1_Mesure_Unité_Scalaire_Vecteur_IT-def 2.pdf

1. Mesure Unité Scalaire Vecteur 1.1 Mesures et unités 1.2 Scalaires et Vecteurs 1.1 Mesures 1. La physique est une science expérimentale Chaque grandeur physique est représentée par une lettre; elle s'exprime à l'aide d'une unité Þ Mesures Þ grandeur Þ Unités Ex : m = 20 kg 2. La physique est une science quantitative Þ Mathématique Þ cours de math 3. Système International d’unités (SI) : Important que tout le monde se comprenne : système cohérent d’unités Définit 7 unités de bases Þ Mécanique : longueur m, masse kg, temps s : mks m &"# k Þ Electricité : Charge C Intensité courant A $ ! %!" s Þ + Température K A + Quantité de matière : mol pratique + Intensité lumineuse : Cd Ce sont les unités de base Toutes les autres unités rattachées au SI peuvent être dérivées de ces unités de base (unités dérivées). Système International (SI) ou mksA lettre minuscule lettres minuscules lettre minuscule lettre majuscule lettre majuscule lettres minuscules lettres minuscules La définition du SI fondée sur les valeurs numériques fixées des sept constantes choisies permet de déduire la définition de chacune des sept unités de base du SI http://www.bipm.org/fr/si/base_units/ Par défaut , le système d’unité SI doit être utilisé dans ce cours Autre système d’unités cohérent système cgs : centimètre – gramme - seconde – 1 centimètre = 0,01 mètre = 1 10-2 mètre – 1 gramme = 0,001 kilogramme = 1 10-3 kilogramme Autre système d’unité Système Britannique : système foot-pound- second. Utilisé dans le Hecht mais pas dans ce cours 4. Les préfixes, puissances … Þ Conversion d’unités: utilisation des puissances de 10, des préfixes Il ne faut pas connaitre ce qui est surligné en jaune Les préfixes permettent d’exprimer de petits ou très grands nombres de façon concise Attention: bien distinguer les lettres minuscules des lettres majuscules. Ex : M et m ont des significations différentes Attention: soigner l’écriture. ex : m et n ont des significations différentes Attention: Les symboles des préfixes sont accolés aux symboles des unités. Ex : ms (ne pas écrire : m s) Notation scientifique : x,yz 10+/-w Exemples : Exemples : mksA mksA d = 1 000 m peut aussi s’écrire : d = 1 103 m ou d = 1 km d = 0,001 m peut aussi s’écrire : d = 1 10-3 m ou d = 1 mm 39 600 000 m = 3,96. 107 m =39,6. 106 m = 39,6 Mm 0,0021 g = 2,1. 10-3 g = 2,1 mg = 2,1. 10-3 g = 2,1. 10-6 kg Exercices: beaucoup de tests sont disponibles sur Moovin : – 2756 1015 s = 2,756 …... s (noter le préfixe) – 38956 10-15 K = 38,956 ……. K (noter le préfixe) – 0,26 µA = 2,6……. A (noter la puissance de 10) 5. D’autres grandeurs requièrent des unités dérivées du SI : mksA Surface = longueur. longueur m² Volume = longueur. Longueur. longueur m³ &+,,* & #$ Masse volumique != = %'()!* % !" (valable uniquement pour un objet plein) Ce ne sont pas des unités de base mais des unités dérivées dans le système mksA Rappels surfaces périmètres Il ne faut pas connaitre ce qui est surligné en jaune Rappels volumes Il ne faut pas connaitre ce qui est surligné en jaune Rappels masse volumique r et densité d ! matière kg/m$ 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒆 dmatière = r = !eauà4° kg/m$ 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 [sans unité] Exemples : ! =&''' "#$%! = !%&' $ #° =!""" =! & # ! $ ! ( *+, ) (° $ % ! " %&' $ #° %&' $ #° !""" !+,-./ !!#$$ !)*+%, =(('!&& "#$%! & $ # ! *+,-./ = ! = =!!"# '() & %° !$$$ $ ! % " Ex de conversion d’unité : Que vaut la masse volumique de l’eau à 4° en g/cm³ ? % ($ =% %&! $ =% %&!! $ kg ' ' Rép : #! %&' "#! "#! d’où ρeau !° = 1000 #! = 1 10$ 10&$ cm! = 1 cm! &'()*$*+ " Vitesse #$"%! ! Unité mksA Accélération '()*+%+, # $%#&!" !" Unité mksA Parfois on associe un nom/symbole aux unités dérivées, on parle alors d’unités spécifiques 𝒌𝒈 𝒎 Ex: Force 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒆 𝒂𝒄𝒄é𝒍é𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒔𝟐 = 𝑵 Unité mksA Unité spécifique Newton : N Rem: les unités mksA m , s , A sont aussi des unités spécifiques 6. D’autres grandeurs ont des unités dérivées et des unités spécifiques SI Angle dans le plan q = -*%.,/,! #/ -2 "!1+'0( & !"#$"% !"# -*%.,/,! #, !")*%+'!( & [sans unité] s Unité q Unité mksA spécifique Il faut toujours noter l’unité spécifique associée à l’angle Conversion degré/radian 2Π Π 2 dim 2p rad = 360° 1° = = 360 180 = 0,017 rad Conversion radian/degré 360 180 2p rad = 360° 1 rad = = = 57,296 ° 2Π Π ,! ! %*+° = %*+ = %*+ = ! !"# = )(%&%'$$ !"# )'+ %*+ Valeur exacte approximation p = 3,141 592 654… Angle solide = W !4"5%21 '(#1"213#A1-+0, )* !#A"%&'%( !" "%./(*-+"*, )* Unité spécifique Unité mks W (sans unité) Question : Que vaut l’angle solide total ? +("1#)/ '0 (&/ +,-."/ !! " 2 = 2 = !! )#""* '( "#$%& " 3 dim Force = masse.accélération ,0''"+N%&*."./ )*+, $",-'( '( Unité mksA !"#$%& ! Unité spécifique g.cm unité cgs : dyne ∶ s² Ex : Convertir 1 N en dyne Force gravitationnelle Toutes les masses s’attirent m1 et m2 sont les masses de deux corps qui s’attirent $ ! ! d est la distance entre les c.g. des deux corps qui s’attirent %= # ! "! G est une constante, appelée constante gravitationnelle qui est environ égale à 6,6710-11 (unités mksA) Attention à la cohérence des unités, toutes en mksA Question : unité de G ? F d! G = 𝑚" 𝑚! ,'+-$ &'(F$G+ %. = !"##$ !"##$ Unité mksA 𝑁𝑚² 𝑘𝑔 𝑚 𝑚² 𝑚³ = = 𝑘𝑔² 𝑠² 𝑘𝑔² 𝑠²𝑘𝑔 Nous verrons la formulation vectorielle plus tard Balance à torsion de Cavendish Mesure de la force Fil de torsion gravitationnelle Détermination de G 1 m2 1 G= 6,6710-11 & %$ ! $" # $ !" ! = # ! !" ! % " m2 1 m2 http://www.dailymotion.com Pesons la terre Remarque : dans la suite du cours on utilisera m et m’ pour désigner les masses. Ne pas confondre avec l’unité correspondant au mètre Proche de la surface de la terre, tout est attiré par elle G m m′ F= G = 6,6710-11 Nm2/kg2 r² Rayon polaire rtp = 6 356,752 103 m G m mterre F= Rayon équatorial rté= 6 378,137 103 m (rterre )² Mterre = 5,9736 1024 kg Poids de l’objet G mterre F = mg g = Au pôle : g = 9.86 m/s2 (rterre )² A l’équateur : g = 9.79 m/s2 Formule valable près de la surface de la Sous nos latitudes, terre; Force entre la terre et un objet nous utiliserons par défaut: g = 9,81 m/s2 pour les ex et travaux pratiques Question : Retrouver l’unité de g Ex : calculer la grandeur de la force gravitationnelle entre : a/ la terre et un homme de 80 kg à la surface de la terre b/ deux hommes de 80 kg distants d’un mètre. c/ comparer les Rép a/ FTH = 784.8 N F = mg G m m′ b/ FHH = 4,27 10-7 N F= r² c/ L’attraction entre la terre et un homme est bcp plus grande que celle entre deux hommes distants d’1 m. Nous ressentons bcp plus l’attraction de la terre que celle de notre voisin. Par défaut, nous négligerons ds les ex la force d’attraction entre les objets si ils sont proches de la terre Pression = Force/surface = masse accélération /surface &"##-)%N2+,-,. *+)& *+ Unité mksA /-&0#')%N2+,-,.' #')&' #')& ( !"#$"% !" &' Unité spécifique Forces égales, pressions '()* & différentes exercées sur le $&! $%" !"#$% sable Vous connaissez la formule Þ Vous trouvez les unités Vous connaissez les unités Þ Vous pouvez imaginer la formule mais attention aux grandeurs sans unités qui pourraient se trouver dans la formule Þ Ex : [ N m] …. Þ Force distance F d …. travail W = F d sin q Exemples de questions d’examens : Complétez le tableau suivant: Grandeur Symbole (écrire Unité spécifique du Unité mksA correctement si SI (si elle existe) scalaire ou si vecteur) Exemple : accélération a / m/s² exemple: d m m distance Force Tension superficielle Potentiel électrique vitesse Résistance électrique Comment y parvenir ? S’exercer et se créer un tableau au fur et à mesure: Comprendre la technique (pas de ‘par cœur’) Comment retrouver les unités ; Grandeur Symbole Unité spécifique du Unité mksA (écrire SI (si elle existe) correcteme nt si scalaire ou si vecteur) vitesse v=distance/t v / m/s emps 𝑚 𝑠 Comment y parvenir ? S’exercer et se créer un tableau au fur et à mesure: Comprendre la technique (pas de ‘par cœur’) Comment retrouver les unités ; Grandeur Symbole Unité spécifique du Unité mksA (écrire SI (si elle existe) correctement si scalaire ou si vecteur) Force F=ma [ kg m/s²] F N kg m/s² Pression 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑃= 𝑆𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 𝐹 𝑃= 𝑆 Pa 𝒌𝒈 𝒎𝒂 P 𝑃= 𝑺 𝒔𝟐 𝒎 𝑘𝑔 𝑚 𝑠 ! 𝒎𝟐 𝑘𝑔 𝑠! 𝑚 7 Conversions d’unités On se base sur le terme à convertir ( le terme de gauche) 1 : on recopie la valeur numérique en la notant en notation scientifique 2: on remplace les préfixes par leur valeur numérique (notation scientifique) 3: on transforme les unités données dans les unités demandées (notation scientifique) 4: on applique les exposants 5: on simplifie Exemples: 0,2 𝑐𝑚 = ⋯ ? ….. 𝑚 0,2 𝑐𝑚 = 2 1034 1035 𝑚 0,2 𝑐𝑚 = 2 1037 𝑚 2 m = ? cm 2 𝑚 = 2 105 𝑐𝑚 2 𝑐𝑚5 = ? 𝑚5 5 2 𝑐𝑚² = 2 𝑐𝑚 = 2 1035 𝑚 5 = 2 1036 𝑚5 2 𝑚5 = ? 𝑐𝑚5 2 𝑚² = 2 105 𝑐𝑚 5 = 2 106 𝑐𝑚5 1 : on recopie la valeur numérique en la notant en notation scientifique 2: on remplace les préfixes par leur valeur numérique (notation scientifique) 3: on transforme les unités données dans les unités demandées (notation scientifique) 4: on applique les exposants 5: on simplifie Exemples: 𝑘𝑔 𝑚𝑔 25 7 = ? 𝑚 𝑐𝑚7 𝑘𝑔 10K 10K m𝑔 𝑚𝑔 25 K = 2,5 10L L = 2,5 10 10N 𝑚 M 10 𝑐𝑚 K 10N𝑐𝑚K 4 8 38 𝑚𝑔 4 𝑚𝑔 = 2,5 10 10 10 7 = 2,5 10 𝑐𝑚 𝑐𝑚7 Exemple : convertir 92,6 mg/cm² en unités mksA en simplifiant au maximum la réponse et en utilisant la notation scientifique 𝑚𝑔 92,6 ! = ⋯ … ? … … [𝑚𝑘𝑠𝐴] 𝑐𝑚 𝑚𝑔 𝑘𝑔 92,6 ! = ⋯…?…… ! 𝑐𝑚 𝑚 1 : on recopie la valeur numérique en la notant en notation scientifique 2: on remplace les préfixes par leur valeur numérique (notation scientifique) 3: on transforme les unités données dans les unités demandées (notation scientifique) 4: on applique les exposants 5: on simplifie 37 𝑚𝑔 4 10 𝑔 92,6 = 9,26 10 𝑐𝑚 ² 1035 𝑚 5 37 𝑚𝑔 4 37 10 𝑘𝑔 92,6 5 = 9,26 10 10 𝑐𝑚 1035 𝑚 5 37 𝑚𝑔 4 37 10 𝑘𝑔 92,6 5 = 9,26 10 10 𝑐𝑚 1036 𝑚² 9: 4 37 37 6 23 c) utilisation de fonction transcendantes (sin, cos, exp,…) : Le résultat d’un calcul utilisant une fonction transcendante aura le même nombre de chiffres significatifs que son argument. exemple : sin (35,1) = 0,575005252 ---> 0,575 d) différentes opérations combinées (addition et quotient par exemple) : Le résultat d’un calcul utilisant différentes opérations combinées sera arrondi suivant la même règle que pour le produit et/ou quotient (point b ci-dessus). 11,3 cm 6,8 cm Exemple: mesures : Surface : S= 11,3 cm ´ 6,8 cm = 76,84 cm² 11,3 a 3 CS et 6,8 a 2 CS Þ 76,84 a trop de CS Le nombre correct de CS = 2 Þ Il faut donc arrondir 76,84 et garder 2 CS ÞRéponse fiable pour la surface : S =77 cm² Attention on applique ces règles seulement à la dernière étape des calculs ! 10. Estimation rapide de l’ordre de grandeur Intérêt à estimer rapidement l’ordre de grandeur d’une quantité pour voir si on est dans le bon. Exemple : estimez le volume du cylindre en m³ r = 0,8 m h = 1000 mm V ~ 3. 1. 1. 1 V ~ 3 m³ Ex : idem en cm3 11. Symboles ~ Alphabet grec Bcp utilisés dans ce cours Ex : s’entrainer à les lire ET à les écrire correctement 12. Exercices Convertissez %&! %&! '$ $ – 1kg/m³ = g/cm³ = , = %& !+ " % = %& !+ *%&()! %& #! "# ! – 1g/cm² = hg/m² – 10 m/s = km/h – 1° = rad Rappel : La résolution – 1N= dynes des exercices est à faire avant les séances – 1 g.cm/s² = kg.m/s² d’exercices Exercices – La masse volumique d’un certain bois vaut 750 kg/m³. 89cm Que vaut la masse volumique 2,2m de ce bois en g/cm³ ? Que 11dm vaut la densité ? – Estimez le volume ci-contre en dm³ – Que vaut ce volume en mm³ 12. Appareils de mesures (ex) Il est important d’identifier les appareils de mesures, de savoir ce qu’ils mesurent, dans quelle unité et avec quelle précision thermomètre: mesure d’une température en balance: mesure °Celsius Becher: mesure d’un volume d’une masse en g en ml par exemple par exemple dynamomètre: multimètre: mesure mesure d’une force de diverses en Newton grandeurs, utilisé en électricité manomètre: mesure d’une pression en bar par exemple Un multimètre permet de mesurer : Une tension électrique. (Volt V) - Voltmètre Une intensité du courant électrique. (Ampère A)- Ampèremètre Une résistance. (Ohm Ω)- Ohmmètre Une fréquence (Hertz Hz) Une capacité électrique (Farad F) Un coefficient de self (Henry H) …. 1. Introduction 1.1 Mesures 1.2 Scalaires et Vecteurs 1.2 Scalaires et Vecteurs Définition Représentation d’un vecteur Composantes d’un vecteur dans le plan xy ou l’espace à 2 dimensions Composantes d’un vecteur dans l’espace à 3 dimensions xyz Multiplication d’un vecteur par un scalaire Addition des vecteurs Vecteur unitaire Représentation vectorielle d’une surface Le produit scalaire Le produit vectoriel 1.2 Scalaires et vecteurs Définition Une grandeur scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre et une unité. Il a une valeur numérique mais pas d'orientation. Les scalaires obéissent aux lois de l'algèbre ordinaire Ex. masse, distance, température, volume, densité Exemples – Masse : m = 5 kg – Distance : l = 32 m – Température : t = 300 K – Volume : V = 5 m³ – Densité : d = 1,5 – Masse volumique : r = 700 kg/m³ – Pression : P = 3 Pa – Travail : W = 10 Joule Un vecteur est une entité mathématique définie par plusieurs valeurs numériques. Ces valeurs numériques décrivent le module (grandeur) et l'orientation du vecteur (direction et sens). Les vecteurs obéissent aux lois de l'algèbre vectorielle Ex. – Déplacement : r – Vitesse : v – Accélération : a – Force : F – Quantité de mouvement : p Représentation d’un vecteur Les vecteurs sont souvent imprimés en ! caractère gras et/ou surmontés d'une flèche. ! Un vecteur peut être représenté géométriquement comme un segment de ! droite orienté de longueur proportionnelle à ! son module. q On le représente par une flèche, son orientation est précisée par l'angle qu’il forme avec un axe. Le module d'un vecteur est ! ! un scalaire positif. A= ! = ! ! ! extrémité du vecteur q Origine du vecteur Analogie : vecteur -flèche Avant de la flèche arrière de la flèche : vu de face on : vu de dos on voit voit un point une croix On évitera les représentations à 3 dimensions par soucis de clarté des dessins Ex : A // axe z Avant de la flèche arrière de la flèche : vu de face on : vu de dos on voit voit un point une croix ! y ! Représentation d’un À éviter vecteur sortant du plan (avant d’une flèche) ! Z x ! y ! ! Représentation d’un vecteur entrant dans le plan (arrière d’une flèche) ! À éviter Z ! x En math on définit donc un vecteur en donnant – Sa grandeur ou module – Sa direction – Son sens ! Lorsqu'on dessine un vecteur ! , on peut placer son origine en n'importe quel point par rapport aux axes du système de coordonnées. Dans ce cours, par défaut, on donne l’angle qui définit l’orientation du vecteur par rapport à l’axe des x Vecteurs colinéaires A B A = kB "!"!! D 𝐵 = 1,3 𝐴⃗ k > 0 vecteurs parallèles et dans le même sens 𝐷 = −1,8 𝐴⃗ k < 0 vecteurs parallèles et dans sens opposés Vecteurs orthogonaux ou perpendiculaires C :A^C A L'égalité vectorielle A = B signifie que les vecteurs ont le même module et la même orientation (même direction et même sens) ! ! != " ! != " #A " ! = "" y A qB = 180° + qA qA qB B x ! A = B mais A ¹ B A = B et A = -B Multiplication d’un vecteur par un scalaire Multiplier un vecteur par un nombre pur (ou un scalaire) revient simplement à modifier le module du vecteur. Pas de changement de direction (le sens peut changer). A = kB "!"!! k > 0 vecteurs parallèles et dans le même sens k < 0 vecteurs parallèles et dans sens opposés Exemple ! ! ! # = !" = "! Utilité de la multiplication d’un vecteur par un scalaire en physique Exemple : définition de la quantité de mouvement, vecteur qui a la même direction et le même sens que la vitesse. v ! ! p $ = "#! [ kg m / s] La quantité de La masse est La vitesse est un mouvement est un un scalaire vecteur vecteur Multiplication d’un vecteur par un scalaire. Ecriture du vecteur en coordonnées polaires. A = (A ; qA) Dans ce cours, par défaut, on donne l’angle qui définit l’orientation du vecteur par rapport à l’axe des x Inverse d’un vecteur ! ! ! " = !"! ! = ! ! B=(20 ; 300°) Addition des vecteurs D A C B Mettre tous les autres à la ! ! ! ! ! queue leu leu en gardant les ! = "+ # +A + B orientations (direction et sens) ! ! est la résultante A Repérer l’origine du premier Tracer la vecteur résultante Repérer l’extrémité du dernier vecteur Représenter le vecteur R est simple, déterminer sa grandeur R peut s’avérer plus complexe. Sauf dans qq cas particuliers, R ¹ A + B + C + D ! Commutativité de l’addition L’addition est commutative: ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = "+ # +A = "+A + # = # +A + " ! ! ! ! Soustraction de vecteurs ( ) ! ! " = ! + !" En math on précise donc un vecteur en donnant – Sa grandeur ou module – Sa direction – Son sens Mais, dans un problème de physique, l'emplacement d'une grandeur vectorielle peut avoir une importance. On souhaitera par exemple savoir où s’applique une force. Sur quel objet, en quel endroit de celui-ci. Il sera donc important de savoir où se situe le point d’application du vecteur (origine) représentant la force. Exemple de l’importance du point d’application (origine) d’un vecteur 3 forces sur un objet. Les 3 forces ont le même module mais des orientations différentes ! ! ! $# = $" = $! &'(F% $# ! $" ! $! ! ! En math #! = #"! mais le résultat de l’application des forces en physique est très différent ! ! #"! "! ¹ Point d’application Point d’application Point d’application Point d’application Point d’application Point d’application À acquérir très rapidement Rappel : trigonométrie : SOH CAH TOA Hypoténuse Coté a a2 = b2 + c2 opposé q b c Coté adjacent.&'( -%%&H( " "C'( !!"#$%&' " 1-# 0 H/)! = =./# - "CH! = = #$%&'()*H, ! #A%C'()*H, ! &%"#$! = ! %$!"#! = ! !*(+ !""!#$ "./0 - (,! = = !*(+)#A%#!&'( ! Exercices : voir fiches RAN sur mooVin (cours de math et phys1 ) Exercez-vous !!! a et q connus, exprimez les autres termes en fonction de a et q c c q b= q b= b b c= c= a a q= q= b b b= b= q c c= c q c= a q= a q= Etc... Exercez-vous !!! a et q connus, exprimez les autres termes en fonction de a et q c c b= b= b b c= q q a c= a q= q= b b q q b= b= c c= c c= a q= a q= Etc... Composantes d’un vecteur dans le plan xy ou l’espace à 2 dimensions Tout vecteur A peut être xy : repère orthonormé décomposé en ses composantes rectangulaires Ax et Ay qui ont ! ! ! comme grandeur Ax et Ay # = #" + #! respectivement. Ces grandeurs des composantes rectangulaires sont appelées coordonnées cartésiennes "! = " !"# ! " A = (Ax ; Ay) "# = " #$% ! " A! = A !# + A !" Ay 𝐴% qA A = A +A ! ! J$ = atan # " 𝐴& ! ! ! # = #" + #! Ax "! = " !"# ! " "# = " #$% ! " Ay Ay ou A( = A #%&! F q Ax A' = A !"#! x Un vecteur A peut aussi être décomposé en ses coordonnées polaires A et qA. A = (A ; qA) Expression des coordonnées cartésiennes en fonctions des coordonnées polaires qA "! = " !"# ! " "# = " #$% ! " Expression des coordonnées polaires en fonctions des coordonnées cartésiennes ? A = "A ! + "# ! & #" # qA = !"!# $ ! % #! " Exemple : Décomposition d’un vecteur dans le plan y F Fy x Fx 1/ représenter le système d’axe orthonormé 2/ projeter le vecteur sur l’axe x : Projeter l’origine du vecteur sur l’axe x Projeter l’extrémité du vecteur sur l’axe x 3/ représenter la composante x du vecteur: ce vecteur a pour origine la projection de l’origine du vecteur sur x et comme extrémité la projection de l’extrémité du vecteur sur x 4/ projeter le vecteur sur l’axe y : Projeter l’origine du vecteur sur l’axe y Projeter l’extrémité du vecteur sur l’axe y 5/ représenter la composante y du vecteur: ce vecteur a pour origine la projection de l’origine du vecteur sur y et comme extrémité la projection de l’extrémité du vecteur sur y Exemple : Décomposition d’un vecteur dans le plan y F Fy q x Fx 5/ exprimer la longueur des composantes en fonction de la longueur du vecteur et d’un angle fourni 𝐹' = 𝐹 cos q Attention au signe 𝐹( = 𝐹 sin q des composantes : signe positif si le vecteur composante a le même sens que le sens de l’axe, négatif sinon EXCERCEZ VOUS !!! Par ex sur moovin Exercices : exprimer Ax et Ay en fonction de A et de l’angle fourni y A A x Représentez a Ax , Ay et y a exprimez Ax et x Ay en fonction de A et de l’angle donné y x y x A a a A solutions Exercices : exprimer Ax et Ay en fonction de A et de l’angle fourni y A 𝐴' = 𝐴 cos a A x 𝐴' = 𝐴 cos a a 𝐴( = 𝐴 sin a y a 𝐴( = 𝐴 sin a x y x y x A 𝐴' = − 𝐴 cos a 𝐴' = − 𝐴 cos a a a 𝐴( = − 𝐴 sin a 𝐴( = 𝐴 sin a A Exercices : exprimer Ax et Ay en fonction de A et de l’angle fourni y A A x a a y x y x y x a A a A solutions Exercices : exprimer Ax et Ay en fonction de A et de l’angle fourni y A 𝐴' = 𝐴 sin a A x 𝐴' = 𝐴 sin a a 𝐴( = 𝐴 cos a a y 𝐴( = 𝐴 cos a x y x 𝐴' = −𝐴 sin a y x a 𝐴( = −𝐴 cos a A 𝐴' = − 𝐴 sin a a 𝐴( = 𝐴 cos a A Exercices : exprimer Ax et Ay en fonction de A y A x A y x y y x x A A solutions Exercices : exprimer Ax et Ay en fonction de A y A 𝐴' = 0 x 𝐴' = 𝐴 A 𝐴( = 𝐴 y 𝐴( = 0 x y y x x 𝐴' = 0 𝐴' = − 𝐴 A 𝐴( = −𝐴 𝐴( = 0 A Composantes d’un vecteur dans l’espace à 3 dimensions xyz Un vecteur P peut être décomposé en ses composantes rectangulaires Px et Py et Pz ! Les grandeurs des composantes "! rectangulaires sont appelées ! coordonnées cartésiennes ! ! ! "! P = (Px ; Py ; Pz) q "! Indice : Pxy = P cos q j Pxy Px = Pxy cos j = P cos q cos j P y = Pxy sin j = P cos q sin j P z= P sin q Pxy est la projection de p sur le plan xy Quelles sont les coordonnées cartésiennes de P ? Px = Py = Pz = P = (Px ; Py ; Pz) = ( ; ; ) Sol:Quelles sont les coordonnées cartésiennes de P ? Px = 3 Py = 4 Pz = 5 P = (Px ; Py ; Pz) = ( 3 ; 4 ; 5 ) Un vecteur M peut aussi être décomposé en ses coordonnées sphériques. M q latitude Les coordonnées sphériques de M sont M, q et j j longitude Mpxy Ø M est le module du vecteur. C’est la distance du centre de la terre à l’endroit où pointe le vecteur MX = M cos q cos j Ø q est l’angle de latitude ( p/r plan de l’équateur) Øj est l’angle de longitude (p/r mér. Greenwich) My = M cos q sin j Mz = M sin q C’est utile pour le repérage sur la terre L’équateur est le cercle imaginaire autour de la Terre situé à égale distance des deux pôles. Un parallèle est un cercle imaginaire parallèle à l’équateur. Un méridien est un demi-cercle qui joint les deux pôles. Le méridien de Greenwich est le méridien qui passe par l'Observatoire de Greenwich, près de Londres La latitude est la distance mesurée en degrés qui sépare un parallèle de l’équateur. La longitude est la distance mesurée en degrés qui sépare un méridien, du méridien de Greenwich http://www.torop.net/coordonnees-gps.php C’est l’angle q C’est l’angle j Rappel :Addition des vecteurs D A C B Mettre tous les autres à la ! ! ! ! ! queue leu leu en gardant les ! = "+ # +A + B orientations (direction et sens) ! ! est la résultante A Repérer l’origine du premier Tracer la vecteur résultante Repérer l’extrémité du dernier vecteur Représenter le vecteur R est simple, déterminer sa grandeur R peut s’avérer plus complexe. Sauf dans qq cas particuliers, R ¹ A + B + C + D ! Somme de 2 vecteurs quelconques On additionne des vecteurs en additionnant les composantes de ces vecteurs. Si R = A + B alors Rx = Ax + Bx et Ry = Ay + By R = R x + Ry 𝑅= 𝑅=5 + 𝑅>5 Ry 𝑅> 𝑡𝑔𝜃? = 𝑅= Rx R = A + B Mais … R ≠ A + B (sauf cas partic.) Somme de 2 vecteurs quelconques Si R = A + B alors Rx = Ax + Bx et Ry = Ay + By R = R x + Ry Équation vectorielle Rx = Ax + Bx Equation scalaire : à adapter à chaque exercices 𝐴! = 𝐴 cos 𝜃" 𝐵! = 𝐵 cos 𝜃# 𝑅! = 𝐴 cos 𝜃" + 𝐵 cos 𝜃# Équation vectorielle qB Ry = Ay + By Equation scalaire : à adapter à chaque exercices 𝐴$ = 𝐴 sin 𝜃" 𝐵$ = 𝐵 sin 𝜃# qA 𝑅$ = 𝐴 sin 𝜃" + 𝐵 sin 𝜃# 𝑅= 𝑅!% + 𝑅$% ! = $%$& &$ # " # ! $# ! 𝑅$ % ! " 𝑡𝑔𝜃& = 𝑅! R=A+B R ≠ A + B sauf cas partic. Ou, en plaçant l’origine des vecteurs à l’origine du système d’axe : y $ = $ +$ ! # ! " R B &#" # ! = $%$& $ ! q $# ! A % ! " qB qA Rx = Ax + Bx x ' # = "AB&!" + !AB&!! Ex: Nommer les vecteurs ‘noirs’ Ry = Ay + By ' # = "AB&!" + !AB&!! On obtient le même résultat Méthode à utiliser et applicable à une somme de N vecteurs ex : R = A + B donner l’expression de R et de q ! ! ! ! ! ! y A ! = # ! + "! A ! = # ! + "! y B R B qB A q A qB qA qA x x Solution : $ = $ +$ ! # ! " ' # = "AB&! " ! !AB&! ! &#" # ! = $%$& $ ! ' # = "AB&!" + !AB&!! $# ! % ! " ex : R = A + B donner l’expression de R et de q ! ! ! ! ! ! y A ! = # ! + "! A ! = # ! + "! y B qB R B qA q qB qA A A x x Solution : $ = $ +$ ! # ! " ' # = "AB&! " ! !AB&! ! &#" # ! = $%$& $ ! ' # = "AB&! " + !AB&! ! $# ! % ! " ex : R = A + B donner l’expression de R et de q ! ! ! ! ! ! y A ! = # ! + "! A ! = # ! + "! y B R B qB qA A q A qB x x Solution : $ = $ +$ ! # ! " ) # = "&'(! " ! !AB&! ! &#" # ! = $%$& $ ! * # = "()A! " + !AB&'! ! $# ! % ! " ex : R = A + B donner l’expression de R et de q ! ! ! ! ! ! A ! = # ! + "! A ! = # ! + "! y y A qB A B qA x qA x q R qB B Solution : $ = $ +$ ! # ! " ' # = "AB&!" + !AB&!! &#" # ( # = "AB&!" ! !AB&'!! ! = $%$& $ ! $# ! % ! " Généralisation: somme de n vecteurs quelconques % % % Si 𝑅 = > 𝐹⃗" alors 𝑅& = > 𝐹⃗" & et 𝑅' = > 𝐹⃗" ' "#$ "#$ "#$ y ! ! 𝑅 = 𝑅& + 𝑅' 𝑅= 𝑅& + 𝑅' x 𝑅' 𝑅' tan q( = q( = 𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑅& 𝑅& Attention aux signes dans les composantes de Rx et Ry Ne pas oublier de représenter les axes $ Exemple : somme de trois vecteurs 𝑅 = * 𝐹⃗! !"# y F1 𝐷𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 ∶ 𝐹", 𝐹! , 𝐹* , q, a, b F1y Inconnues : R, qR F2 q F2y a F2x F3x F1x x F3y b F3 𝑅 = 𝐹" + 𝐹! + 𝐹* 𝑅= 𝑅'! + 𝑅(! =… 𝑅' = 𝐹"' + 𝐹!' + 𝐹*' +! 𝑅' = 𝐹1 sin q − 𝐹2 cos a + 𝐹3 sin b = …. θR = atan =… +" 𝑅( = 𝐹"( + 𝐹!( + 𝐹*( 𝑅( = 𝐹1 cos q + 𝐹2 sin a − 𝐹3 cos b =... $ Exemple : somme de trois vecteurs 𝑅 = * 𝐹⃗! !"# y 𝐷𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 ∶ 𝐹", 𝐹! , 𝐹* , q, a, b F1 F1y F2 q F2y a v F2x F3x F1x x Inconnues : R, qR F3y b F3 𝑅 = 𝐹" + 𝐹! + 𝐹* 𝑅= 𝑅'! + 𝑅 ! v ( = 27,20 N 𝑅' = 𝐹"' + 𝐹!' + 𝐹*' +! 𝑅v' = 𝐹1 sin q − 𝐹2 cos a + 𝐹3 sin b = 20,58 v N θR = atan = 40,84 ° +v" 𝑅( = 𝐹"( + 𝐹!( + 𝐹*( v N 𝑅(v = 𝐹1 cos q + 𝐹2 sin a − 𝐹3 cos b = 17,79 Cas particuliers y x Somme de 2 vecteurs colinéaires de même sens C- = A + B ! ! ! # ="+! # ="+! C, = 0 + 0 = 0 ! ! ! !! ! ! ! C = C- =A + B ! ! Somme de 2 vecteurs colinéaires de sens opposées C- = A − B ! ! ! # ="!! C, = 0 + 0 = 0 # ="+! ! ! C = C- =A - B ! ! ! ! ! ! ! ! Somme de 2 vecteurs orthogonaux ! ! ! A" = # B + !B # ="+! ! A = #" + !" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! À ne pas utiliser !!! y Rem: Somme de 2 vecteurs quelconques ! ! ! ! ! x # ="+! ! q !"#$! "! ! ! "! ! B + !"#A! !"#$! ! ! ! # = #" + # ! (' = (! + "#AB! ) + ("B*+! ) C C "# = # " + # ! ! ! (' = (!' + C!"#AB! + "'#AB'! ) + "'B*+'! (' = !' + "'#AB'! + "'B*+'! + (C!"#AB! ) (' = !' + "',#AB'! + B*+'! ) + C!"#AB! # = # +# ! " ! ! (' = !' + "' + C!"#AB! ! ( = !' + "' + C!"#AB! Expression à utiliser uniquement pour vérification- valable uniquement pour la somme de 2 vecteurs Utilité de l’addition des vecteurs en physique Exemple : lorsque l’on cherche la résultante des forces (ou la somme des forces) auquel un objet est soumis pour voir dans quel sens il va se déplacer ou s’il va rester au repos F1 Frés = F1 + F2 +F3 = ? F2 F3 Vecteur unitaire Un vecteur unitaire est un vecteur dont le module est égal à 1 ! Par exemple " est un vecteur unitaire dans la direction du ! ! vecteur ! ! ! ! ! ! ! = ! # "! "! = ! ! ! ! "! Grandeur Sens et direction Utilité du vecteur unitaire en physique Exemple pour la définition de la vitesse (cinématique) Nous verrons (en cinématique) que la vitesse d’un objet est toujours tangente à la trajectoire de l’objet ! ! # = #$" ! Grandeur de Direction et la vitesse qui sens de la change tout vitesse qui le temps change tout le temps Représentation vectorielle d’une surface Les doigts de la main ! droite s’enroulent dans le sens du parcours du contour de la surface ! Le pouce indique la direction et le sens du vecteur surface Le vecteur surface : Grandeur : égal à la surface Sens de parcours Direction : perpendiculaire à la surface du contour de la Sens : conventionnel : donné par le surface pouce de la main droite Le produit scalaire 𝐴⃗ ⋅ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃 𝐵 ⋅ 𝐴⃗ = 𝐵 𝐴 cos 𝜃 Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit du module du premier par le module de la composante du second dans la direction du premier. Produit scalaire en fonction du ! ! module et de l’angle: ! " " = !" !"#! q est le plus petit angle entre le vecteur A et le vecteur B Le résultat du produit scalaire entre deux vecteurs est un scalaire Le produit scalaire est commutatif Produit scalaire : ! ! ! " " = !" !"#! Notez que le produit scalaire est nul si les deux vecteurs sont perpendiculaires (q = 90°) et maximal (en valeur absolue) s’ils sont colinéaires (q = 0° ou 180°). B A A q=90° A B B 𝐴⃗ ⋅ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 180 𝐴⃗ ⋅ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 0 𝐴⃗ ⋅ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 90 𝐴⃗ ⋅ 𝐵 = − 𝐴𝐵 𝐴⃗ ⋅ 𝐵 = 𝐴𝐵 𝐴⃗ ⋅ 𝐵 = 0 Utilité du produit scalaire en physique Exemple : définition du travail (noté W pour Work) Une force F déplace un objet d’un point A à un point B ! ! ! ! = !"" + !! ! ! ! ' = & % = &$%$!"#! ! ! [ kg m² / s²] [J] joule !! q ! "!! A ! Déplacement : ! B Représentez Fcosq, Fsinq La force est …… un vecteur (vecteur ou scalaire) ! ! & = ! " = !"#$%! Le déplacement est….. un vecteur (vecteur ou scalaire) Le travail est ….. un scalaire (vecteur ou scalaire) ! Unité mks du travail …. kg m² /s². ! Unité spécifique du travail….J (Joule). ! Déplacement : ! ! ! Exercices ! " " = !" !"#! Evaluez le produit scalaire des vecteurs A et B si A = 4 et B = 2 A A B cos q = 4. 2 cos 90° = 0 A A B B B A B cos q = A A B cos q = 4. 2 cos 0° = 8 4. 2 cos 90° = 0 A B A B 120° B A B cos q = A B cos q = A B cos q = 4. 2 cos 180° = - 8 4. 2 cos 180° = - 8 4. 2 cos 120° = - 4 Le produit vectoriel Le module (grandeur) du produit vectoriel de deux vecteurs est le produit du module du premier par le module de la composante du second qui est perpendiculaire au premier. B┴ A┴ ! ! ! " " = ! ( " !"# ! ) = " ( ! !"# ! ) = !" !"# ! q est le plus petit angle entre le vecteur A et le vecteur B Le résultat d’un produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire à A et à B. ! ! ! " " # = ( "# !"# ! ) A! Où un est un vecteur unitaire normal à la surface formée par A et B q est le plus petit angle entre A et B ! ! ! ! " = !"#AB! Notez que le produit vectoriel est nul si les deux vecteurs sont colinéaires (q = 0°) et maximal s’ils sont perpendiculaires (q = 90°). L’opération produit vectoriel fabrique un vecteur perpendiculaire à deux autres. On peut associer ce nouveau vecteur à un axe de rotation J’écris donc le nouveau vecteur avec une flèche qui tourne pour mettre en évidence cette rotation " ! ! Repérage du vecteur # = "! ! Le produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire à A et à B dont le sens est donné par la règle de la main droite ou du tire-bouchon. C est perpendiculaire à A C est perpendiculaire à B C est perpendiculaire au plan formé par A et B Pour trouver le sens de C , on peut appliquer l’une des deux méthodes suivantes (règles de la main droite ) " ! ! Grandeur, direction et sens de C: # = "! ! Grandeur : C = 𝐴𝐵 sin 𝜃 Direction :perpendiculaire au plan formé par A et B Sens : méthode 1 Les doigts de la main droite enroulent le premier vecteur (ici A) sur le second vecteur (ici B) par le chemin le plus court et le pouce indique le sens de ! ! La main droite dévisse le tire-bouchon Aide vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=QMduZYVxn2Y " ! ! # = "! ! " ! ! # = "! ! C B B B A A A Le pouce sort du plan de l’écran , c est sortant " ! ! # = "! ! C A A A B B B Le pouce entre dans le plan de l’écran , c est entrant Aide vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=QMduZYVxn2Y " ! ! # = "! ! Il suffit de lire l’expression et de prendre les doigts de la main droite Sens : méthode 2 (le pouce étant perpendiculaire au plan formé par l’index et le majeur) au Vecteur résultat du produit vectoriel fur et à mesure en commençant par le pouce C L’index se positionne sur le Premier vecteur premier vecteur A Le majeur se positionne sur le second vecteur Le pouce donne le sens du résulta q du produit vectoriel second vecteur B L’index reste aligné au pouce 𝐶g = 𝐴×𝐵 ⃗ Premier vecteur second vecteur Autres exemples ⃗ 𝐴⃗ 𝐵 = 𝐶× ⃗ 𝐶⃗ 𝐵 = 𝐴× Sens : méthode 2 Vecteur résultat du produit vectoriel Vecteur résultat du produit vectoriel B B Premier vecteur Premier vecteur C A q q A c second vecteur second vecteur j = 𝐶× 𝐵 ⃗ 𝐴⃗ ⃗ 𝐶⃗ j = 𝐴× 𝐵 Premier vecteur second vecteur Premier vecteur second vecteur Exercice : calculer le module du résultat du produit vectoriel des 2 vecteurs; ! " ! ! ! ! q ! # = "! ! Exercice : calculer le module du résultat du produit vectoriel des 2 vecteurs; solution ! ! ! ! " ! ! q # = "! ! Le plus petit angle entre A et B est 𝛾 ! ! C = 𝐴𝐵 sin 𝛾 = 𝐴𝐵 sin(180 − q) 𝛾 Le pouce sort du plan ! C de l’écra , c est sortant q ! Le sens du vecteur fabriqué est purement conventionnel. C’est le cas de tous les vecteurs fabriqués via le produit vectoriel pour décrire les rotations Habituellement, on prend la main droite pour trouver le sens, convention que nous appliquerons dans ce cours. Le produit vectoriel n’est pas commutatif " ! ! # = !! " " ! ! "# = "! ! Exercice : représentez le produit vectoriel des 2 vecteurs ! ! ! ! ! ! ! ! "! ! ! "! ! ! ! ! ! ! Exercice : représentez le produit vectoriel des 2 vecteurs; solution ! " ! ! ! Le pouce sort du plan # = "! ! majeur index majeur de l’écran , c est sortant index C ! ! ! 𝐶G = 𝐵×𝐴⃗ index ! Le pouce entre dans le plan index majeur de l’écran , c est entrant majeur C ! ! Exercice : représentez le produit vectoriel des 2 vecteurs ! ! ! ! ! ! ! ! "! ! ! "! ! ! " ! ! ! "! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Exercice : représentez le produit vectoriel des 2 vecteurs Solutions: résultat est le vecteur C ⃗ 𝐴×𝐵 = 𝐴 𝐵 sin 𝜃 ! ! ! ! ! ! "! ! ! "! ! ! ! ! "! ! ! ! "! ! ! ! ! index ! index ! majeur! ! majeur majeur ! ! index !majeur ! ! ! ! ! ! index C C C ⃗ 𝐴×𝐵 = 0 ⃗ 𝐴×𝐵 =0 Car q= 0 ° Sin q = 0 Exercice : représentez le vecteur demandé Avec qAB = 90 ° " ! ! " ! ! " ! ! # = "! ! # = "! ! # = "! ! ! ! !! !! !! C C ! ! ! ! ! ! C Exercice : représentez le vecteur demandé Solutions Avec qAB = 90 ° " ! ! " ! ! " ! ! # = "! ! # = "! ! # = "! ! ! ! !! !! !! C A majeur C pouce pouce ! ! majeur ! index B ! A ! majeur ! index index C pouce Utilité du produit vectoriel en physique Exemple : définition du moment de force Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on nomme pivot. r est le vecteur dont l’origine " ! ! est le pivot (axe de rotation) " = ! !" et dont l’extrémité est le point d’application de la force " = !"#$%! q est le plus petit angle entre le [ kg m² /s²] vecteur r et le vecteur F Ex: sens de t ? Moment de force " ! ! " = ! !" " = !"#$%! t F r La barre tourne dans le sens anti-horlogique Exercices Calculez et représentez le moment de la force F. La force fait tourner la poutre autour du pivot. r = 80 cm, F = 200 N A/ r 30° Pivot F Vecteur position du point d’application de la force F B/ r Question : Unité du moment de force ? Exercices Calculez et représentez le moment de la force F. La force fait tourner la poutre autour du pivot. r = 80 cm, F = 200 N r A/ r 30° q q = 180 – 30 = 150° Pivot F F Rem : sin 150 = sin 30 Vecteur position du point τl = r⃗×F d’application de la force τ = rFsinθ = 0,8 200 sin(150)=… mN F F B/ r r Question : Unité du moment τl = r⃗×F de force ? τ = rFsinθ = 0,8 200 sin(90)=… mN F Moment de force " ! ! r " = ! !" 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑛𝑢𝑙 " = !"#$%! Car q= 180° et donc Sin q = 0 Ex: sens de t ? Valeur de q pour efficacité max? t majeur F index r La clé tourne dans le sens anti-horlogique A ce stade vous devez être capable de… Citer les 4 lois de conservation qui seront vues en mécanique et en électromagnétisme Citer les 4 forces fondamentales et dire sur quoi elles agissent Exprimer les grandeurs physiques vues dans les systèmes cohérents d’unités mks et cgs et convertir les valeurs d’un système dans l’autre en utilisant les préfixes et les puissances de 10 Calculer précisément la valeur d’une surface, d’un volume. Estimez rapidement la valeur d’une surface, d’un volume… Définir un scalaire, un vecteur, un vecteur unitaire Trouver les composantes cartésiennes (ou polaires ou sphériques) d’un vecteur Sommer des vecteurs, calculer un produit scalaire, un produit vectoriel et le représenter et dire l’utilité de ces concepts en physique Représenter vectoriellement une surface Définir le moment de force, le calculer et le représenter Questions d’examens relatives à ce chapitre Ces questions doivent être soigneusement préparées après chaque chapitre Pour réussir le test de physique théorique il faut savoir : Pour réussir le test de physique exercice il faut savoir : 1. Citer les 4 lois fondamentales sur lesquelles s’appuie l’étude de la physique classique, citer les 2 forces fondamentales étudiées en physique classique et les caractéristiques des objets sur lesquelles ces forces agissent. 2. Définir toutes les grandeurs physiques vues dans le chapitre introductif et donner les unités spécifiques et les unités mks de toutes les grandeurs vues. Transférer une grandeur d’un système d’unités en un autre système d’unités. Connaître les préfixes et les puissances de 10. 3. Manipuler les vecteurs : représentation, multiplication par un scalaire, addition, projections, vecteur unitaire, vecteur surface, produit scalaire, produit vectoriel. Déterminer les coordonnées cartésiennes et polaires (sphériques) d’un vecteur dans l’espace à 2 (3) dimensions. Résoudre des exercices du type de ceux proposés au cours et en séance d’exercices

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