Temel Bilgiler PDF

1 TEMEL BİLGİLER Bu bölümde ders boyunca ihtiyaç duyacağımız temel kavramlara yer verilecektir. 1.1 Kümeler Sadece matematiğe özgü olmayan ve her bilim dalında da sıkça kullanılan küme kavramını aksiyomatik olarak ilk kez inceleyen kişi Alman matematikçi Georg Cantor...

1 TEMEL BİLGİLER Bu bölümde ders boyunca ihtiyaç duyacağımız temel kavramlara yer verilecektir. 1.1 Kümeler Sadece matematiğe özgü olmayan ve her bilim dalında da sıkça kullanılan küme kavramını aksiyomatik olarak ilk kez inceleyen kişi Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) olmuştur. "Küme" kavramı en genel anlamıyla belirli anlamda benzeyen nesnelerin topluluğu olarak tanımlanır. Fakat, ifade edilen her topluluk bir küme anlamına gelmemektedir. Bu nedenle küme kavramını iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak tanımlamayı uygun görüyoruz. Buradaki iyi tanımlılık özelliğinin, verilen bir nesnenin bir küme içinde bulunup bulunmadığının hiç bir kuşkuya yer vermeyecek biçimde belirlenmesi anlamında olduğunu belirtelim. İyi tanımlılığı net bir şekilde belirlediğimiz taktirde ilgili topluluk bir küme olacaktır. Örnek 1.1 Matematik kelimesindeki harfler. Sıfırdan büyük tek sayılar. şeklindeki cümleler birer küme belirler. Bahçede gezen öğrenciler 3’ten büyük bazı şeyler. ifadeleri birer küme belirlemezler. Genellikle kümeleri A, B, X , Y , gibi büyük harflerle ve o kümelerin nesnelerini a , b, x , y , gibi küçük harflerle gösteririz ve bunlara kümenin elemanları (öğeleri) adını veririz. Bir a nesnesi bir A kümesinin elemanı ise bunu a  A şeklinde yazar ve " a eleman A " şeklinde okuruz. Bir a nesnesi bir A kümesinin elemanı değilse bunu a  A şeklinde yazar ve " a eleman değil A " diye okuruz. Kümelerin gösterim şekilleri, kümeler arasındaki ilişkileri ve kümeler ile ilgili yapmak istediğimiz çalışmaları daha kolay anlaşılır hale getirmek için bizlere yardımcı olacaktır. 1.2 Kümelerin Gösterim Şekilleri 1. Liste Yöntemi: Bu yöntemle bir kümenin elemanlarını sıra gözetmeksizin  parantezlerinin içine aralarına virgül koyarak yazarız. Örnek 1.2 X =  A, N , K , R. Böyle bir yazılışta, ilgili kümedeki bir elemanın o kümede bir kez olması yeterlidir.  2. Ortak Özellik Yöntem: Bir kümenin elemanlarının sağladığı ortak özellikler bulunuyorsa söz konusu kümeyi a : a nın sagladıgı ozellik ya da a a nın sagladıgı ozellik şeklinde gösteririz. Bu şekildeki yazılım şartlı yazılım yöntemi olarakta adlandırılabilir. Örneğin beşten büyük doğal sayılar kümesini N = n : n  N ve n > 5 şeklide gösterebiliriz. 3. Venn Şeması Yöntemi: Verilen bir kümenin elemanlarını kapalı bir eğri içine yazarak göstermeye Venn şeması ile gösterme adı verilir. Örnek 1.3 X = 1, 2,3, 4 kümesini Venn şeması ile şeklinde gösterebiliriz. Tanım 1.1 (Boş Küme) Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve bu küme  veya   ile gösterilir. Örnek 1.4 A =  x : x ikiden buyuk çift asal sayılar B = a : B harfi ile başlayan aylar Tanım 1.2 (Eşit Kümeler) Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir. X ve Y kümelerinin eşitliği X = Y şeklinde yazılır ve X eşit Y diye okunur. X kümesi ile Y kümesi eşit değilse bu durum X  Y şeklide gösterilir. Örnek 1.5 X = a, b, c, d  ile Y = d , a, c, b kümeleri eşit kümelerdir.  Tanım 1.3 (Alt Küme) A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin her bir elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesi B kümesinin bir alt kümesidir denir ve bu durum A  B biçiminde gösterilir ve " A alt küme B " diye okunur. Bazen A  B yerine B  A yazılır ve bu durum " B kapsar A " diye okunur.  3  Örnek 1.6 A = a,1, 2, b , B = −1, a,1, ,2, b, c  olmak üzere A nın her elemanı B  2  nin de bir elemanı olduğundan A  B dir. Tanım 1.4 (Öz alt Kume) A kümesi B kümesinin bir alt kümesi ve A  B ise A ya B nin bir öz alt kümesi denir. Teorem 1.1 A, B, C herhangi üç küme olsun. Aşağıdaki önermelerden herbiri doğrudur. 1. Her A kümesi için A  A dır. (Yansıma özelliği) 2. ( A  B ve B  A)  A = B (Ters simetri özelliği) 3. ( A  B ve B  C )  A  C (Geçişme özelliği) Uyarı 1.1 Boş küme her kümenin altkümesidir. Tanım 1.5 Belirli bir incelemde sözü geçen tüm kümeleri alt küme olarak alan belirli bir kümeye evrensel küme denir. Genellikle E veya U harfi ile gösterilir. Örneğin doğal sayılar ile ilgili özelliklerin incelenmesinde evrensel küme doğal sayılar kümesidir. Bir A kümesinin kuvvet kümesi bu kümenin tüm altkümelerinin oluşturduğu kümedir ve P ( A ) ile gösterilir. Buna göre A  P ( A ) ve  A  P ( A ) dır. Fakat A  P ( A ) ve  A  P ( A) gösterimleri yanlıştır. Tanım 1.6 (Birleşim) A ve B herhangi iki küme olmak üzere A veya B de bulunan tüm elemanların kümesinie A ile B kümelerinin birleşimi denir ve A  B şeklinde gösterilir, " A birleşim B " diye okunur. Tanıma göre A  B =  x : x  A veya x  B dir.  Örnek 1.7 A = a, b, c , B = 1, 2, c, d  olmak üzere A  B = a, b, c, d ,1, 2 dir. Teorem 1.2 A, B ve C birer küme olmak üzere aşağıdaki önermeler doğrudur. 1. A  A = A (Tek kuvvet özelliği) 2. A  B = B  A (Değişme özelliği) 3. A  ( B  C ) = ( A  B )  C , (Birleşme özelliği) 4. A   = A (etkisiz eleman) 5. A  A  B ve B  A  B 6. A  B =   ( A =  ve B =  ) 7. A  B  B = A  B. Tanım 1.8 (Kesişim) A ve B herhangi iki küme olmak üzere hem A da hem de B kümesinde bulunan elemanların kümesine A ve B kümelerinin kesişimi veya arakesiti denir, A  B şeklinde gösterilir ve " A kesişim B " diye okunur. Tanıma göre A  B =  x x  A ve x  B dir. Örnek 1.9 A = 1, 2,3, 4 , B = 3, 4,5,6 olduğuna göre A  B = 3, 4 kümesidir. Tanım 1.7 A ve B herhangi iki küme olmak üzere A  B =  ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. Örneğin tek doğal sayıların kümesi ile çift doğal sayıların kümesi ayrıktır.  Teorem 1.3 A, B ve C herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki önermeler doğrudur. 1. A  A = A (Tek kuvvet özelliği) 2. A  B = B  A (Değişme özelliği) 3. A  ( B  C ) = ( A  B )  C (Birleşme özelliği) 4. A  B  A ve A  B  B 5. A  =  6. A  B  A  B = A. Teorem 1.4 A, B ve C herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki önermeler doğrudur. 1. A  ( B  C ) = ( A  B)  ( A  C ) 2. A  ( B  C ) = ( A  B)  ( A  C ) dir. Örnek 1.10 A  B = B  C olduğuna göre A  B  C olduğunu gösteriniz. Çözüm A  B = B  C  B  C  B olduğundan A  B  B olur. O halde A  B dir. Diğer taraftan B  A  B olduğundan B  B  C dir. B  C  B olduğundan B  C = B dir. O halde B  C dir. Sonuç olarak A  B  C olur. Örnek 1.11 Kesişim ve birleşim özelliklerinin sadeleştirme özelliklerinin olmadığını gösteren birer örnek veriniz. Çözüm A = 1, 2,3, 4 , B = 3, 4,5,6 , C = 5,6 olsun. A  B = 1, 2,3, 4,5,6 = A  C olduğu halde B  C dir. Ayrıca A = a, b, c , B = b, c, d  , C = b, c, e olsun. A  B = b, c = A  C olduğu halde B  C dir.  Tanım 1.8 (Tümleyen) E evrensel küme ve A  E olsun. E nin A da bulunmayan elemanlarının kümesine A nın tümleyeni denir. A' , At , Ac gibi gösterimler kullanılır. Tanıma göre At =  x x  E ve x  A dir. Teorem 1.5 E evrensel küme ve A, B  E olsun. Aşağıdaki önermelerin herbiri doğrudur. 1. A E = E 2. A E = A 3. A  At = E 4. x  A  x  At 5. A  At =  ( A  B) = At  B t t 6. ( A  B) = At  B t t 7. 8. (A ) t t =A 9. Et =  10. t = E 11. A  B  B t  At Tanım 1.9 (Fark) A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinin B de bulunmayan elemanların kümesine A ile B nin farkı denir. Bu fark A − B veya A \ B ile gösterilir. Buna göre A \ B =  x : x  A ve x  B dir. Araştıralım A ve B iki küme olmak üzere A \ B = A  B t dir. Araştıralım Aşağıdaki eşitliklerin gerçeklendiğini gösteriniz. 1. A \ B t = A  B 2. At \ B t = B \ A ( A \ B) = B  At t 3. 4. ( A \ B)  B =  5. ( A \ B)  ( A  B) =  6. ( A \ B)  ( A  B) = A 7. A \ ( A  B) = A \ B 8. A  ( B \ A) = A  B 9. A \ ( B  C ) = ( A \ B)  ( A \ C ) 10. A \ ( B  C ) = ( A \ B)  ( A \ C ) 11. ( A  B) \ C = ( A \ C )  ( B \ C ) 12. ( A  B) \ C = ( A \ C )  ( B \ C ) 13. ( A \ B)  C = ( A  C ) \ ( B  C ) 14. A  ( B \ C ) = ( A  B) \ ( A  C ) 15. A  ( B \ C ) = ( A  B ) \ (C \ A) 16. ( A \ B )  ( A  B ) \ ( A \ C ) = A \ ( B  C )  Tanım 1.10 Herhangi bir kümenin elemanlarını sayarak bu kümenin kaç tane elemanı olduğu söylenebiliyorsa bu kümeye sonlu küme denir. Aksi taktirde sonsuz küme denir. Örnek 1.11 a, b, c, d  ve 1, 2, , n kümeleri birer sonlu kümedir. Fakat 0 ile 1 arasındaki reel sayıların oluşturduğu küme bir sonsuz kümedir. Not 1.1 Sonlu bir A kümesinin elemanlarının sayısı n ( A ) , s ( A ) veya A ile gösterilir. Teorem 1.6 A ve B sonlu iki küme olmak üzere n ( A  B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A  B ) dır. Teorem 1.7 n elemanlı bir kümenin 2 n tane altkümesi vardır. Araştıralım A, B, C sonlu kümeler olmak üzere n ( A  B  C ) = n ( A) + n ( B ) + n (C ) − n ( A  B ) − n ( A  C ) − n ( B  C ) + n ( A  B  C ) Olduğunu gösteriniz.  GÜNLÜK HAYAT İLE İLİŞKİLENDİRELİM Kümeler konusu günlük hayatta sık sık karşımıza çıkmaktadır. Kümeleri, Eşyaları sınıflandırmak için kullanırız, Öğrencileri sınıflara ayırmak için kullanırız, Kütüphaneleri düzenlemek için kullanırız, Hesaplamaları kolay yapabilmek için kullanırız, Topluluk oluşturmak için kullanırız. 1.3 Sayılar Sayı, bir çokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir. Sayılar matematiğin harfleridir. Rakam, sayıları yazılı olarak göstermeye yarayan sembollerdir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olmak üzere 10 adet rakam vardır. Matematikte sayılar farklı kümeler içerisinde sınıflandırılmıştır. Biz bu derste doğal sayılar, tam sayılar,rasyonel sayılar,irrasyonel sayılar ve reel sayıları kullanacağız. 1.3.1 Doğal Sayılar Doğal sayılar 1’den başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır. Matematikte doğal sayılar kümesi N sembolü ile gösterilir. Doğal sayılar ismi bu sayıların doğada görüp tanıdığımız sayılar olduğu fikrinden ileri gelmektedir. Doğal Sayılar, Peano Aksiyomları tarafıdan oluşturulur. N = {1,2,3,4,5,6,7,...}. Doğal sayılar kümesi, toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. Yani, iki doğal sayının toplamı ve çarpımı yine bir doğal sayıdır. Örnek 1.12 3 ve 5 doğal sayıları için 3 + 5 = 8  8 N ve 3.5 = 15  15  N dir. Fakat iki doğal sayının farkı ve bölümü her zaman bir doğal sayı olmayabilir. Örnek 1.13 3 ve 5 doğal sayıları için 3 − 5 = −2  −2  N ve 3 = 0,6  0,6  N 5 dir.  1.3.2 Tam Sayılar Tamsayılar ,doğal sayılar {1, 2,3, } ile bunların negatif değerlerinden oluşan sayı kümesi { , −3, −2, −1} ve sıfırın (0) eklenmesiyle elde edilen sayı kümesidir. Tam sayılar kümesi Z sembolü ile gösterilir. Z sembolü Almanca zahlen (sayılar) sözcüğünden gelmektedir. Tamsayılar kümesinin elemanlarına tamsayı denir. Z = {1, 2,3, }  { , −3, −2, −1}  0 = { , −3, −2, −1,0,1, 2,3,...} Burada Z + = {1, 2,3, } pozitif tamsayılar kümesini Z − = { , −3, −2, −1} negatif tamsayılar kümesini göstermektedir. Bu durumda Z = Z +  0  Z − dir. Tamsayılar kümesi, toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalı bölme işlemine göre kapalı değildir. Örnek 1.14 3 ve 5 tamsayıları için 3 + 5 = 8  8Z 3.5 = 15  15  Z 3 − 5 = −2  −2  Z 5 − 3 = 2  2Z fakat 3 = 0,6  0,6  Z 5 dir. Uyarı 1.2 Doğal sayılar kümesi tamsayılar kümesinin bir alt kümesidir. Yani N  Z dir. 1.3.3 Rasyonel Sayılar a Rasyonel sayılar , a ve b  0 iki tam sayı olmak üzere, oranı ile ifade edilebilen b sayıların oluşturduğu kümedir.Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. O halde Q kümesi a Q = { | a, b  Z veb  0} b ile tanımlanır. Bu kümenin elemanlarına rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar tam sayıların bir genişlemesidir. Bu durumda Yani N  Z  Q dir.  1.3.4 İrrasyonel Sayılar Q rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan yani a ve b  0 iki tam sayı olmak a üzere, oranı ile ifade edilemeyen sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi b denir. Q ' sembolü ile gösterilirler. Bu kümenin elemanlarına irrasyonel sayı denir.  , e, 2 birer irrasyonel sayıdır. 1.3.5 Reel Sayılar İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir R.sembolü ile gösterilir. R = Q  Q ' dır. Doğal sayılar, tamsayılar rasyonel sayılar ve reel sayılar arasında NZQR bağıntısı vardır. Uyarı 1.3 x ve y reel sayılar olmak üzere, x sayısı, y sayısından küçük ise x < y şeklinde gösterilir. x − y < 0 ise x < y dir. x sayısı, y sayısından küçük veya eşit ise x  y şeklinde gösterilir. x sayısı, y sayısından büyük ise x  y şeklinde gösterilir. x − y  0 ise x  y dir. x sayısı, y sayısından büyük veya eşit ise x  y şeklinde gösterilir. 1.4 Mutlak Değer Tanım 1.8 Bir reel sayının sayı doğrusundaki yerinin başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. x reel sayısının mutlak değeri | x | şeklinde gösterilir. Örnek 1.15 5 ve −5 sayısının 0’a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu durumda | 5 |=| −5 |= 5 dir. Mutlak değer x  olmak üzere ; x ; x0  | x |=  − x  ; x 0 ise x = a veya x = −a olur. Bu eşitliğin çözüm kümesi Ç.K. = −a, a olup Ç.K. ile çözüm kümesini göstereceğiz.  Örnek 1.18 | x + 2 |= 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm x + 2 = 7 eşitliğinden x = 5 bulunur. x + 2 = −7 eşitliğinden x = −9 bulunur. Ç.K = {5, −9} Uyarı 1.4 | x |= 0 ise x = 0 olur. Örnek 1.19 | 5 x + 10 | +8 = 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm | 5 x + 10 |= 0 olduğu için 5 x + 10 = 0 eşitliğinden x = −2 bulunur. Ç.K = {−2} Uyarı 1.5 | x |= a eşitliğinde a < 0 ise denklemin çözüm kümesi boş küme olur. Uyarı 1.6 | x |=| y | ise x = y veya x = − y olur. Örnek 1.20 | x + 2 |=| 2 x − 1| denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm x + 2 = 2 x − 1 eşitliğinden x = 3 bulunur. x + 2 = −2 x + 1 eşitliğinden −1 −1 x= bulunur. Ç.K = { ,3} 3 3 Uyarı 1.7 | x |= y ise x = y veya x = − y olur. Bulunan kökler denklemde yerine yazılır ve mutlak değerin eşitini ( y ) negatif yapanlar çözüm kümesine dahil edilmez.  Örnek 1.21 | x − 2 |= 2 x + 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm x − 2 = 2 x + 1 eşitliğinden x = −3 bulunur. x − 2 = −2 x − 1 eşitliğinden 1 x= bulunur. Mutlak değerin eşiti negatif olamayacağı için bulunan x değerlerinin 2 x + 1 ’ü 3 negatif yapıp yapmadığına bakarız. Bu yüzden x = −3 değeri 2 x + 1 ’i negatif yaptığı için 1 çözüm kümesine dahil edilmez. Ç.K = { } 3 Uyarı 1.8 | x | + | y |= 0 ise x = 0 ve y = 0 olur. Örnek 1.22 | x − 2 | + | y + 6 |= 0 ise x. y ‘nin değerini bulunuz. Çözüm x − 2 = 0 eşitliğinden x = 2 bulunur. y + 6 = 0 eşitliğinden y = −6 bulunur. x. y = 2.(−6) = −12 elde edilir. 1.4.3 Mutlak Değerli Eşitsizlikler Mutlak değer içeren eşitsizliklere mutlak değerli eşitsizlik denir. x, a, b  R olmak üzere ; | x | a eşitsizliğinde a > 0 ise − a  x  a olur. Örnek 1.23 | x − 2 | 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm −4  x − 2  4 → −2  x  6 olup Ç.K = [ −2,6] dır. Uyarı 1.9 | x | 0 ise x = 0 olur. Uyarı 1.10 | x | a eşitsizliğinde a < 0 ise eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme olur. Uyarı 1.12 | x | a eşitsizliğinde a  0 ise x  a veya x  − a olur. Uyarı 1.13 | x | 0 ise çözüm kümesi Ç.K = R olur.  1.5 Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler Tanım 1.11 a, b  R ve a  0 olmak üzere ax + b = 0 şeklinde ifade edilebilen denklemlere x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. 4x Örnek 1.24 7 x − 3 = −2 ve + 12 = 10 denklemleri birinci dereceden bir bilinmeyenli 5 denklemlerdir. Örnek 1.25 7 x − 3 = −2 denkleminin çözümünü bulunuz. 1 Çözüm 7 x − 3 = −2  7 x = 3 − 2 = 1  x = elde edilir. 7 Araştıralım 3(4 x − 5) = 7 + 6( x + 4) denkleminin çözümünü bulunuz. Uyarı 1.14 ax + b = 0 denkleminde a  0 için denklemi sağlayan yalnız bir x değeri −b vardır ve bu değer dır. a Tanım 1.12 a, b  R ve a  0 olmak üzere ax + b > 0 ax + b  0 ax + b < 0 ax + b  0 şeklindeki eşitsizliklere x değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. 5x Örnek 1.26 7 x − 13 > 4 ve + 1  3 eşitsizlikleri birinci dereceden bir bilinmeyenli 3 eşitsizliklerdir.  Örnek 1.27 x − 3 < 12 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm x − 3 < 12  x < 15 elde edilir.Bu durumda Ç= ( −,15 ) aralığıdır. 1.6 İkinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler a, b, c  R ve a  0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 şeklindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. * Denklemi sağlayan x gerçek (reel) sayılarına denklemin kökleri denir. *Köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi (doğruluk kümesi) denir. ax 2 + bx + c = 0 denklemi f ( x).g ( x) = 0 şeklinde yazılabiliyorsa f ( x ) = 0 veya g ( x ) = 0 dır. Bu işleme çarpanlara ayırma yöntemi denir. ax 2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı (delta)  = b 2 − 4ac ‘dir.  > 0 ise denklemin farklı iki gerçek (reel) kökü vardır. Bu kökler −b −  x1 = 2a −b +  x2 = 2a dır.  = 0 ise denklemin birbirine eşit (çakışık, çift katlı) iki gerçek (reel) kökü vardır. Bu kökler −b x1 = x2 = 2a dır.  < 0 ise denklemin gerçek(reel) kökü yoktur.  Örnek 1.27 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 denkleminin varsa reel köklerini bulunuz. Çözüm  = b 2 − 4ac = 25 − 4.2.3 = 25 − 24 = 1 −b −  −(−5) − 1 4 x1 = = = =1 2a 4 4 ve −b +  −(−5) + 1 6 3 x2 = = = = 2a 4 4 2 bulunur. Tanım 1.13 a, b, c, x  R olmak üzere ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c  0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c  0 şeklindeki eşitsizliklere x değişkenine bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Bu tür eitsizliği çözmek için ax 2 + bx + c ifadesinin işareti incelenir. Durum 1  = b 2 − 4ac > 0 ise ax 2 + bx + c = 0 denkleminin iki farklı kökü vardır. x1 < x2 olmak üzere kökler x1 , x2 olsun. x − x1 x2  ax 2 + bx + c a nın işareti ile aynı a ile zıt işaretli a nın işareti ile aynı Durum 2  = b 2 − 4ac = 0 ise ax 2 + bx + c = 0 denkleminin eşit iki kökü vardır. Bu −b kökler x1 = x2 = dir. 2a x − x1 = x2  ax 2 + bx + c a nın işareti ile aynı a nın işareti ile aynı  Durum 3  = b 2 − 4ac < 0 ise ax 2 + bx + c = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Bu durumda a > 0 ise daima ax 2 + bx + c > 0 a < 0 ise daima ax 2 + bx + c < 0 olur Örnek 1.28 x 2 − 8 x + 15 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm x 2 − 8 x + 15 = 0   = b 2 − 4ac = 64 − 60 = 4 > 0 bulunur. −b −  8 − 2 x1 = = =3 2a 2 ve −b +  8 + 2 x1 = = =5 2a 2 x − 3 5  x 2 − 8 x + 15 + - + Ç.K=  x : x  R ,3 < x < 5 = ( 3,5 ) elde edilir.