Primitives et équations différentielles PDF

CHAPITRE 10 PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Sommaire 1 Primitives.......................... 10-2 1.1 Définition........................... 10-2 1.2 Existence de primitives.................... 10-3 2 Calcul de...

CHAPITRE 10 PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Sommaire 1 Primitives.......................... 10-2 1.1 Définition........................... 10-2 1.2 Existence de primitives.................... 10-3 2 Calcul de primitives.................... 10-4 2.1 Exemples de calculs de primitives.............. 10-4 2.2 Primitives de fonctions usuelles................ 10-7 2.3 Intégration par parties.................... 10-8 2.4 Changement de variable.................... 10-8 3 Équations différentielles linéaires du premier ordre....10-10 3.1 Définitions...........................10-10 3.2 Résolution...........................10-10 4 Équations différentielles linéaires du second ordre à coef- ficients constants......................10-13 4.1 Définitions...........................10-13 4.2 Résolution...........................10-13 Exercices............................10-19 10-1  On suppose dans ce chapitre que I et J sont des intervalles d’intérieur non vides, c’est-à-dire qu’ils contiennent une infinité de valeurs. Les fonctions de ce chapitre sont des fonctions de la variable réelle et à valeurs réelles ou complexes. Nous désignerons par K l’ensemble R ou C. 1 Primitives 1.1 Définition Définition 1 – (Primitive d’une fonction) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et à valeurs dans K. On appelle primitive de la fonction f sur I toute fonction F dérivable sur I et dont la dérivée est égale à f. F est une primitive de f sur I ⇐⇒ F est dérivable sur I et F ′ = f. Exemple 2 La fonction F : x 7→ x3 +Arctan(x)i est une primitive sur R de la fonction à valeurs complexes i f : x 7→ 3x2 +. 1 + x2 Proposition 3 Si F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I alors toutes les autres primitives de f sont égales à F à une constante additive près. L’ensemble des primitives de f est : {F + C | C ∈ K}. Démonstration. Soit F et G deux primitives de f sur I. Alors la fonction h : x 7→ F (x) − G(x) est dérivable sur I et : ∀ x ∈ I, h′ (x) = F ′ (x) − G′ (x) = f (x) − f (x) = 0. Cela prouve que h est constante sur I. Remarques 4 La proposition précédente est fausse si I n’est pas un intervalle puisqu’on pourrait trouver une fonction non constante ayant une dérivée nulle sur I. Deux fonctions F et G sont des primitives d’une fonction h sur un intervalle I implique que : ∃ C ∈ K, ∀ x ∈ I, G(x) = F (x) + C. Exemple 5 i L’ensemble des primitives de la fonction f : x 7→ 3x2 + est : 1 + x2 {x 7→ x3 + Arctan(x)i + C | C ∈ C}. F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-2 PTSI – 2023/24 1.2 Existence de primitives On rappelle sans démonstration le théorème fondamental de l’analyse qui suit. Théorème 6 – (Théorème fondamental de l’analyse) Soit f : I → K une fonction Z continue et a ∈ I. x Alors la fonction F : x 7→ f (t)dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a. a De plus, F est de classe C sur I. 1 Admis Remarque 7 Ce théorème permet de justifier l’existence de la fonction logarithme népérien introduite au chapitre sur les fonctions usuelles comme l’unique primitive de la fonction inverse sur R∗+ qui s’annule en 1. Notation 8 Soit f une fonction continue sur I et a ∈ I. Z x Les primitives de f sur I sont les fonctions : x 7→ f (t)dt + C avec C ∈ K. Z x a On pourra noter f (t)dt une primitive générique de f. Proposition 9 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et F une primitive de f sur [a, b]. Alors : Z b f (t)dt = F (b) − F (a). a On note [F ]ba = F (b) − F (a) ou [F (t)]ba = F (b) − F (a). Démonstration. Soit F une primitive de f sur [a, b] et G l’unique primitive de f sur [a, b] qui s’annule en a. Les fonctions F et G diffèrent d’une constante donc Z b F (b) − F (a) = G(b) − G(a) = G(b) = f (t)dt. a La proposition précédente peut être réécrite de la façon suivante : Proposition 10 Soit f une fonction de classe C 1 sur [a, b]. On a : Z b f ′ (t)dt = f (b) − f (a). a F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-3 PTSI – 2023/24  Z v(x) Dérivée de fonctions de la forme x 7→ f (t)dt u(x) Soit f : I → K une fonction continue, u et v deux fonctions de J dans I dérivables. Soit g : J → K définie par : Z v(x) g(x) = f (t)dt u(x) Comme f est continue sur I, elle admet une primitive F sur I et on a :

∀ x ∈ J, g(x) = F v(x) − F u(x) g est donc dérivable sur J comme différence de deux composées de fonctions dérivables. On a :

∀ x ∈ J, g ′ (x) = v ′ (x)F ′ v(x) − u′ (x)F ′ u(x) Comme F ′ = f , on peut écrire :

∀ x ∈ J, g ′ (x) = v ′ (x)f v(x) − u′ (x)f u(x) 2 Calcul de primitives Pour déterminer des primitives, il faut être capable de reconnaître les dérivées de fonctions usuelles (Voir la table 10.1), les fonctions composées et en particulier les fonctions de la forme u′ u′ un avec n ∈ Z, avec u 6= 0, u′ eu. u 2.1 Exemples de calculs de primitives Proposition 11 – (Primitive de u′ × φ′ ◦ u) Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J. Soit φ une fonction dérivable sur J. Alors une primitive de u′ × φ′ ◦ u est la fonction φ ◦ u. Z x

u′ (t) × φ′ u(t) dt = φ u(x). Exemple 12 Déterminer l’ensemble des primitives des fonctions Å ã 3 5 5 2 x2 + 1/3 x 7→ (6x + 10x) cos 4 x + x x 7→ 3 5 2 (x + x + 1)2 F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-4 PTSI – 2023/24 Proposition 13 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs dans K. un+1 Si n ∈ Z\{−1} alors la fonction u′ un admet comme primitive la fonction. n+1 Z x u(x)n+1 u′ (t)u(t)n dt =. n+1 Si n = −1 alors la fonction u′ un admet comme primitive la fonction ln |u|. Z x ′ u (t) dt = ln |u(x)|. u(t) Remarque 14 u′ Dans la proposition précédente, le cas n = −1 suppose que u 6= 0 sur I puisque u′ u−1 =. u Proposition 15 Soit z ∈ C∗. La fonction x 7→ ezx définie sur R et à valeurs dans C admet pour primitive la ezx fonction x 7→. z Z x ezx ezt dt =. z Primitives de fonctions de la forme x 7→ eax cos(bx) ou x 7→ eax sin(bx) sur R La proposition précédente permet de calculer les primitives de fonctions de la forme x 7→ eax cos(bx) ou x 7→ eax sin(bx) sur R avec les nombres a et b réels. Le cas (a, b) = (0, 0) est trivial. x 7→ eax cos(bx) devient x 7→ 1 dont les primitives sont les fonctions x 7→ x + C avec C ∈ C. x 7→ eax sin(bx) devient x 7→ 0 dont les primitives sont les fonctions x 7→ C avec C ∈ C. Si (a, b) 6= (0, 0) alors : En posant z = a + ib, on remarque que x 7→ eax cos(bx) et x 7→ eax sin(bx) sont respectivement les fonctions partie réelle et partie imaginaire de la ezx fonction x 7→ ezx dont une primitive sur R est la fonction x 7→. z ezx e(a+ib)x = z a + ib
(a − ib)eax cos(bx) + i sin(bx) = (a + ib)(a − ib)

a cos(bx) + b sin(bx) eax − b cos(bx) + a sin(bx) eax = +i a2 + b 2 a2 + b 2 On en déduit : Z x a cos(bx) + b sin(bx) ax eat cos(bt)dt = e a2 + b 2 Z x −b cos(bx) + a sin(bx) ax eat sin(bt)dt = e a2 + b 2 F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-5 PTSI – 2023/24 Remarque 16 On pourrait déterminer les primitives des fonctions x 7→ eax cos(bx) ou x 7→ eax sin(bx) sur R en cherchant les primitives
ax sous « la même forme » c’est-à-dire sous la forme x 7→ A cos(x) + B sin(x) e et procéder par analyse-synthèse. 1 Primitives de fonctions de la forme x 7→ ax2 + bx + c On suppose a, b, c réels avec a 6= 0. On s’intéresse aux primitives de la fonction 1 f : x 7→ 2 sur son ensemble de définition. ax + bx + c On distingues trois cas selon le nombre de solutions réelles de l’équation (E) : ax2 + bx + c = 0. Si (E) possède une unique solution x0 , on peut déterminer l’unique nombre réel c tel que : c ∀ x ∈ Df , f (x) =. (x − x0 )2 Alors, sur Df , f admet comme primitive la fonction : c F : x 7→ −. x − x0 Si (E) possède deux solutions x1 et x2 , on peut déterminer deux nombres réels c1 et c2 tels que c1 c2 ∀ x ∈ Df , f (x) = +. x − x1 x − x2 Alors, sur Df , f admet comme primitive la fonction : F : x 7→ c1 ln |x − x1 | + c2 ln |x − x2 |. Si (E) ne possède aucune solution réelle alors, en écrivant ax2 + bx + c sous sa forme canonique, on détermine (α, β) ∈ R × R∗ et c ∈ R tels que : c c 1 ∀ x ∈ R, f (x) = = 2 x−α 2 (x − α) + β 2 2 β ( β ) +1 Alors f admet comme primitive la fonction : Å ã c x−α F : x 7→ Arctan. β β Exemple 17 1 Soit (a, b) ∈ R × R∗ et z = a + ib. Déterminer une primitive sur R de la fonction f : x 7→. x−z F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-6 PTSI – 2023/24 2.2 Primitives de fonctions usuelles Fonction f Intervalle Primitive de f (C ∈ R) xα+1 x 7→ xα , α ∈ R\{1} R∗+ x 7→ +C α+1 1 x 7→ R∗− x 7→ ln |x| + C x 1 x 7→ R∗+ x 7→ ln(x) + C x x 7→ ex R x 7→ ex + C x 7→ ln(x) R∗+ x 7→ x ln(x) − x + C x 7→ cos(x) R x 7→ sin(x) + C x 7→ sin(x) R x 7→ − cos(x) + C i π π h x 7→ tan(x) − + kπ, + kπ , k ∈ Z x 7→ − ln |cos(x)| + C 2 2 x 7→ ch(x) R x 7→ sh(x) + C x 7→ sh(x) R x 7→ ch(x) + C 1 x 7→ − √ ] − 1, 1[ x 7→ Arccos(x) + C 1 − x2 1 x 7→ √ ] − 1, 1[ x 7→ Arcsin(x) + C 1 − x2 1 x 7→ R x 7→ Arctan(x) + C 1 + x2 eλx x 7→ eλx , λ ∈ C∗ R x 7→ +C λ Table 10.1 – Primitives des fonctions usuelles F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-7 PTSI – 2023/24 2.3 Intégration par parties Proposition 18 – (Intégration par parties) Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur un intervalle [a, b] avec a < b. On a : Z Z b ′  b b u (t)v(t)dt = uv a − u(t)v ′ (t)dt a a Démonstration. Il suffit d’intégrer la relation (uv)′ = u′ v + uv ′ entre a et b. Exemple 19 Z x Calculer tet dt par intégration par parties. 0 On considère les fonctions v : t 7→ t et u : t 7→ et. Ces fonctions sont de classe C 1 sur [0, x]. On a v ′ (t) = 1 et u′ (t) = et de sorte que : Z x Z x t te dt = v(t)u′ (t)dt 0 0 Z x  t x = te 0 − 1 × |{z} |{z} et dt 0 v ′ (t) u(t)  x = xex − et 0
= xex − ex − 1 = ex (x − 1) + 1 Remarque 20 Quand on fait une intégration par parties le choix de u′ et de v est crucial. En général, on cherche à éliminer une fonction dont la dérivée est plus simple. En utilisant l’intégration par parties, on peut déterminer des primitives de fonctions. Exemple 21 Déterminer en utilisant l’intégration par parties des primitives des fonctions ln et Arcsin. 2.4 Changement de variable Proposition 22 – (Changement de variable) Soit f une fonction continue sur I et φ une fonction de classe C 1 sur [a, b] à valeurs dans I. Alors on a : Z b Z φ(b) ′
φ (x)f φ(x) dx = f (y)dy a φ(a) F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-8 PTSI – 2023/24  Z x Z φ(x) ′ Démonstration. En dérivant les fonctions x 7→ φ (x)f (φ(x))dt et x 7→ f (t)dt, on a φ(a) montre qu’elles sont des primitives de x 7→ f (φ(x))φ′ (x) sur [a, b] qui s’annulent en a. On en déduit que ces fonctions sont égales et ont donc la même image de b. Exemple 23 Z 1 √ Calculer I = 1 − t2 dt en effectuant le changement de variable t = cos(u). 0 On procède en quatre étapes : On effectue le changement de variable √ dans l’expression p sous le signe de l’intégrale. En posant t = cos(u), on obtient 1 − t = 1 − cos (u) = |sin(u)|. 2 2 On détermine les nouvelles bornes de l’intégrale. Lorsque t=0, c’est que u = π2 et lorsque t = 1, u = 0. On calcule l’élément différentiel. dt = − sin(u) d’où dt = − sin(u)du du On effectue le nouveau calcul d’intégrale. Par changement de variable, on a : Z 0 I= − |sin(u)| sin(u)du π/2   Comme sur l’intervalle 0, π2 , sin(u) > 0, les valeurs absolues ne sont pas nécessaires et donc : Z 0 Z π/2 I= − sin (u)du = 2 sin2 (u)du π/2 0 1 cos(2u) Une linéarisation donne sin2 (u) = − d’où : 2 2 Z π/2 Å ã ï ò 1 cos(2u) 1 sin(2u) π/2 π I= − du = u − =. 0 2 2 2 4 0 4 F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-9 PTSI – 2023/24 3 Équations différentielles linéaires du premier ordre 3.1 Définitions Définition 24 – (Équation différentielle linéaire du premier ordre) On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre, toute équation de la forme : (E) : ∀ x ∈ I, y ′ + a(x)y = b(x) avec a, b deux fonctions continues de I dans K. On appelle solution de cette équation différentielle, toute fonction f de I dans K dérivable et vérifiant : ∀ x ∈ I, f ′ (x) + a(x)f (x) = b(x) Résoudre une telle équation consiste à déterminer l’ensemble de ses solutions. Définition 25 – (Équation homogène) L’équation différentielle homogène associée à l’équation (E) de la définition 24 est l’équa- tion : (EH ) : ∀ x ∈ I, y ′ + a(x)y = 0 Remarque 26 On dit souvent d’une équation homogène qu’il s’agit d’une équation différentielle « sans » second membre ou à second membre nul. Définition 27 – (Courbe intégrale) On appelle courbe intégrale d’une équation différentielle, une courbe représentative d’une solution de cette équation. 3.2 Résolution 3.2.1 Cas général Pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre, on procède par étapes : On résout l’équation homogène (EH ) On détermine une solution particulière de l’équation (E) On conclut sur l’ensemble des solutions de (E) Proposition 28 Soit l’équation différentielle (E) : y ′ + a(x)y = b(x). Soit (EH ) : y ′ + a(x)y = 0 l’équation homogène associée. Soit A une primitive de a sur I. Alors les solutions de (EH ) sont les fonctions de la forme x 7→ Ce−A(x) avec C ∈ K. F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-10 PTSI – 2023/24  ¶ © SEH = x 7→ Ce−A(x) , C ∈ K Soit f une solution particulière de l’équation (E). Alors les solutions de (E) sont obtenues en ajoutant aux fonctions de SEH la solution particulière f. ¶ © SE = x 7→ Ce−A(x) + f (x), C ∈ K 3.2.2 Cas particulier où a est constante Dans le cas où l’équation différentielle est : (E) : y ′ + ay = b(x) avec a ∈ K, les solutions de (EH ) sont les fonctions de la forme x 7→ Ce−ax avec C ∈ K.  SEH = x 7→ Ce−ax , C ∈ K Si f une solution particulière de l’équation (E), alors les solutions de (E) sont obtenues en ajoutant au fonctions de SEH la solution particulière f.  SE = x 7→ Ce−ax + f (x), C ∈ K 3.2.3 Méthode de la variation de la constante Dans tous les cas, pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre, on a besoin d’une solution particulière. Une méthode de recherche d’une solution particulière est la méthode de la variation de la constante. D’après la proposition 28, si y0 est une solution non nulle de l’équation homogène (EH ) alors les autres sont de la forme x 7→ Cy0 (x) avec C une constante de K. Remarquons que si y0 est non nulle alors elle ne s’annule pas sur I. Le principe de cette méthode consiste à chercher une solution particulière y1 de l’équation différentielle (E) de la forme x 7→ C(x)y0 (x) où C est cette fois une fonction dérivable sur I. « La constante n’est donc plus une constante, mais elle varie en tant que fonction dérivable... » On a alors : y1 est solution de (E) ⇐⇒ ∀ x ∈ I, y1′ (x) + a(x)y1 (x) = b(x) ⇐⇒ ∀ x ∈ I, C ′ (x)y0 (x) + C(x)y0′ (x) + a(x)C(x)y0 (x) = b(x) | {z } =0 ′ ⇐⇒ ∀ x ∈ I, C (x)y0 (x) = b(x) b(x) ⇐⇒ ∀ x ∈ I, C ′ (x) = y0 (x) On obtient en calculant une primitive d’une fonction continue sur I. Z x b(t) ∀ x ∈ I, C(x) = dt. y0 (t) On obtient une solution particulière y1 en multipliant C par x 7→ e−A(x). ∀ x ∈ I, y1 (x) = C(x)e−A(x). F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-11 PTSI – 2023/24 Exemple 29 1 Résoudre sur R∗+ l’équation y ′ + y = tet en utilisant la méthode de la variation de la constante t pour déterminer une solution particulière. 3.2.4 Principe de superposition Proposition 30 – (Principe de superposition) On considère les équations différentielles (E1 ) : y ′ + a(x)y = b1 (x), (E2 ) : y ′ + a(x)y = b2 (x),... (En ) : y ′ + a(x)y = bn (x). X n Si pour k ∈ J1, nK, yk est une solution de (Ek ) alors la fonction f = yk est une solution k=1 de l’équation différentielle : X n (E) : y ′ + a(x)y = bk (x). k=1 Remarque 31 Dans la pratique, on utilise le principe de superposition en découpant le second membre b en somme de termes pour lesquels on sait trouver une solution particulière. Exemple 32 Déterminer sur R l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) : y ′ + 2y = 2e2x + sin(x). 3.2.5 Problème de Cauchy Un problème de Cauchy consiste, pour une équation différentielle donnée, à déterminer une solution vérifiant une condition initiale. En physique, par exemple, une équation différentielle peut décrire l’évolution d’un système dont l’état est connu à l’instant initial. On peut se demander s’il existe toujours une solution à un problème de Cauchy. Le théorème suivant répond à cette interrogation. Théorème 33 – (Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy) Pour tout (x0 , y0 ) ∈ I ×K, il existe une unique solution f à l’équation (E) : y ′ +a(x)y = b(x) vérifiant la condition initiale f (x0 ) = y0. F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-12 PTSI – 2023/24 4 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 4.1 Définitions Définition 34 – (Équation différentielle linéaire du second ordre) à coefficients constants On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, toute équation de la forme : (E) : ∀ x ∈ I, y ′′ + ay ′ + by = c(x) avec a, b deux scalaires de K. On appelle solution de cette équation différentielle, toute fonction f de I dans K deux fois dérivable et vérifiant : ∀ x ∈ I, f ′′ (x) + af ′ (x) + bf (x) = c(x) Résoudre une telle équation consiste à déterminer l’ensemble de ses solutions. Remarque 35 On remarquera qu’ici a et b sont des scalaires de K et non plus des fonctions quelconques de I dans K. Définition 36 – (Équation homogène) L’équation différentielle homogène associée à l’équation E de la définition 34 est l’équation : (EH ) : ∀ x ∈ I, y ′′ + ay ′ + by = 0 Définition 37 – (Équation caractéristique) L’équation du second degré r2 + ar + b = 0 est appelée équation caractéristique associée à l’équation différentielle (E) : y ′′ + ay ′ + by = c(x). 4.2 Résolution Le principe de résolution d’équation différentielles du second ordre est le même que celui de la résolution des équations du premier ordre. Pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre, on procède par étapes : On résout l’équation homogène (EH ) On détermine une solution particulière de l’équation (E) On conclut sur l’ensemble des solutions de (E) Cependant la résolution de l’équation homogène (EH ) diffère selon que K = R ou K = C. F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-13 PTSI – 2023/24 4.2.1 Résolution de l’équation homogène (EH ) lorsque K = C Proposition 38 Les nombres a et b sont des complexes. (EH ) est l’équation homogène y ′′ + ay ′ + by = 0. L’équation caractéristique est l’équation r2 + ar + b = 0. Si l’équation caractéristique possède une racine double r0 , alors les solutions de (EH ) sont les fonctions : x 7→ (αx + β)er0 x (α, β) ∈ C2. Si l’équation caractéristique possède deux racines doubles r1 et r2 , alors les solutions de (EH ) sont les fonctions : x 7→ αer1 x + βer2 x (α, β) ∈ C2. Exemple 39 Résoudre l’équation différentielle y ′′ − 2y ′ + (2i + 1)y = 0. 4.2.2 Résolution de l’équation homogène (EH ) lorsque K = R Proposition 40 Les nombres a et b sont des réels. (EH ) est l’équation homogène y ′′ + ay ′ + by = 0. L’équation caractéristique est l’équation r2 + ar + b = 0. Si l’équation possède deux racines distinctes r1 et r2 , alors les solutions réelles de l’équa- tion (EH ) sont les fonctions : x 7→ αer1 x + βer2 x (α, β) ∈ R2. Si l’équation caractéristique possède une racine double r0 , alors les solutions réelles de (EH ) sont les fonctions : x 7→ (αx + β)er0 x (α, β) ∈ R2. Si l’équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées a ± ib, alors les solutions réelles de (EH ) sont les fonctions :
x 7→ α cos(bx) + β sin(bx) eax , (α, β) ∈ R2. Exemple 41 Résoudre les équations différentielles suivantes : a) y ′′ − 2y ′ − 3y = 0 b) y ′′ − 2y ′ + 5y = 0 c) y ′′ − 2y ′ + y = 0 Quand on a résolu l’équation homogène, il suffit de déterminer une solution particulière de (E) pour obtenir l’ensemble des solutions de l’équation (E) en se basant sur la proposition suivante : F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-14 PTSI – 2023/24 Proposition 42 Soit f une solution particulière de l’équation (E). Alors les solutions de (E) sont obtenues en ajoutant au fonctions de SEH la solution particulière f. SE = {x 7→ y(x) + f (x), y ∈ SEH } 4.2.3 Recherche de solutions particulières Dans le cas des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, il faut savoir traiter quelques cas pour lesquels le second membre de l’équation est non nul. Ces différents cas se résolvent sur la base de la proposition suivante. Définition 43 – (Polynôme caractéristique) Le polynôme P = X 2 + aX + b est le polynôme caractéristique associé à l’équation différentielle (E) : y ′′ + ay ′ + by = c(x). Proposition 44 Soit l’équation différentielle (E) : y ′′ + ay ′ + by = P (x)eλx avec (a, b) ∈ K2 , λ ∈ C et P une fonction polynomiale à coefficients dans K de degré n. Alors (E) admet comme solution particulière : La fonction x → 7 Q(x)eλx où Q est une fonction polynomiale de degré n si λ n’est pas une racine du polynôme caractéristique associé à (E). La fonction x 7→ xQ(x)eλx où Q est une fonction polynomiale de degré n si λ est une racine simple du polynôme caractéristique associé à (E). La fonction x 7→ x2 Q(x)eλx où Q est une fonction polynomiale de degré n si λ est une racine double du polynôme caractéristique associé à (E). Méthode 45 Le second membre est un polynôme Dans ce cas, on considère dans la proposition précédente λ = 0 et on recherche alors une fonction particulière sous la forme d’un polynôme. Exemple 46 Résoudre l’équation différentielle (E) : y ′′ + y ′ − 2y = 2x2 + 3 sur R. L’équation caractéristique de l’équation différentielle r2 + r − 2 = 0 admet deux solutions r1 = 1 et r2 = −2. Les solutions de l’équation différentielle homogène associée à (E) sont donc : x 7→ αex + βe−2x , (α, β)2 ∈ R2. On note que le second membre est de la forme (2x2 + 3)e0x et on applique la proposition précédente avec λ = 0. Comme 0 n’est pas solution de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière y0 sous la forme d’un polynôme de degré 2. Posons y0 (x) = ax2 + bx + c. F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-15 PTSI – 2023/24 Alors, on a y0′ (x) = 2ax + b et y0′′ (x) = 2a. y0 est solution de (E) ⇐⇒ |{z} | {z+ }b − 2(ax 2a + 2ax 2 2 | +{zbx + }c) = 2x + 3 y0′′ y0′ y0 ⇐⇒ −2ax2 + 2(a − b)x + (2a + b − 2c) = 2x2 + 3   −2a = 2 ⇐⇒ 2(a − b) = 0   2a + b − 2c = 3 ⇐⇒ (a, b, c) = (−1, −1, −3) On trouve donc y0 : x 7→ −x2 − x − 3. Cela permet de conclure sur les solutions de (E) :  SE = x 7→ αex + βe−2x − x2 − x − 3, (α, β) ∈ R2 Méthode 47 Le second membre est de la forme x 7→ A cos(ωx) ou A sin(ωx) avec (A, ω) ∈ R2 On suppose ici que A et ω sont des réels. On considère A cos(ωx) = Re (Aeiωx ) ou A sin ωx = Im (eiωx ) et on utilise la proposition précédente, en vérifiant si iω est racine du polynôme caractéristique et à quelle multiplicité. Exemple 48 Déterminer les solutions à valeurs complexes de l’équation différentielle (E) : y ′′ + y = 3 cos(x) L’équation caractéristique associée à (E) est r2 + 1 = 0 dont les solutions sont i et −i. Les solutions de l’équation homogène associée à (E) sont : x 7→ αeix + βe−ix , (α, β) ∈ C2. Comme 3 cos(x) = Re (3eix ) et que i est une racine simple du polynôme caractéristique associé à (E), on cherche une solution particulière y0 de la forme x 7→ x(C1 cos(x) + C2 sin(x)) avec (C1 , C2 ) ∈ R2. En posant y0 (x) = x 7→ x(C1 cos(x) + C2 sin(x)), on a : y0′ (x) = (C2 x + C1 ) cos(x) + (−C1 x + C2 ) sin(x), y0′′ (x) = (−C1x + 2C2 ) cos(x) − (C2 x + 2C1 ) sin(x). y0 est solution de (E) ⇐⇒ (−C1x + 2C2 ) cos(x) − (C2 x + 2C1 ) sin(x) + (x(C1 cos(x) + C2 sin(x))) = 3 cos(x) | {z } | {z } y0′′ y0 ⇐⇒ 2C2 cos(x) − 2C1 sin(x) = 3 cos(x) Å ã 3 ⇐⇒ (C1 , C2 ) = 0,. 2 3 On trouve donc y0 : x 7→ x sin(x). 2 F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-16 PTSI – 2023/24 Cela permet de conclure : ß ™ −ix 3 SE = x 7→ αe + βe + x sin(x), (α, β) ∈ C ix 2 2 Méthode 49 Le second membre est de la forme Aeλx avec (A, λ) ∈ C 2 On applique la proposition précédente. Exemple 50 Déterminer les solutions à valeurs complexes de l’équation : (E) : y ′′ − 6iy ′ − 9y = 2e3ix Le polynôme caractéristique r2 − 6ir − 9 = 0 admet une racine double r0 = 3i donc l’équation homogène admet comme solutions les fonctions x 7→ (αx + β)e3ix , (α, β) ∈ C2. Comme 3i est racine double du polynôme caractéristique, on recherche une solution particu- lière y0 de la forme x 7→ Cx2 e3ix. En posant y0 (x) = Cx2 e3ix on a : y0′ (x) = C(2x + 3ix2 )e3ix et y0′′ (x) = C(−9x2 + 12ix + 2)e3ix. y0 est solution de (E) ⇐⇒ C(−9x2 + 12ix + 2)e3ix − 6iC(2x + 3ix2 )e3ix − 9(Cx2 e3ix ) = 2e3ix | {z } | {z } | {z } y0′′ y0′ y0 ⇐⇒ 2Ce3ix = 2e3ix ⇐⇒ C = 1 On obtient y0 (x) = x2 e3ix et on trouve les solutions de (E) :  SE = x 7→ (x2 + αx + β)e3ix , (α, β) ∈ C2 4.2.4 Principe de superposition et problème de Cauchy Proposition 51 – (Principe de superposition) X n Lorsque c(x) = ck (x), on cherche une solution particulière de chaque équation différentielle k=1 X n ′′ ′ y + ay + y = ck (x). Une solution particulière de (E) est alors f = ck. k=1 On appelle problème de Cauchy du second ordre la recherche d’une solution y : I → K d’une équation différentielle y ′′ + ay ′ + by = c(x) vérifiant les conditions initiales y(x0 ) = y0 et y ′ (x0 ) = z0 avec (x0 , y0 , z0 ) ∈ I × K × K fixé. F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-17 PTSI – 2023/24 Théorème 52 – (Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy) Pour tout (x0 , y0 , z0 ) ∈ I × K × K, il existe une unique solution f à l’équation (E) : y ′′ + ay ′ + by = c(x) vérifiant la condition initiale y(x0 ) = y0 et y ′ (x0 ) = z0. F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-18 PTSI – 2023/24 Exercices Primitives et équations différentielles Exercice 1 ∗∗ Déterminer une primitive de chacune des fonctions définies ci-dessous en précisant sur quel(s) intervalle(s) elle est définie. 2 1 a) f (x) = xex b) f (x) = tan(x) c) f (x) = x ln(x) 3 4 x2 d) f (x) = cos (x) e) f (x) = sin (x) f) f (x) = 1 + x3 1 sin(2x) −5x g) f (x) = h) f (x) = i) f (x) = √ x2 +5 cos3 (x) 1 + x2 Arctan2 (x) 1 − tan(x) j) f (x) = k) f (x) = l) f (x) = x2 ex 1 + x2 1 + tan(x) 1 m) f (x) = Arcsin(x) n) f (x) = xArctan(x) o) f (x) = 4x2 + 4x + 1 1 p) f (x) = 4x2 + 4x + 5 Exercice 2 ∗∗ Calculer les intégrales suivantes : Z e Z 2π Z π a) t ln(t)dt avec n ∈ N n b) 4 7 cos (t) sin (t)dt c) et sin(2t)dt 1 0 0 Z π/2 Z 1 Z 1 t+1 d) t sin3 (t)dt e) ln(1 + t2 )dt f) dt 0 0 0 t2 −t+1 Exercice 3 ∗∗ Calculer les intégrales suivantes à l’aide du changement de variable proposé : Z Z 3 dt √ e2 ln(t) a) √ √ avec x = t b)
2 dt avec x = ln(t) 1 t + t3 1 t + t ln(t) Z √ Z 1 1 t3 √ c) 1 − x2 dx avec x = cos(t) d) √ dt avec x = t + 1 0 0 t+1 Z 1 1 e) dx avec x = tan(t) 0 (1 + x2 )3/2 Exercice 4 ∗∗ Résoudre les équations différentielles suivantes : a) y ′ − y = 1 − x2 + e4x b) y ′ − y ln(x) = xx c) y ′ − 2y = ex + 4 sin(x) F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-19 PTSI – 2023/24 Exercice 5 ∗∗ Résoudre les équations différentielles suivantes : a) y ′′ − 2y ′ + 5y = x2 b) 4y ′′ + y = sin(2x) c) y ′′ − y ′ = x cosh(x) d) y ′′ + 2y ′ + 2y = e−x cos(x) Exercice 6 ∗∗ Résoudre les équations différentielles suivantes : a) y ′ − 2y = x2 avec y(0) = 1 √ ′ x 2 ln(2) b) (x + 1)y + xy = √ 2 et y(1) = x2 + 1 2 c) y ′′ + 4y = 0 avec y(0)=1 et y ′ (π) = −2 Exercice 7 ∗∗ x−3 1. On considère la fonction φ définie sur R par φ(x) =. x2 + x + 1 a(2x + 1) b Déterminer deux constantes a et b telles que φ(x) = 2 + 2 et en déduire x +x+1 x +x+1 une primitive de la fonction φ. 2. Résoudre l’équation différentielle EH = (x2 + x + 1)y ′ − (2x + 1)y = 0. 3. En déduire, en utilisant la méthode de la variation de la constante, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle : (E) : (x2 + x + 1)y ′ − (2x + 1)y = (x2 + x + 1)(x − 3). F. Doyon – Lycée Charles Coeffin 10-20 PTSI – 2023/24