Física II, Unidad 1: Estática y Dinámica de los Fluidos

FISICA II UNIDAD I: ESTÁTICA Y DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Un fluido es una sustancia que se deforma y, por lo tanto, se desplaza o fluye bajo la aplicación de una fuerza. En esa definición están comprendidos los líquidos, los gases y los vapores, que son gases que pueden condensarse por efe...

FISICA II UNIDAD I: ESTÁTICA Y DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Un fluido es una sustancia que se deforma y, por lo tanto, se desplaza o fluye bajo la aplicación de una fuerza. En esa definición están comprendidos los líquidos, los gases y los vapores, que son gases que pueden condensarse por efecto de la presión. La presión es una fuerza que se ejerce en forma perpendicular a una superficie. Los fluidos ejercen presión sobre las paredes de los recipientes que los contienen. La presión se define como una fuerza por unidad de superficie y en el sistema internacional tendrá unidades de: Si la fuerza se mide en Newton (N) en el sistema internacional, y el área en m2, la presión tendrá unidades de N/m2. Esa unidad tiene un nombre propio, que es Pascal (P). Es decir: Otra magnitud que se aplica por igual a fluidos y sólidos es la densidad, que se define como la masa por unidad de volumen del cuerpo considerado. En general, los fluidos tienen densidades menores que las de los sólidos, salvo el caso de los metales líquidos como el mercurio o el galio y los metales fundidos, que son fluidos con densidades más elevadas que las de muchos sólidos. La densidad tiene unidades de masa sobre longitud al cubo (volumen), es decir: INGENIERIA INFORMÁTICA 1  FISICA II La densidad se representa con la letra griega ρ y, en la expresión anterior, ρ entre corchetes se usa para expresar las unidades de ρ. Volviendo a los fluidos, se dice que adoptan la forma de los recipientes que los contienen, lo que crea una relación entre fluido y recipiente que se manifiesta como presiones sobre las paredes. En el caso de líquidos contenidos en recipientes, las presiones se ejercen por efecto del peso propio del líquido y la presión atmosférica. El peso propio dependerá de la densidad y de la altura del líquido dentro del recipiente. Variación de la presión de un líquido Mientras que la presión atmosférica decrece con el incremento de la altitud, la presión de un líquido crece con la profundidad. Supongamos un líquido en reposo para el cual la densidad es homogénea a través del mismo, lo que significa que es incompresible. Como el líquido está en equilibrio, si analizamos una porción de líquido representado por el rectángulo sombreado en el interior del volumen en la figura, se cumple que la sumatoria de todas las fuerzas en la dirección vertical es cero. Teniendo en cuenta que: INGENIERIA INFORMÁTICA 2  FISICA II P = F/A entonces, F = PA PA – P0 A – Mg = 0 Por otra parte, la densidad ρ = M/V, de donde M = ρ V De ahí: PA – P0 A – ρ V g = 0 siendo el volumen V = Ah, entonces al sustituir en la expresión anterior: PA – P0 A – ρ Ah g = 0 PA – P0 A = ρ Ah g Cancelando las áreas: P - P0 = ρ g h Esta ecuación es básica en la Estática de los Fluidos y, desde el punto de vista teórico, representa la variación de la presión con la profundidad h en el interior de un fluido. Nos dice que, la Presión P a una profundidad h por debajo de un punto en el fluido en el que la presión es P0, es mayor en una magnitud igual a ρ g h. Si el líquido está abierto a la presión atmosférica, entonces la presión P0 en la superficie libre del líquido es la presión atmosférica, que es igual a 1 atm o 1.013 x 105 Pa. Principio de Pascal En física, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) que se resume en la frase: la presión ejercida sobre un fluido poco compresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido. El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el INGENIERIA INFORMÁTICA 3  FISICA II agua sale por todos los agujeros con la misma velocidad y por lo tanto con la misma presión. También podemos observar aplicaciones del principio de Pascal en las prensas hidráulicas, en los elevadores hidráulicos, en los frenos hidráulicos y en los puentes hidráulicos. El funcionamiento de la prensa hidráulica ilustra el principio de Pascal Principio de Arquímedes El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja». Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newtons (en el SI). El principio de Arquímedes se formula así: o bien donde E es el empuje, ρf es la densidad del fluido, V el «volumen de fluido desplazado» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la aceleración de la gravedad y m la masa. De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones normales y descrito de modo simplificado) actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del cuerpo; este punto recibe el nombre de centro INGENIERIA INFORMÁTICA 4  FISICA II de carena. Ejemplo del Principio de Arquímedes: El volumen adicional en la segunda probeta corresponde al volumen desplazado por el sólido sumergido (que naturalmente coincide con el volumen del sólido). Ecuación de Continuidad La ecuación de continuidad es un resultado matemático de la ley de conservación de la materia que se puede aplicar cuando se tiene un fluido ideal. Flujo ideal Para ser considerado un fluido ideal y por ende poder aplicarse la ecuación de continuidad se tienen que tener cuatro características fundamentales: Flujo constante: todas las partículas del fluido dentro de la tubería tienen la misma velocidad independientemente del punto en el que se encuentren. Flujo irrotacional: el fluido no posee velocidad angular neta, es decir, no existe posibilidad que se presenten remolinos dentro de la tubería. INGENIERIA INFORMÁTICA 5  FISICA II Flujo incompresible: esto significa que la densidad del fluido es constante en cualquier condición de presión. Flujo no viscoso: se considera que no existe (o al menos es insignificante) la fricción interna de las moléculas del fluido, es decir, la capacidad de resistencia al movimiento tiende a cero. Demostración de la ecuación de continuidad Se tiene un fluido ideal que se mueve a través de una tubería tal como se muestra en la figura 1. Figura 1. Fluido moviéndose a través de tubería Si no hay pérdidas de fluido por alguna fuga, la cantidad de masa que entra en un determinado intervalo de tiempo es igual a la cantidad de masa que sale. No puede salir más masa de la que está entrando ya que es físicamente imposible, tampoco puede salir menos masa de la que entra porque esto significaría que hay una acumulación dentro de la tubería lo que haría que estallase. INGENIERIA INFORMÁTICA 6  FISICA II Teniendo esto en cuenta se conoce entonces que caudal de entrada es igual a caudal de salida, representado mediante la ecuación 1: Se conoce que el caudal es la masa que se mueve a través de la tubería en un tiempo determinado, por lo que la ecuación se puede escribir de la forma: Ecuación 2. Masa de entrada por diferencial de tiempo es igual a masa de salida por diferencial de tiempo También se conoce que la densidad de un fluido es igual a su masa sobre el volumen que ocupa así: Ecuación 3. Fórmula general de la densidad Despejando la masa de la fórmula general de la densidad se tiene que: Ecuación 4. Fórmula general de la densidad despejando la masa Reemplazando la ecuación 4 en la ecuación 2 se tiene entonces que: Ecuación 5. Continuidad con volumen y densidad El volumen del agua en un determinado lapso de tiempo corresponde al área transversal de la tubería multiplicado por la distancia (d) que recorre por lo que la ecuación queda transformada en: INGENIERIA INFORMÁTICA 7  FISICA II La distancia que recorre un cuerpo en un intervalo de tiempo determinado se conoce como velocidad, así pues la ecuación se transforma en: Como el fluido al realizar el recorrido a lo largo de la tubería no sufre cambios de estado, y se está trabajando con fluidos ideales, es decir incompresibles, la densidad del fluido a la entrada de la tubería es igual a la densidad de la salida entonces la ecuación de continuidad se escribe: Ecuación de continuidad INGENIERIA INFORMÁTICA 8  FISICA II Ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli es la forma de describir la ley de conservación de la energía de un fluido en movimiento, a través de ella se puede expresar el comportamiento que tiene a lo largo de la tubería. Cuando un fluido está en movimiento a través de una tubería y se presentan cambios de diámetro, los segmentos donde el fluido se mueve más rápido se encuentran a menor presión que los segmentos donde el fluido se mueve más lento. Esto parece ir en contra de lo que piensa la mayoría de las personas ya que muchos asumen que la velocidad alta depende de una alta presión en ese mismo punto. La idea revolucionaría de Bernoulli fue demostrar que para que aumente la velocidad en un fluido se requiere que haya una presión más alta detrás del fluido que delante de él. Condiciones para aplicar la ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de fluidos ideales los cuales cumplen con cuatro características fundamentales: Flujo constante: todas las partículas del fluido dentro de la tubería tienen la misma velocidad independientemente del punto en el que se encuentren. Flujo irrotacional: el fluido no posee velocidad angular neta, es decir, no existe posibilidad que se presenten remolinos dentro de la tubería. Flujo incompresible: esto significa que la densidad del fluido es constante en cualquier condición de presión. Flujo no viscoso: se considera que no existe (o al menos es insignificante) la fricción interna de las moléculas del fluido, es decir, la capacidad de resistencia al movimiento tiende a cero. Así mismo flujo debe ser isoentrópico, es decir: Los efectos externos sobre el flujo deben ser reversibles El sistema a estudiar debe ser adiabático, aparte de que el fluido no presenta flujo rotacional, la radiación de calor es nula o totalmente despreciable. INGENIERIA INFORMÁTICA 9  FISICA II Demostración de la ecuación de Bernoulli Para demostrar la ecuación de Bernoulli se puede tomar un ejemplo de la vida cotidiana como la que se muestra a continuación: Se tiene una tubería circular con un área A1 a una altura h1 por la que fluye un fluido a una velocidad v1 con una presión P1 luego avanza hasta una subida donde el fluido alcanza una altura h2 en ese punto el área se incrementa hasta A2 por lo que la velocidad también se modifica a v2 y la presión pasa a ser P2. Cuando se aplica la segunda ley de Newton que relaciona la conservación del momento lineal al fluido a través de la tubería se conoce que: Como el fluido es ideal las fuerzas de fricción son despreciables, por lo que las fuerzas que interactúan sobre una partícula cualquiera son: INGENIERIA INFORMÁTICA 10  FISICA II Como la partícula de fluido puede ir en cualquier punto de la tubería es importante considerar el ángulo θ ya que en el momento de estudio puede estar subiendo con un grado de inclinación entre la línea de corriente y el eje vertical z. Debemos recordar que la masa es la densidad por el volumen y el volumen a su vez es relativo al área de la tubería y la distancia de segmento s que se esté estudiando por eso: El peso del fluido es la masa por la gravedad, pero como dejamos expresada la masa en función de la densidad, el área y el segmento deducimos que: El seno del ángulo representa el cateto opuesto sobre el cateto adyacente que en el caso de la tubería serían la altura en el eje z y la longitud del segmento s respectivamente por lo que: INGENIERIA INFORMÁTICA 11  FISICA II Sustituyendo los valores de peso y seno del ángulo en la ecuación del análisis de las fuerzas que interactúan en la partícula de fluido se tiene que: Sacando factor común dA en ambos lados de la igualdad y simplificando ds en los términos donde se encuentra tanto en el numerador como en el denominador se obtiene la expresión derivada de la ecuación de Bernoulli: Se integra la expresión en función de V recordando que: Se reordenan y reemplazan los valores para obtener: Ahora se dividen todos los términos entre la densidad para quedar: Se integra en función de la presión, recordando que se había asumido que el fluido era un líquido ideal, es decir que no presenta propiedades de INGENIERIA INFORMÁTICA 12  FISICA II compresión por lo que el volumen no depende de la presión, así como la altura a la cual se encuentre el fluido tampoco depende de la presión por lo que se da la primera ecuación de Bernoulli llamada ecuación de flujo estacionario incompresible: Ecuación de Bernoulli en flujo estacionario e incompresible Esta ecuación es ampliamente utilizada en mecánica de fluidos para el flujo estacionario e incompresible a lo largo de una tubería, sin embargo, la ecuación de Bernoulli también puede escribirse entre dos puntos, de hecho, esta es la forma más conocida de hacerlo y la que se utiliza en la mayor parte de los ejercicios en la mecánica de fluidos. INGENIERIA INFORMÁTICA 13