12th Math Complete NCERT Most Important Questions PDF

## दिखाइए कि पूर्णांकों के समुच्चय में R = {(a, b):(a - b) को 2 विभाजित करता है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध एक तुल्यता सम्बन्ध है। (2023, 22, 19) ### हल **स्वतुल्य** : सभी a ∈ Z के लिए, (a – a) = 0, जो कि 2 से विभाजित होता है। अतः (a, a) ∈ R. इसलिए R स्वतुल्य है। **सममित** : मान लीजिए कि (a, b) ∈...

## दिखाइए कि पूर्णांकों के समुच्चय में R = {(a, b):(a - b) को 2 विभाजित करता है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध एक तुल्यता सम्बन्ध है। (2023, 22, 19) ### हल **स्वतुल्य** : सभी a ∈ Z के लिए, (a – a) = 0, जो कि 2 से विभाजित होता है। अतः (a, a) ∈ R. इसलिए R स्वतुल्य है। **सममित** : मान लीजिए कि (a, b) ∈ R. तो (a – b) 2 से विभाजित होता है। इसलिए (b – a) = – (a – b) 2 से विभाजित होता है। अतः (b, a) ∈ R. इसलिए R सममित है। **संक्रामक** : मान लीजिए कि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R. तो (a — b) और (b — c) 2 से विभाजित होते हैं। इसलिए (a — c) = (a — b) + (b — c) 2 से विभाजित होता है। अतः (a, c) ∈ R. इसलिए, R संक्रामक है। चूंकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है। ## उदाहरण 8 सिद्ध कीजिए कि f(x) = 2x द्वारा प्रदत्त फलन f:N→N, एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है। ### हल **एकैकी** : f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ = 2x₂ ⇒ x₁ = x₂. अतः फलन f एकैकी है। **आच्छादक नहीं** : 1 ∈ N. इसलिए, ऐसे कोई x ∈ N नहीं है जिसके लिए f(x) = 2x = 1 हो। अतः, फलन f आच्छादक नहीं है। ## उदाहरण 9 सिद्ध कीजिए कि f(x) = 2x द्वारा प्रदत्त फलन f:R→R, एकैकी तथा आच्छादक है। ### हल **एकैकी** : f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ = 2x₂ ⇒ x₁ = x₂. अतः, फलन f एकैकी है। **आच्छादक** : R में प्रत्येक वास्तविक संख्या y के लिए R में y/2 का अस्तित्व है। इसलिए, f(y/2) = 2(y/2) = y. अतः फलन f आच्छादक है। ## -1 का मुख्य मान ज्ञात कीजिए। cot-1 (√3) ### हल मान लीजिए cot-1 (-1/√3 ) = θ तो cot θ = -1/√3. हम जानते हैं कि cot (π/3) = 1/√3. इसलिए cot (π – π/3 ) = -1/√3. या cot (2π/3) = -1/√3 इसलिए, cot-1 (-1/√3) = 2π/3 अतः cot-1 (-1/√3) का मुख्य मान 2π/3 है। ## 14. tan-¹√3- sec-¹ (-2) का मान बराबर है π - (D) 2π 3 (Α) π (B)- π 3 (C) 3 ### हल tan-¹√3- sec-¹ (-2) = tan-¹√3 – [ π - cos-¹ (-2)] = tan-¹√3 – π+ cos-¹ (-2) = π/3 – π + π/3 = -π/3. इसलिए tan-¹√3 - sec-¹ (-2) का मान -π/3 बराबर है। ## 13. यदि F(x) = [cos x - sin x 0] [sin x cos x 0] [0 0 1] है तो सिद्ध कीजिए कि F(x) F(y) = F(x + y) ### हल F(x) F(y) = [cos x - sin x 0] [sin x cos x 0] [0 0 1] × [cos y - sin y 0] [sin y cos y 0] [0 0 1] = [cos x cos y - sin x sin y - sin x cos y - cos x sin y 0] [ sin x cos y + cos x sin y - sin x sin y + cos x cos y 0 ] [ 0 0 1] = [cos (x + y) -sin(x + y) 0] [sin (x + y) cos(x + y) 0 ] [ 0 0 1] = F(x + y). इसलिए F(x) F(y) = F(x + y) ## 3-2 1 17. यदि A = 4-2 0 1 तथा I = एवं A² = kA - 2I हो तो k ज्ञात कीजिए। ### हल A² = [ 3 -2] [ 3 -2] = [ 1 0] [4 -2] [ 4 -2] = [ 0 1] = [1 0] [0 1] = I, kA – 2I = k [ 3 -2] – 2 [1 0] = [4 -2] [ 0 1] = [ 3k-2 -2k] [4k -2 1] अब, A² = kA-2I. इसलिए [1 0] = [ 3k-2 -2k] [0 1] [4k -2 1] समान आव्यूहों के संगत पद बराबर होंगे। इसलिए 3k - 2 =1 और 4k - 2 = 0 ⇒ k = 1 इसलिए, k का मान 1 है। ## 18. यदि A = [ 0 tan α ] [tan α 0] तथा I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है। तो सिद्ध कीजिए कि I + A = (I-A) [ cos α - sin α] [sin α cos α] ### हल I + A = [ 1 0] + [ 0 tan α ] = [ 1 tan α] [0 1 ] [tan α 0] = [tan α 1] (I – A) [ cos α -sin α ] = [ 1 0] – [ 0 tan α ] [ cos α -sin α ] = [tan α 1] [tan α 0] [sin α cos α] = [1 -tan α ] [ cos α -sin α ] = [ 1 tan α] [tan α 1] [sin α cos α] [tan α 1] इसलिए सिद्ध होता है कि I + A = (I – A) [ cos α - sin α] [sin α cos α] ## -2 यदि A = [ 4 ], B = [ 1 3 -6] है तो सत्यापित कीजिए (AB)' = B'A' है। 5 ### हल AB = [ -2 ] [ 1 3 -6] = [4 12 -24] [ 5] B'A' = [ 1 3 -6 ] [ -2 4 5 ] = [4 12 -24] (AB)' = [ 4 12 -24]' = [4 12 -24] अतः (AB)' = B'A'. ## आव्यूह. A = [1 5] [6 7] के लिए सत्यापित कीजिए कि (i) (A + A') एक सममित आव्यूह है। (ii) (A - A') एक विषम सममित आव्यूह है। ### हल (i) A' = [ 1 6] [5 7] A + A' = [ 1 5] + [ 1 6] = [ 2 11] [ 6 7] [ 5 7] [ 11 14] (A + A')' = [ 2 11]' = [ 2 11] [ 11 14] [ 11 14] (A + A')' = (A + A' ) अतः (A + A' ) एक सममित आव्यूह है। (ii) A – A' = [ 1 5 ] - [ 1 6] = [ 0 -1] [ 6 7 ] [ 5 7] [ 1 0] (A - A')' = [ 0 -1]' = [ 0 1] [ 1 0] [ -1 0] अतः (A - A')' = -(A - A') इसलिए (A – A') एक विषम सममित आव्यूह है। ## 0 a b यदि A = [ a 0 c] तो 1/2 (A + A') तथा 1/2 (A-A') ज्ञात कीजिए। -b -c 0 ### हल A' = [ 0 a -b] [ a 0 -c] [ b c 0] 1/2 (A + A') = 1/2 [ 0 a b ] + 1/2 [ 0 a -b] = [ 0 a 0 ] [ a 0 c] [ a 0 -c] [ a 0 0] [ -b -c 0] + [ b c 0] [ 0 c 0] 1/2 (A - A') = 1/2 [ 0 a b ] - 1/2 [ 0 a -b] = [ 0 0 b ] [ a 0 c] [ a 0 -c] [ 0 0 c] [ -b -c 0] - [ b c 0] [ -b -c 0] ## उदाहरण 18 सारणिकों का प्रयोग करके A(1, 3) और B (0,0) को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए और k का मान ज्ञात कीजिए यदि एक बिंदु D(k, (0) इस प्रकार है कि △ ABD का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई है। ### हल बिंदु A(1, 3) और B(0, 0) को जोड़ते हुए रेखा का समीकरण **a(x-x₁)+b(y-y₁)=0** a(x-1)+b(y-3)=0, जहाँ (a,b) रेखा का ढलान है। अब बिंदु (0, 0) इस रेखा पर स्थित है इसलिए a(0-1)+b(0-3)=0 ⇒ a+3b = 0 ⇒ a= -3b इसलिए रेखा का समीकरण -3b(x -1) + b(y - 3) = 0 या 3x - 3 - y + 3 = 0 या 3x - y = 0 अब त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल =1/2 | [ x₁ y₁ 1] [x₂ y₂ 1] | = 3 [x₃ y₃ 1] = 1/2 | [ 1 3 1] | = 3 [ 0 0 1] [ k 0 1 ] =1/2 | 3k | = 3 ⇒ 3k = ± 6 ⇒ k = ± 2 अतः, k का मान 2 या -2 है। ## 3 3 7 यदि A = 4 3 3 4 हो तो सत्यापित कीजिए कि A. adj A = |A|. I और A-¹ ==End of OCR for page 10== ### हल adj A = [ 3 -9 -3] [ -7 9 -3 ] [ -1 3 0] |A| = [ 3 3 7 ] [ 4 3 3 ] = 3(12 - 9) -3(16 - 9) + 7(12 - 9) = 18 -21 + 21 = 18 [ 3 4 4 ] A. adj A = [ 3 3 7 ] [ 3 -9 -3] = [ 4 3 3 ] [ -7 9 -3] = [ 3 4 4 ] [-1 3 0] = [18 0 0] [ 0 18 0] = 18 [ 0 0 18] [1 0 0] [ 0 1 0] = |A|.I [ 0 0 1 ] इसलिए, A. adj A = |A|.I A-¹ = adj A / |A| = [ 3 -9 -3 ] / 18 = [ -7 9 -3 ] / 18 [ -1 3 0 ] / 18 = [ 1/6 -1/2 - 1/6] [ -7/18 1/2 - 1/6] [ -1/18 1/6 0] ## 2 3 यदि A = [ ], B = [ 1 -2] , तो सत्यापित कीजिए कि (AB)'=B'A'है। 1 -4 -1 3 ### हल AB = [ 2 3 ] [ 1 -2] = [ 1 -4 ] [ -1 3 ] = [ -1 0] [ -7 2] B'A' = [ 1 -1 3 ] [ 2 3 1 -4 ] = [ -1 0] [ -7 2] (AB)' = [ -1 0]' = [ -1 0] [ -7 2] [ -7 2] अतः (AB)' = B'A'. ## 2 3 उदाहरण 26 प्रदर्शित कीजिए कि आव्यूह A = 1 2 समीकरण A² - 4A + I = O, जहाँ I 2 x 2 कोटि का एक तत्समक आव्यूह है और O, 2×2 कोटि का एक शून्य आव्यूह है। इसकी सहायता से A-1 ज्ञात कीजिए। ### हल A² = [ 2 3 ] [ 2 3 ] = [ 1 2] [ 1 2] = [ 7 12] = [ 3 8 ] 4A = 4 [ 2 3 ] = [ 1 2 ] = [ 8 12 ] [ 4 8] I = [1 0] [ 0 1] A² - 4A + I = [ 7 12 ] - [ 8 12 ] + [1 0] = [ 3 8] [ 4 8] [0 1] = [ 0 0] [ 0 0] = O इसलिए, A² - 4A + I = O A² - 4A +I =O ⇒ IA - 4A + IA⁻¹ = OA⁻¹ ⇒ A - 4I + A⁻¹ = O ⇒ A⁻¹ = 4 I – A ⇒ A⁻¹ = [4 0] - [ 2 3] = [ 2 -3] [0 4] [ 1 2] [ -1 2 ] ## उदाहरण 28 निम्नलिखित समीकरण निकाय 3x - 2y + 3z = 8 2x + y - z = 1 4x - 3y + 2z = 4 को आव्यूह विधि से हल कीजिए। ### हल दिए गए रैखिक समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं। AX = B. जहाँ A = [ 3 -2 3 ] [ 2 1 -1 ] [ 4 -3 2 ] , X = [x] [y] [z] , B = [ 8 ] [ 1] [ 4] अब, |A| = 3(2 + 3) + 2(4 + 4 ) + 3 ( -6 - 4) = 15 + 16 - 30 = 1 चूंकि |A| ≠ 0 तो A व्युत्क्रमणीय होगा। इसलिए, A⁻¹ का अस्तित्व है। AX = B ⇒ A⁻¹ AX = A⁻¹ B ⇒ IX = A⁻¹ B ⇒ X = A⁻¹ B अब A⁻¹ = adj A/|A| = adj A = [ 1 2 1 ] [ -8 2 -1 ] [ -1 8 7 ] A⁻¹ = [ 1 2 1 ] [ -8 2 -1 ] [ -1 8 7 ] = [ 1 2 1 ] [ -8 2 -1 ] [ -1 8 7 ] X = A⁻¹ B = [ 1 2 1 ] [ 8 ] = [ -8 2 -1 ] [ 1 ] = [ -1 8 7 ] [ 4 ] = [ 18 ] = [ -11 ] = [ 35 ] [ 1 ] [ -2 ] [ 4 ] इसलिए x = 1, y = -2, z = 4 ## उदाहरण 4 दर्शाइए कि फलन x = 0 पर संतत नहीं है। f(x) = x² +3, यदि x ≠ 0 11, यदि x = 0 ### हल x = 0 पर f(x) का मान 11 है। f(0) = 11 lim_(x→0)f(x) = lim_(x→0)(x²+3) = 0²+3 = 3 चूँकि lim_(x→0) f(x) ≠ f(0), इसलिए फलन x = 0 पर असंतत है। ## उदाहरण 3 x = 0 पर फलन f(x) = 1 x | के सांतत्य पर विचार कीजिए। ### हल x = 0 पर f(x) का मान 0 है। f(0) = 0 lim_(x→0-)f(x) = lim_(x→0-)(1 x|) = lim_(x→0-)(1. (-x))= 0 lim_(x→0+)f(x) = lim_(x→0+)(1 x|) = lim_(x→0+)(1. (x)) = 0 इसलिए lim_(x→0-)f(x) = lim_(x→0+)f(x) = f(0), अतः फलन x = 0 पर संतत है। ## -2, यदि x ≤-1 16. f(x) = 2x, यदि -1 < x ≤1 2, यदि x > 1 ## 17. a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए ax +1, यदि x ≤3 f(x)= bx +3, यदि x > 3 द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है। ### हल x = 3 पर f(x) का मान 3a + 1 है। f(3) = 3a + 1 lim_(x→3-)f(x) = lim_(x→3-) (ax + 1) = 3a + 1 lim_(x→3+)f(x) = lim_(x→3+) (bx + 3) = 3b + 3 चूँकि फलन x = 3 पर संतत है, इसलिए lim_(x→3-)f(x) = lim_(x→3+)f(x) = f(3) इसलिए 3a + 1 = 3b + 3 = 3a + 1 ⇒ 3a + 1 = 3b + 3 ⇒ 3a - 3b = 2 ⇒ a - b = 2/3 अतः a और b के मानों का कोई ऐसा मान ज्ञात नहीं है जिसके लिए फलन x = 3 पर संतत हो। ## उदाहरण 26 प्रदर्शित कीजिए कि आव्यूह A = [ 2 3] [ 1 2] समीकरण A² - 4A + I = O, जहाँ I 2 x 2 कोटि का एक तत्समक आव्यूह है और O, 2×2 कोटि का एक शून्य आव्यूह है। इसकी सहायता से A-1 ज्ञात कीजिए। ### हल A² = [ 2 3 ] [ 2 3 ] = [ 1 2 ] [ 1 2 ] = [ 7 12 ] = [ 3 8 ] 4A = 4 [ 2 3 ] = [ 1 2 ] = [ 8 12 ] [ 4 8] I = [1 0] [ 0 1] A² - 4A + I = [ 7 12 ] - [ 8 12 ] + [1 0] = [ 3 8 ] [ 4 8 ] [ 0 1] = [ 0 0 ] [ 0 0 ] = O इसलिए, A² - 4A + I = O A² - 4A + I = O ⇒ IA - 4A + IA⁻¹ = OA⁻¹ ⇒ A - 4I + A⁻¹ = O ⇒ A⁻¹ = 4 I – A ⇒ A⁻¹ = [4 0] - [ 2 3 ] = [ 2 -3] [0 4] [ 1 2 ] [ -1 2 ] ## उदाहरण 28 निम्नलिखित समीकरण निकाय 3x - 2y + 3z = 8 2x + y - z = 1 4x - 3y + 2z = 4 को आव्यूह विधि से हल कीजिए। ### हल दिए गए रैखिक समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में AX = B. जहाँ A = [ 3 -2 3 ] [ 2 1 -1 ] [ 4 -3 2 ] , X = [x] [y] [z] , B = [ 8 ] [ 1] [ 4] अब, |A| = 3(2 + 3) + 2(4 + 4 ) + 3 ( -6 - 4) = 15 + 16 - 30 = 1 चूंकि |A| ≠ 0 तो A व्युत्क्रमणीय होगा। इसलिए, A⁻¹ का अस्तित्व है। AX = B ⇒ A⁻¹ AX = A⁻¹ B ⇒ IX = A⁻¹ B ⇒ X = A⁻¹ B अब A⁻¹ = adj A/|A| = adj A = [ 1 2 1 ] [ -8 2 -1 ] [ -1 8 7 ] A⁻¹ = [ 1 2 1 ] [ -8 2 -1 ] [ -1 8 7 ] = [ 1 2 1 ] [ -8 2 -1 ] [ -1 8 7 ] X = A⁻¹ B = [ 1 2 1 ] [ 8 ] = [ -8 2 -1 ] [ 1 ] = [ -1 8 7 ] [ 4 ] = [ 18 ] = [ -11 ] = [ 35 ] [ 1 ] [ -2 ] [ 4 ] इसलिए x = 1, y = -2, z = 4 ## k cos x π यदि x≠ 2 26. f(x) = π−2x² 2 π द्वारा परिभाषित फलन x = पर π 2 3, यदि x = 2 ### हल x=π/2 पर f(x) का मान 3 है। f(π/2) = 3 lim_(x→π/2-) f(x) = lim_(x→π/2-) (k cos x)/(π-2x²) = 0 ( 0/0 form) इसलिए L’Hospital’s rule प्रयुक्त करने पर lim_(x→π/2-) f(x) = lim_(x→π/2-) (-k sin x)/(-4x) = -k/(- 2π) = k/2π lim_(x→π/2+) f(x) = lim_(x→π/2+) 3 = 3 चूँकि फलन x = π/2 पर संतत है, इसलिए lim_(x→π/2-) f(x) = lim_(x→π/2+) f(x) = f(π/2) इसलिए k/2π = 3 ⇒ k = 6π अतः k का मान 6π है। ## उदाहरण 11 वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f (x) = 4x³- 6x² - 72x + 30 द्वारा प्रदत्त फलन f, (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है। ### हल f'(x) = 12x² - 12x - 72 = 12(x² - x - 6) = 12(x - 3)(x + 2) अब f'(x) = 0 ⇒ 12(x - 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3 या x = -2 इसलिए f(x) का वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निम्नलिखित है | अंतराल | f'(x) | f(x) का स्वभाव | | ------- | -------- | -------- | | x < -2 | धनात्मक | वर्धमान | | -2 < x < 3 | ऋणात्मक | ह्रासमान | | 3 < x | धनात्मक | वर्धमान | अतः, f(x) x < -2 और 3 < x के लिए वर्धमान है तथा -2 < x <3 के लिए ह्रासमान है। ## उदाहरण 13 अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = sin x + cos x, 0 ≤ x ≤ 2n द्वारा प्रदत्त फलन f, वर्धमान या ह्रासमान है। ### हल f'(x) = cos x - sin x अब f'(x) = 0 ⇒ cos x - sin x = 0 ⇒ cos x = sin x ⇒ tan x = 1 = tan(π/4), tan(π + π/4) = tan(π/4), tan(5π/4) इसलिए f(x) का वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निम्नलिखित है | अंतराल | f'(x) | f(x) का स्वभाव | | ------- | -------- | -------- | | 0< x < π/4 | धनात्मक | वर्धमान| | π/4 < x < 5π/4 | ऋणात्मक | ह्रासमान | | 5π/4 < x < 2π | धनात्मक | वर्धमान | अतः, f(x) 0 < x < π/4 और 5π/4 < x < 2π के लिए वर्धमान है तथा π/4 < x < 5π/4 के लिए ह्रासमान है। ## k cos x π यदि x≠ 2 26. f(x) = π−2x² 2 π द्वारा परिभाषित फलन x = पर π 2 3, यदि x = 2 ### हल x=π/2 पर f(x) का मान 3 है। f(π/2) = 3 lim_(x→π/2-) f(x) = lim_(x→π/2-) (k cos x)/(π-2x²) = 0 ( 0/0 form) इसलिए L’Hospital’s rule प्रयुक्त करने पर lim_(x→π/2-) f(x) = lim_(x→π/2-) (-k sin x)/(-4x) = -k/(- 2π) = k/2π lim_(x→π/2+) f(x) = lim_(x→π/2+) 3 = 3 चूँकि फलन x = π/2 पर संतत है, इसलिए lim_(x→π/2-) f(x) = lim_(x→π/2+) f(x) = f(π/2) इसलिए k/2π = 3 ⇒ k = 6π अतः k का मान 6π है। ## उदाहरण 3. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 4 cm/s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 10cm है, तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल कितनी तेजी से बढ़ रहा है? ### ह.ल मान लीजिए कि झील में पत्थर डालने पर उत्पन्न वृत्ताकार लहर की त्रिज्या r cm है, तो वृत्ताकार क्षेत्रफल A A = πr² समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर dA/dt = 2πr (dr/dt) दी गई है, dr/dt = 4 cm/s और r = 10 cm अतः, dA/dt = 2π(10)(4) = 80π cm²/s इसलिए, क्षेत्रफल 80π cm²/s की दर से बढ़ रहा है। ## उदाहरण 5 किसी वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन में कुल लागत C(x) रुपये में C(x) = 0.005 x³ – 0.02 x² + 30x + 5000 - से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जब 3 इकाई उत्पादित की जाती है। जहाँ सीमांत लागत (marginal cost या MC) से हमारा अभिप्राय किसी स्तर पर उत्पादन के संपूर्ण लागत में तात्कालिक परिवर्तन की दर से है। ### ह.ल सीमांत लागत MC = dC(x)/dx = 0.015x² – 0.04x + 30 जब x = 3 MC = 0.015(3)² - 0.04(3) + 30 = 0.135 - 0.12 + 30 = 30.015 अतः, MC = 30.015 रुपये प्रति इकाई है। ## उदाहरण 14 यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो A या B में से न्यूनतम एक के होने की प्रायिकता = 1- P(A') P(Β΄) ### हल P(A या B में से न्यूनतम एक का होना) = P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A) P(B) = P(A) + P(B) [1-P(A)] = P(A) + P(B). P(A') = 1- P(A') + P(B) P(A') = 1- P(A') [1– P(B)] = 1- P(A') P (Β΄) ## -2 यदि A = [ 4 ], B = [ 1 3 -6] है तो सत्यापित कीजिए (AB)' = B'A' है। 5 ### हल AB = [ -2 ] [ 1 3 -6] = [4 12 -24] [ 5] B'A' = [ 1 3 -6 ] [ -2 4 5 ] = [4 12 -24] (AB)' = [ 4 12 -24]' = [4 12 -24] अतः (AB)' = B'A'. ## 0 tan α ] [ tan α 0] 18. यदि A = तथा I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है। तो सिद्ध कीजिए कि I + A = (I-A) [ cos α - sin α] [sin α cos α] ### हल I + A = [ 1 0] + [ 0 tan α ] = [ 1 tan α] [0 1 ] [tan α 0] = [tan α 1] (I – A) [ cos α -sin α ] = [ 1 0] – [ 0 tan α ] [ cos α -sin α ] = [tan α 1] [tan α 0] [sin α cos α] = [1 -tan α ] [ cos α -sin α ] = [ 1 tan α]