Cours Mécanique et Thermodynamique des Fluides, Fluides Visqueux et Turbulence PDF

TC Mécanique et Thermodynamique des Fluides Fluides Visqueux et Turbulence Valérie Ferrand [email protected]. Fluide visqueux et turbulence Objectifs I Comprendre le concept de couche limite, l’origine des forces de frottement et du décollement. I Savoir mettre en œuvre un calcul de couche limite laminaire et turbulente –> prédiction du frottement, du décollement I Introduction à la turbulence : connaître les fondements du traitement statistique de la turbulence et la problématique de sa modélisation I Connaître les caractéristiques essentielles d’une couche limite turbulente Supports de cours I Copies de transparents (LMS ISAE) I Polycopié "fluides visqueux incompressibles et introduction à la turbulence" (LMS ISAE). Fluide visqueux et Turbulence Bibliographie I P. Chassaing, Mécanique des fluides, 2e édition, Cépaduès-éditions. I P. Chassaing, Turbulence en mécanique des fluides, Cépaduès-éditions. I J. Cousteix, Couche limite laminaire, Cépaduès-éditions. I J. Cousteix, Turbulence et Couche limite , 2nd édition, Cépaduès-éditions. I G. Homsy et al. Multimedia Fluid Mechanics, Cambridge University Press.. I I. Ryhming, Dynamique des fluides, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne. I H. Schlichtling, K. Gersten Boundary Layer Theory, 8e édition, Springer. I M. Tennekes, J.M. Lumley A first Course in Turbulence,Cambridge University Press. Fluide visqueux et Turbulence Programme : 5 Cours, 4 BE(4*2H), 1PC(1H) I Physique des écoulements visqueux et concept de couche limite(C2-C3, BE1) I Couche limite laminaire (C4, BE2,BE3) I Physique de la turbulence, transition, couche limite turbulente (C5-C6, BE4) I La turbulence dans les simulations numériques (PC1) I Transfert de chaleur dans une couche limite thermique –> TC physique Evaluation : 2 séries de QCM + Examen écrit commun mécanique fluides visqueux/turbulents/compressibles (2h00) Fluide visqueux et Turbulence Programme : 5 Cours, 4 BE(4*2H), 1PC(1H) I Physique des écoulements visqueux et concept de couche limite(C2-C3, BE1) I Couche limite laminaire (C4, BE2,BE3) I Physique de la turbulence, transition, couche limite turbulente (C5-C6, BE4) I La turbulence dans les simulations numériques (PC1) I Transfert de chaleur dans une couche limite thermique –> TC physique Evaluation : 2 séries de QCM + Examen écrit commun mécanique fluides visqueux/turbulents/compressibles (2h00) Mise en évidence de la viscosité d’un fluide I Ecoulement de Couette (vidéo Iowa. Inst of Hydraulic Research) I Observation 1 : Mouvement de la plaque supérieure transmis - entre la paroi et le fluide ←→ Condition d’adhérence ou de non glissement - à l’intérieur du fluide ←→ diffusion visqueuse Mise en évidence de la viscosité d’un fluide I Ecoulement de Couette (vidéo Iowa. Inst of Hydraulic Research) I Observation 1 : Mouvement de la plaque supérieure transmis - entre la paroi et le fluide ←→ Condition d’adhérence ou de non glissement - à l’intérieur du fluide ←→ diffusion visqueuse Mise en évidence de la viscosité d’un fluide I Ecoulement de Couette I Observation 2 : Mouvement relatif fluide/solide ⇒ force tangentielle Fvisq à la paroi Fvisq dU =τ =µ S dy µ : viscosité dynamique [Kg/m/s] τ : contrainte visqueuse [N/m2 ] Fluide visqueux incompressible Physique des écoulements visqueux et concept de couche limite I Le modèle de Navier-Stokes pour les fluides visqueux incompressibles I Les mécanismes de transfert spatial d’advection et de diffusion I échelles caractéristiques et interprétation du nombre de Reynolds I leurs rôles dans la transition à la turbulence I Concept de couche limite : des équations de Navier-Stokes aux équations de Prandtl Fluide visqueux incompressible. Le modèle de Navier-Stokes Propriétés I Viscosité Loi de Newton-Stokes (fluide Newtonien) : I Incompressibilité « Équation d’état » : 2 ~ δij τij = 2µ Sij − µ divV 3 ρ = Const. ∂Ui ∂Uj = 2µ Sij = µ + ∂xj ∂xi Équation de continuité : µ : viscosité dynamique [Kg/m/s] ν = µ/ρ : viscosité cinématique [m2 /s] ~ =0 divV τij : tenseur des contraintes visqueuses [N/m2 ] Sij : tenseur des taux de déformations [s−1 ] Domaine d’application pour un fluide réel I Gaz usuels à faible nombre de I Liquides usuels Mach (M 0 < 0,2) Fluide visqueux incompressible. Le modèle de Navier-Stokes Ensemble des hypothèses sur le fluide I Incompressible (ρ = cst) I Monophasique I Visqueux Newtonien (µ = cst) I Homogène I Conducteur de chaleur (loi de Fourier, I Inerte chimiquement a = diffusivité thermique = cst) Modèle mathématique ∂Ui =0 ∂xi dUi 1 ∂P ∂ 2 Ui = Fi − +ν avec i = 1, 2, 3 dt ρ ∂xi ∂xj ∂xj dT ∂2T =D+a dt ∂xj ∂xj + Conditions Initiales et Conditions aux Limites Advection et diffusion : les deux modes de transfert spatial Trajectoire d’une particule fluide Équation de transport d’une quantité φ : M′ M φ(M ′ , t + dt) dφ ∂2φ φ(M, t) = Sφ + dφ dt ∂xi ∂xi |{z} |{z} | {z } dφ φ(M ′ , t + dt) − φ(M, t) = lim dt dt→0 dt Variation totale Variation totale : variation/unité de temps de φ sur trajectoire dφ ∂φ ∂φ = + Ui Terme source/puits dt ∂t ∂xi |{z} | {z } [1a] [1b] Terme de diffusion (de qtt de mvt, de température) [1a] Variation temporelle [1b] Variation convective = Advection Advection et diffusion : les deux modes de transfert spatial advection diffusion I porté par le mouvement I porté par le mouvement macroscopique d’agitation moléculaire ~ I paramètre caractéristique :V I paramètre caractéristique : dφ [m/s] [m2 /s], (ex ν, a). exemple 1D d’advection pure Problème : Dépôt à t = 0, d’un scalaire passif Φ0 (x) au voisinage de x = 0 dans un écoulement uniforme U ~ = U e~x et pour dφ = 0 ∂φ ∂φ Éq. de convection : +U =0 Solution : φ(x, t) = φ0 (x − Ut) ∂t ∂x Processus conservatif t0 = 0 - vis à vis de la quantité transportée t1 = 1 t2 = 2 - vis à vis de son énergie φ Temps et longueur caractéristiques TA : Temps d’advection sur la distance L LA : Distance d’advection pendant le temps T 0 U × t1 U × t2 x TA = L/U et LA = U × T exemple 1D de diffusion pure Problème : Dépôt à t = 0, d’un scalaire passif Φ0 (x) au voisinage de x = 0 dans un milieu au repos présentant une diffusivité dφ ∂φ ∂2φ Éq de diffusion : = dφ 2 ∂t ∂x Solution : p φ(x, t) = Φ0 / π dφ t × e(−η ) 2 p avec η = x/ dφ t Processus conservatif - vis à vis de la quantité transportée t=1 t=4 Processus dissipatif t=9 - vis à vis de son énergie Temps et longueur caractéristiques φ TD : Temps de diffusion sur la distance L LD : Distance de diffusion pendant le temps T p x TD ∝ L2 /dφ et LD ∝ dφ T Advection et diffusion : les deux modes de transfert spatial Diffusion de QdM : un processus dissipatif pour l’énergie cinétique I Équation de l’énergie cinétique : ρ Ui × [eq : Ui ] I Équation de l’énergie interne : ρ Cv × [eq : T ] d ρ Ui Ui ∂Ui P ∂ = ρ Ui Fi − + 2µ (Ui Sij ) −2µ Sij Sij dt 2 ∂xi ∂xj | {z } | {z } puissance forces int. puissance forces ext. m 2 d ∂ (ρ Cv T ) = a (ρ Cv T ) +ρ Cv D dt ∂xj ∂xj | {z } puissance calorifique La dissipation ρ Cv D = 2µ Sij Sij = 2µ tr(S 2 ) est toujours > 0, c’est : I un « puits » pour l’énergie cinétique (Ec) ; I une « source » pour l’énergie interne. dissipation → Ec transformée en énergie interne de manière irréversible Comparaison advection/diffusion Interprétation du nombre de Reynolds Considérons un écoulement pour lequel : I la vitesse d’advection est de l’ordre de UA I la viscosité cinématique du fluide est ν Comparaison des distances d’action de diffusion et d’advection Comparaison des temps de de QdM pendant le temps T : diffusion et d’advection de QdM sur la distance L : LA UA T ∝ √ TD L2 /ν LD νT ∝ TA L/UA 2 LA UA (UA T ) UA LA TD UA L ∝ ∝ = Re ∝ = Re LD T ν ν TA L ν Comparaison advection/diffusion Application : soit une pièce cubique de coté L = 5m remplie d’un air à température constante, de diffusivité thermique a = 0.21cm2 /s I Quel temps caractéristique faut-il pour modifier la température de cette pièce sous l’action du seul transfert diffusif ? I Un convecteur électrique, qui provoque la mise en mouvement de l’air (u = 5cm/s), est installé dans la pièce. Quel est le nouveau temps caractéristique de modification de la température de la pièce ? I Quel rôle joue alors le transfert diffusif dans la mise à température de la masse d’air de la pièce ? Comparaison advection/diffusion Transport de quantité de mouvement : rôle des 2 mécanismes advection/diffusion dans la transition à la turbulence Équation de quantité de mouvement : ∂Ui ∂Ui 1 ∂P ∂ 2 Ui + Uj =− +ν ∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj ∂xj | {z } | {z } Advection diffusion I terme non-linéaire I terme linéaire I destabilisant vis-à-vis des I stabilisant vis-à-vis des perturbations perturbations I ordre de grandeur : U 2 /L I ordre de grandeur : ν U/L2 Rapport du terme "déstabilisant" / terme "stabilisant" : [ U 2 /L] / [ν U/L2 ] = Re L’augmentation du nombre de Reynolds conduit à travers une séquence de transitions d’un régime laminaire à un régime turbulent Comparaison advection/diffusion Quelques visualisations de transition laminaire/turbulent La viscosité- Résumé I A échelle macroscopique, l’agitation moléculaire se traduit par des effets de diffusion, dont la viscosité. I Tout écoulement conjuque transport advectif et transport diffusif dont les échelles significatives sont comparées à l’aide du nombre de Reynolds I La viscosité engendre une perte irréversible d’énergie cinétique ou taux de dissipation I La viscosité a une action stabilisatrice sur les perturbations d’origine advective. Cadre de l’étude Mouvement d’un fluide faiblement visqueux incompressible autour d’un obstacle I plongé dans un écoulement uniforme à l’infini I à grand nombre de Reynolds global Re = UνL ∝ advection diffusion 1 Cdt ρ µ ν standard kg/m3 kg/(ms) m2 /s U∞ Air 1.29 1.8510−5 1.4310−5 Eau 103 10−3 10−6 L Avions de transport : Re ≈ 106 − 107 Microdrones/Drones : Re ≈ 103 − 106 Transports terrestres : Re ≈ 106 − 107 Navires de plaisance : Re > 107 I les forces de viscosité sont-elles négligeables en tout point du champ ? I réponse à chercher dans les régions à fort gradient de vitesse : proche paroi, sillage, jet... Écoulement au voisinage d’une paroi solide I Fluide visqueux =⇒ adhérence ou non glissement à la paroi ~ paroi 6= V I Si V ~ ∞ , =⇒ ∃ d’une région à fort grad ~ V~ dans laquelle : Production de ~ = 1 rot I Ω ~ V~ 6= ~0 rotationnel à la 2 1 ∂Ui paroi ∂Uj I Sij = + 6= 0 2 ∂xj ∂xi I les forces de viscosité ne sont pas Condition négligeables : d’adhérence ∂Uj τij = µ ∂U ∂xj i + ∂xi Écoulement au voisinage d’une paroi solide approche Fluide parfait mise à défaut approche Fluide visqueux en proche paroi Production de Écoulement rotationnel à la irrotationnel paroi Condition Condition d’adhérence d’imperméabilité à la paroi : à la paroi : ~ = ~0) I condition d’adhérence (V I condition d’imperméabilité ~ 6= ~0 et Sij 6= 0 ~.~n = 0) (V I Ω I τij = 2µSij 6= 0 I Ω~ = ~0 et µ = 0 I τij = 2µSij = 0 Localisation des effets de viscosité Prandtl 1904 : Emergeance du concept de couche limite pour les écoulements faiblement visqueux (= grand Re ). ~ et de Sij ) sont confinés I Les effets de viscosité (production de Ω dans une couche mince au voisinage de la paroi Couche limite Sillage ∼ Fluide parfait ~ = ~0). I Hors couche limite, l’écoulement est irrotationnel (Ω L’Equation de la dynamique : ~ 2 ∂V ~ V ~ ∧V ~ P + ν 4 grad ~ = − 1 grad ~ divV ~ − rot ~ + grad +Ω ~ Ω ∂t 2 ρ 3 ~ 2 ∂V ~ V 1 ~ ⇒ + grad = − grad P ∂t 2 ρ y est identique à celle du fluide parfait. Le fluide est visqueux mais la viscosité est sans effet Écoulement au voisinage d’une paroi solide Confinement des effets visqueux On observe que I La couche limite est de faible épaisseur comparée à L, d’autant plus que Re est grand I L’épaisseur de la couche limite augmente le long du corps Justification du concept couche limite Plaque plane placée sans incidence dans un écoulement uniforme à U∞ t0 U∞ t1 δ ν x Soit une particule fluide évoluant à la côte y = δ I Sous l’action du transfert diffusif,le rotationnel produit à la paroi atteint la côte δ à l’instant TD ∼ δ 2 /ν. I Dans le même temps, la particule fluide est advectée d’une distance x ∼ U∞ TD ∼ U∞ δ 2 /ν. =⇒ r νx δ∼ ou xδ ∼ √ 1 U∞ Re x U∞ x avec Re x = ν Le concept couche limite- Résumé Pour un eclt à grand Re d’un fluide visqueux, au voisinage d’un obstacle, l’équilibre temporel advection-diffusion sépare l’écoulement en deux zones : 1. La région de couche limite I Écoulement rotationnel, cisaillé I La viscosité produit du frottement I Épaisseur & lorsque Re % 2. L’écoulement libre I Écoulement non atteint par le rotationnel généré à la paroi I les effets de viscosité y sont négligeables I peut y être décrit par le modèle d’Euler (fluide parfait) ~ ∂V ~ V2 ~ P Relation de Bernoulli ⇒ ∂t + grad 2 = − ρ1 grad Prise en compte de la physique des effets visqueux dans les modèles Le modèle de Prandtl pour la couche limite à grand nombre de Reynolds Objectif : simplifier les éq. de Navier-Stokes dans la couche limite I bidimensionnel-plan ∂U ∂V + =0 I permanent ∂x ∂y 2 I repère local (x, y ) rect ∂U ∂U 1 ∂P ∂ U ∂2U U +V =− +ν + I fluide incompressible visqueux ∂x ∂y ρ ∂x ∂x 2 ∂y 2 2 ∂V ∂V 1 ∂P ∂ V ∂2V U +V =− +ν + ∂x ∂y ρ ∂y ∂x 2 ∂y 2 3 hypothèses dans la couche limite 1 y = × x avec 1 (distorsion géométrique) Le modèle de Prandtl pour la couche limite à grand nombre de Reynolds Identification des ordres de grandeurs des différents termes : Introduction de variables sans dimension x U I x∗ = I U∗ = P L U∞ I P∗ = 2 ρU∞ ∗ y V I y = ∗ I V = L Vref Équation de continuité ∂U ∂V U∞ ∂U ∗ Vref ∂V ∗ + =0 =⇒ + =0 ∂x ∂y L ∂x ∗ L ∂y ∗ Condition de non-dégénérescence =⇒ 2 Vref = U∞ (distorsion cinématique) =⇒ distorsion cinématique = distorsion géométrique Le modèle de Prandtl pour la couche limite à grand nombre de Reynolds Équation de la quantité de mouvement longitudinale 2 ∂U ∂U 1 ∂P ∂ U ∂2U U +V =− +ν + ∂x ∂y ρ ∂x ∂x 2 ∂y 2 " # 2 ∗ ∗ ∗ 2 ∗ −1 2 ∗ U∞ ∂U ∂U ∂P ∂ U Re ∂ U =⇒ U ∗ ∗ + V ∗ ∗ = − ∗ + Re −1 ∗2 + L ∂x ∂y ∂x ∂x 2 ∂y ∗2 U∞ L avec Re = ν 1 et 1 diffusion longitudinale diffusion transversale ∂U ∗ ∗ ∂U ∗ ∂P ∗ Re −1 ∂ 2 U ∗ =⇒ U ∗ + V = − + ∂x ∗ ∂y ∗ ∂x ∗ 2 ∂y ∗2 3 Equilibre advection/diffusion =⇒ ∼ √ 1 Re ∂U ∗ ∂U ∗ ∂P ∗ ∂2U ∗ =⇒ U∗ ∗ + V∗ ∗ = − ∗ + ∂x ∂y ∂x ∂y ∗2 Le modèle de Prandtl pour la couche limite à grand nombre de Reynolds Équation de la quantité de mouvement transversale 2 ∂V ∂V 1 ∂P ∂ V ∂2V U +V =− +ν + ∂x ∂y ρ ∂y ∂x 2 ∂y 2 " # 2 U∞ ∗ ∂V ∗ ∗ ∂V ∗ 1 ∂P ∗ 2 ∗ −1 ∂ V Re −1 ∂ 2 V ∗ =⇒ U +V =− 2 + Re + L ∂x ∗ ∂y ∗ ∂y ∗ ∂x ∗2 2 ∂y ∗2 Avec ∼ √ 1 : Re ∂V ∗ ∗ ∂V ∗ ∂P ∗ 2 ∗ −1 ∂ V ∂2V ∗ =⇒ 1U ∗ +1V = −Re +Re +1 ∂x ∗ ∂y ∗ ∂y ∗ ∂x ∗2 ∂y ∗2 Simplification : ∂P ∗ =⇒ =0 ∂y ∗ Le modèle de Prandtl pour la couche limite à grand nombre de Reynolds Formulation finale du modèle, applicable dans la région de couche limite      ∂U ∂V   + =0   ∂x ∂y   Équations de Prandtl ∂U ∂U 1 ∂P ∂2U  U +V =− +ν 2   ∂x ∂y ρ ∂x ∂y       ∂P  =0 ∂y + conditions aux limites : adhérence à la paroi + raccord avec l’écoulement libre Mise en œuvre du modèle de Prandtl : raccordement fluide parfait/couche limite Hypothèses de Prandtl I Les équations de Prandtl s’appliquent dans la couche limite I Les équations du fluide parfait s’appliquent à l’extérieur Le raccordement est à opérer sur la courbe [x, δ(x)]. On note : PE (x) = P (x, δ(x)) ~ E (x) = V et V ~ (x, δ(x)) Écoulement y Écoulement y fluide parfait fluide parfait P∞ U∞ P (x, y) U (x, y) Couche PE (x) Couche UE (x) limite limite x x Mise en œuvre du modèle de Prandtl : raccordement fluide parfait/couche limite Relation pression-vitesse à la frontière de la Couche limite Écoulement irrotationnel et incompressible de fluide parfait 1 ~2 → Relation de Bernoulli : PE (x) + ρkVE k(x) = Const. 2 ~ 2 k = U 2 + V 2 ≈ U 2 , et en différentiant /x : I Avec kVE E E E 1 dPE dUE − = UE ρ dx dx I La pression « s’imprime » dans la couche limite : P(x, y )|CL = PE (x), d’où 1 ∂P 1 dPE dUE − =− = UE ρ ∂x CL ρ dx dx Mise en œuvre du modèle de Prandtl : raccordement fluide parfait/couche limite Forme finale du modèle de Prandtl ∂U ∂V ∂U ∂V + =0 + =0 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂U ∂U 1 dPE ∂2U ∂U ∂U dUE ∂2U U +V =− +ν 2 U +V = UE +ν 2 ∂x ∂y ρ dx ∂y ∂x ∂y dx ∂y Conditions aux limites U(x, 0) = 0, V (x, 0) = 0 et U(x, δ(x)) = UE (x) Condition initiale ∀y ∈ [0, δ(x0 )] U(x0 , y ) = U0 (y ) Problème : On ne connaît ni δ(x) ni UE (x) a priori ! Mise en œuvre du modèle de Prandtl : raccordement fluide parfait/couche limite Le couplage « faible » Hypothèses : δ(x)

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