menyspreable Flux estacionari: velocitat i pressió, en cada punt del fluid, no canvien amb temps v̅(r̅ , t), P(r̅ , t) → v̅(r̅ ), P(r̅ ) 7 Aproximacions Fluid Incompressible: densitat no varia als diferents punts ni en canviar la pressió (líquids Ok) Fluid no viscós: fregament entre capes i amb parets contenidors menyspreable Flux estacionari: velocitat i pressió, en cada punt del fluid, no canvien amb temps v̅(r̅ , t), P(r̅ , t) → v̅(r̅ ), P(r̅ ) Flux Laminar: capes que avancen paral·leles, sense barrejar-se 8 Aproximacions Fluid Incompressible: densitat no varia als diferents punts ni en canviar la pressió (líquids Ok) Fluid no viscós: fregament entre capes i amb parets contenidors menyspreable Flux estacionari: velocitat i pressió, en cada punt del fluid, no canvien amb temps v̅(r̅ , t), P(r̅ , t) → v̅(r̅ ), P(r̅ ) Flux Laminar: capes que avancen paral·leles, sense barrejar-se Flux Irrotacional: fluid no “dona voltes” rotacional 9  2.1 Conceptes generals 2.2 Equació de continuïtat Dinàmica de Fluids 2.3 Equació de Bernouilli Tema 2 2.4 Efecte Venturi 2.5 Forces de sustentació 10 Equació de continuitat Massa constant en la circulació del fluid ⇒ massa que entra per S1 surt per S2 dm1 = dm2 11 Equació de continuitat Massa constant en la circulació del fluid ⇒ massa que entra per S1 surt per S2 dm1 = dm2 dm1 = ρ1 dV1 dV1 = S1 dh1 = S1 v1 dt → dm1 = ρ1 S1 v1 dt idem: dm2 = ρ2 S2 v2 dt 12 Equació de continuitat Massa constant en la circulació del fluid ⇒ massa que entra per S1 surt per S2 dm1 = dm2 ρ1 S1 v1 dt = ρ2 S2 v2 dt ρ1 S1 v1 = ρ2 S2 v2 dm1 = ρ1 dV1 dV1 = S1 dh1 = S1 v1 dt → dm1 = ρ1 S1 v1 dt idem: dm2 = ρ2 S2 v2 dt 13 Equació de continuitat Massa constant en la circulació del fluid ⇒ massa que entra per S1 surt per S2 dm1 = dm2 ρ1 S1 v1 dt = ρ2 S2 v2 dt ρ1 S1 v1 = ρ2 S2 v2 Φ = ρ S v = constant Φ: Flux = massa per unitat de temps (kg/s) 14 Equació de continuitat Massa constant en la circulació del fluid ⇒ massa que entra per S1 surt per S2 dm1 = dm2 ρ1 S1 v1 dt = ρ2 S2 v2 dt ρ1 S1 v1 = ρ2 S2 v2 Fluid incompressible: ρ1 = ρ2 velocitat Q = S v = constant augmenta en Q: Cabal = volum per unitat de temps (m3/s) reduir S 15 Exemples: v S = constant Aigua en una aixeta, cascada, etc.: v augmenta ⇒ s disminueix 16 Exemples: v S = constant Manguera amb Q = 0.25 · 10-3 m3/s sortida d = 4mm v aigua sortida? 17 Exemples: v S = constant Manguera amb Q = 0.25 · 10-3 m3/s sortida d = 4mm v aigua sortida? Q = v S → v = Q/S S = π (2 · 10-3)2 m2 Sortida més petita permet aconseguir una velocitat del fluid més alta v = 20 m/s 18 Exemples: v S = constant Artèria amb S1 = 2 cm2 es ramifica en 6 milions d’arterioles amb S2 = 2·10-5 cm2 Velocitat sang en cada arteriola, si en l’arteria principal és v 1 = 20 cm/s? 19 Exemples: v S = constant Artèria amb S1 = 2 cm2 es ramifica en 6 milions d’arterioles amb S2 = 2·10-5 cm2 Velocitat sang en cada arteriola, si en l’arteria principal és v 1 = 20 cm/s? v1 S1 = v2 S2 · 6·106 v2 = v1 S1/(S2· 6·106) v2 = 0.3 cm/s Amb moltes bifurcacions s’aconsegueix una velocitat petita a les arterioles → intercanvi eficient de gasos amb teixits 20 Exemples: v S = constant Velocitat de cada tipus de vas sanguini d’acord amb la seva funció principal Amb variacions d’àrea s’aconsegueixen variacions de velocitat [Pags. 669 – 677 de Cussó et al.] 21  2.1 Conceptes generals 2.2 Equació de continuïtat Dinàmica de Fluids 2.3 Equació de Bernouilli Tema 2 2.4 Efecte Venturi 2.5 Forces de sustentació 22 Equació de Bernouilli Relaciona P i v d’un fluid en moviment. Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm Cas més general: canvi velocitat (v) canvi alçada (h) ΔW = ΔEcinetica + ΔEpotencial 23 Equació de Bernouilli Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm ΔW = ΔEcinetica + ΔEpotencial ΔW = F · dl ΔEcin = ½ m Δv2 ΔEpot = m g Δh 24 Equació de Bernouilli Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm dW = dEcinetica + dEpotencial dW = F · dl, dEcin = ½ m v2, dEpot = dm g h (P1S1)dl1 - (P2S2)dl2 = (½ m2v22 - ½ m1v12) + (dm2gh2 - dm1gh1) 25 Equació de Bernouilli Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm dW = dEcinetica + dEpotencial dW = F · dl, dEcin = ½ m v2, dEpot = dm g h (P1S1)dl1 - (P2S2)dl2 = (½ m2v22 - ½ m1v12) + (dm2gh2 - dm1gh1) S dl = dV i m = ρ dV P1dV1 - P2dV2 = (½ ρdV2v22 - ½ ρdV1v12) + (ρdV2gh2 - ρdV1gh1) 26 Equació de Bernouilli Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm dW = dEcinetica + dEpotencial dW = F · dl, dEcin = ½ m v2, dEpot = dm g h (P1S1)dl1 - (P2S2)dl2 = (½ m2v22 - ½ m1v12) + (dm2gh2 - dm1gh1) P1dV1 - P2dV2 = (½ ρdV2v22 - ½ ρdV1v12) + (ρdV2gh2 - ρdV1gh1) P1dV1 + ½ ρdV1v12 + ρdV1gh1 = P2dV2 + ½ ρdV2v22 + ρdV2gh2 27 Equació de Bernouilli Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm dW = dEcinetica + dEpotencial dW = F · dl, dEcin = ½ m v2, dEpot = dm g h (P1S1)dl1 - (P2S2)dl2 = (½ m2v22 - ½ m1v12) + (dm2gh2 - dm1gh1) P1dV1 - P2dV2 = (½ ρdV2v22 - ½ ρdV1v12) + (ρdV2gh2 - ρdV1gh1) P1dV1 + ½ ρdV1v12 + ρdV1gh1 = P2dV2 + ½ ρdV2v22 + ρdV2gh2 Fluid incompressible: dV1 = dV2 P1 + ½ ρv12 + ρgh1 = P2 + ½ ρv22 + ρgh2 28 Equació de Bernouilli Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm dW = dEcinetica + dEpotencial dW = F · dl, dEcin = ½ m v2, dEpot = dm g h P + ½ ρv2 + ρgh = constant 29 Equació de Bernouilli Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm P + ½ ρv2 + ρgh = constant v = 0 → pressió hidrostática: P1-P2 = ρg(h2-h1) ½ ρv2 → pressió dinàmica “Ec per unitat de volum” 30 Equació de Bernouilli Conservació de l’energia en un element de fluid de massa dm P + ½ ρv2 + ρgh = constant v = 0 → pressió hidrostática: P1-P2 = ρg(h2-h1) ½ ρv2 → pressió dinàmica “Ec per unitat de volum” Vàlid per: fluid incompressible, no viscós flux estacionari i laminar camp gravitatori constant 31 Canvi de pressió en un fluid ideal P + ρgh: pressió hidrostàtica P + ½ ρv2 + ρgh = constant ½ ρv2: pressió dinàmica 32 Canvi de pressió en un fluid ideal P + ρgh: pressió hidrostàtica P + ½ ρv2 + ρgh = constant ½ ρv2: pressió dinàmica 33 Canvi de pressió en un fluid ideal P + ρgh: pressió hidrostàtica P + ½ ρv2 + ρgh = constant ½ ρv2: pressió dinàmica 34 Llei de Torricelli Velocitat de la sortida d’un fluid contingut en un dipòsit per un forat Aproximació: secció del dipòsit molt més gran que la del forat: Sa >> Sb 35 Llei de Torricelli Velocitat de la sortida d’un fluid contingut en un dipòsit per un forat Aproximació: secció del dipòsit molt més gran que la del forat: Sa >> Sb Eq. Bernouilli entre superficie a (dipòsit) i b (forat): P0 + ρgya + ½ ρva2 = P0 + ρgyb + ½ ρvb2 36 Llei de Torricelli Velocitat de la sortida d’un fluid contingut en un dipòsit per un forat Aproximació: secció del dipòsit molt més gran que la del forat: Sa >> Sb Eq. Bernouilli entre superficie a (dipòsit) i b (forat): P0 + ρgya + ½ ρva2 = P0 + ρgyb + ½ ρvb2 Eq. de continuïtat: va Sa = vb Sb ⇒ va = vb Sb/Sa ≈ 0 ρgya = ρgyb + ½ ρvb2 37 Llei de Torricelli Velocitat de la sortida d’un fluid contingut en un dipòsit per un forat Aproximació: secció del dipòsit molt més gran que la del forat: Sa >> Sb Eq. Bernouilli entre superficie a (dipòsit) i b (forat): P0 + ρgya + ½ ρva2 = P0 + ρgyb + ½ ρvb2 Eq. de continuïtat: va Sa = vb Sb ⇒ va = vb Sb/Sa ≈ 0 ρgya = ρgyb + ½ ρvb2 ½ ρvb2 = ρg(ya–yb) = ρgh 38 Llei de Torricelli Velocitat de la sortida d’un fluid contingut en un dipòsit per un forat Aproximació: secció del dipòsit molt més gran que la del forat: Sa >> Sb Eq. Bernouilli entre superficie a (dipòsit) i b (forat): P0 + ρgya + ½ ρva2 = P0 + ρgyb + ½ ρvb2 Eq. de continuïtat: va Sa = vb Sb ⇒ va = vb Sb/Sa ≈ 0 ρgya = ρgyb + ½ ρvb2 ½ ρvb2 = ρg(ya–yb) = ρgh 39 Llei de Torricelli Velocitat de la sortida d’un fluid contingut en un dipòsit per un forat Aproximació: secció del dipòsit molt més gran que la del forat: Sa >> Sb Eq. Bernouilli entre superficie a (dipòsit) i b (forat): P0 + ρgya + ½ ρva2 = P0 + ρgyb + ½ ρvb2 Eq. de continuïtat: va Sa = vb Sb ⇒ va = vb Sb/Sa ≈ 0 ρgya = ρgyb + ½ ρvb2 ½ ρvb2 = ρg(ya–yb) = ρgh Caiguda lliure! 40  2.1 Conceptes generals 2.2 Equació de continuïtat Dinàmica de Fluids 2.3 Equació de Bernouilli Tema 2 2.4 Efecte Venturi 2.5 Forces de sustentació 41 Efecte Venturi Variació de la pressió amb la secció Eq. Bernouilli entre 1 i 2: P1 + ρgh + ½ ρ v12 = P2 + ρgh + ½ ρv22 P1 + ½ ρ v12 = P2 + ½ ρv22 Eq. continuitat: v1S1 = v2S2 ⇒ v2 = v1 (S1/S2) Substituint: P1 - P2 = ½ ρ (v22 – v12) = ½ ρv12 [(S1/S2)2 – 1] 42 Efecte Venturi Variació de la pressió amb la secció Eq. Bernouilli entre 1 i 2: P1 + ρgh + ½ ρ v12 = P2 + ρgh + ½ ρv22 P1 + ½ ρ v12 = P2 + ½ ρv22 P1 - P2 = ½ ρv12 [(S1/S2)2 – 1] Eq. continuitat: v1S1 = v2S2 ⇒ v2 = v1 (S1/S2) Per tant: Substituint: S1 > S 2 ⇒ v 1 < v 2 ⇒ P 1 > P 2 P1 - P2 = ½ ρ (v22 – v12) = ½ ρv12 [(S1/S2)2 – 1] La pressió és menor a les seccions més estretes! 43 Tub de Venturi Aparell per mesurar la velocitat del fluid que circula per una conducció SA > S B ⇒ v A < v B ⇒ P A > P B Al afegir dos tubs verticals: hA > hB Mesura de la velocitat a partir de h: pressió hidrostática: P = ρ g h ef. Venturi: P1 - P2 = ½ ρv12 [(S1/S2)2 – 1] ρ g hA - ρ g hB = ½ ρv12 [(S1/S2)2 – 1] hA – hB = 1/(2g) v12 [(S1/S2)2 – 1] 44 Efecte Venturi: aplicacions S1 > S 2 ⇒ v 1 < v 2 ⇒ P 1 > P 2 Bomba de buit (d’aigua) Polvoritzador (aire) 45 Efecte Magnus Pilota desplaçant-se per l’aire amb velocitat v i rotació ω Sistema referència pilota: l’aire es mou cap a la pilota 46 Efecte Magnus Pilota desplaçant-se per l’aire amb velocitat v i rotació ω v menor → P major Sistema referència pilota: l’aire es mou cap a v major → P menor la pilota 47 Efecte Magnus La trajectòria es corba en la direcció de la rotació Pilota desplaçant-se per l’aire amb velocitat v i rotació ω v menor → P major Sistema referència pilota: l’aire es mou cap a v major → P menor la pilota 48 Efecte Magnus La trajectòria es corba en la direcció de la rotació Pilota desplaçant-se per l’aire amb velocitat v i rotació ω v menor → P major Efectes importants en tennis, futbol, etc. Ex: llançament de pilota des de molta alçada amb i sense rotació: https://www.youtube.com/watch?v=2OSrvzNW9FE v major → P menor 49  2.1 Conceptes generals 2.2 Equació de continuïtat Dinàmica de Fluids 2.3 Equació de Bernouilli Tema 2 2.4 Efecte Venturi 2.5 Forces de sustentació 50 Moviment de sòlids a través de fluids En general, fluids tenen viscositat l’objecte accelera el fluid on es mou donant-li Ec → Ffreg alta velocitat: Ec domina sobre pèrdues per viscositat Sobre el cos apareixen dues forces: 1. Força resistència (Fa): s’oposa al moviment a través del fluid 2. Força de sustentació (Fs): s’oposa al pes, mantenint l’objecte aixecat 51 Forces de sustentació Apliquem Eq. de Bernouilli a línies corrent per sobre i per sota ala: P0 + ρgh1 + 0 = P1 + ρgh1 + ½ ρv12 P0 + ρgh2 + 0 = P2 + ρgh2 + ½ ρv22 prenent h1 ≈ h2 i igualant: P1 – P2 = ½ ρ(v22 – v12) (efecte Venturi) 52 Forces de sustentació Apliquem Eq. de Bernouilli a línies corrent per sobre i per sota ala: P0 + ρgh1 + 0 = P1 + ρgh1 + ½ ρv12 P0 + ρgh2 + 0 = P2 + ρgh2 + ½ ρv22 prenent h1 ≈ h2 i igualant: P1 – P2 = ½ ρ(v22 – v12) (efecte Venturi) Forma ala tal que v2 < v1 ⇒ P2 > P1 Diferència de P dóna lloc a Fs cap adalt 53 Forces de sustentació Apliquem Eq. de Bernouilli a línies corrent per sobre i per sota ala: P1 – P2 = ½ ρ(v22 – v12) Prenem: v1 = c1v, v2 = c2v P1 – P2 = ½ ρv2(c22–c12) = ½ ρv2Cs Cs = coef. sustentació 54 Forces de sustentació Apliquem Eq. de Bernouilli a línies corrent per sobre i per sota ala: P1 – P2 = ½ ρv2(c22–c12) = ½ ρv2Cs Cs = coef. sustentació Força causada per la pressió: Fs = (P1 – P2)Slat = ½ ρv2CsSlat Fs = ½ ρCsSlatv2 55 Forces de sustentació Apliquem Eq. de Bernouilli a línies corrent per sobre i per sota ala: Fs = ½ ρCsSlatv2 En equilibri: Fs = FP = mg ½ ρCsSlatv2 = mg Més m: cal més v Menys ρ (més alçada): cal més v 56 Forces de sustentació Apliquem Eq. de Bernouilli a línies corrent per sobre i per sota ala: Fs = ½ ρCsSlatv2 En equilibri: Fs = FP = mg ½ ρCsSlatv2 = mg Més m: cal més v Menys ρ (més alçada): cal més v Vol per planatge (planar/planear) 57 Forces de sustentació: angle d’atac Fs = ½ ρCsSlatv2 en equilibri: Fs = mg per pujar: Fs > mg → cal augmentar Fs per baixar: Fs < mg → cal disminuir Fs 58 Forces de sustentació: angle d’atac Fs = ½ ρCsSlatv2 en equilibri: Fs = mg per pujar: Fs > mg → cal augmentar Fs per baixar: Fs < mg → cal disminuir Fs Podem variar Fs canviant Cs → angle d’atac: angle entre l’ala i les línies de flux Veure: https://www.youtube.com/watch?v=6UlsArvbTeo 59 Forces de sustentació: angle d’atac 60 Forces de sustentació: flux en una trajectòria curvada Efecte Coanda: tendència dels fluids a resseguir les superfícies sòlides 61 Forces de sustentació: flux en una trajectòria curvada Efecte Coanda: tendència dels fluids a resseguir les superfícies sòlides Lleis de Newton: canvi de direcció ⇒ F transversa aplicada ⇒ canvi de P (altres F negligibles). P augmenta sentit contrari al centre de curvatura 62 Forces de sustentació: material extra Cussó et al.: capitol 14, Secs. 3.4 – 3.8 How do wings work: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0031-9120/38/6/001 ○ resum en castellà: https://francis.naukas.com/2008/02/24/bernoulli-no-explica-por-que-vuelan-los-aviones-o -sobre-la-circulacion-alrededor-de-un-ala-y-como-los-libros-de-texto-a-veces-se-equivocan / ○ simulació flux corbat: https://www.youtube.com/watch?v=6UlsArvbTeo Airfoils and airflow: https://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html Moviment del flagel Escherichia Coli: https://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/1.882934 63 Extra 64 Equació de Bernouilli: Tub de Pitot Idea: frenar aire, transformant Ec en P + manòmetre per mesurar ΔP Eq. Bernouilli en punts 1 i 2: P1 + ρgh1 + ½ ρv12 = P2 + ρgh2 + ½ ρv22 v2 = 0 i assumim h1 ≈ h2: P1 + ½ ρv12 = P2 v12 = 2(P2 – P1)/ρ En el liquid → pressió hidrostàtica: P3 – P2 = ρlg(h3 – h2) v12 = 2ρlg(Δh)/ρ 65