Chapitre 2 Métrologie - FBM BMed Module B1.1 PDF

Chapitre 2 Métrologie Pr François Bochud FBM – BMed – module B1.1...

Chapitre 2 Métrologie Pr François Bochud FBM – BMed – module B1.1 Cours de physique générale Studies of Anatomy, Measurements and Writing, James Ward, Public domain, via Wikimedia Commons  "Pour connaître les choses, nous devons les mesurer" Lord Kelvin https://fineartamerica.com/featured/1-lord-kelvin-science-photo-library.html?product=poster  Objectifs Décrire le système international d'unités (SI); en particulier le rôle joué par les constantes physiques, comment on en dérive d'autres unités et le sens des préfixes multiplicatifs Expliquer comment on garantit que les instruments de mesure sont comparables partout dans le monde Calculer l'incertitude résultant de l'addition ou de la multiplication de deux grandeurs incertaines  Le monde d'Eratosthène (-276 ; -194) Mesure de la circonférence terrestre (au solstice d'été) Par MagentaGreen — Travail personnel, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=31196335 Par Raphael Javaux — Travail personnel, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2973186  Avec quelle précision Eratosthène avait-il mesuré la circonférence de la Terre ? 1. -50% 2. -25% 3. -10% 4. -2% vraie valeur 5. +2% 40'075 km 6. +10% 7. +25% 8. +50%  et Christophe Colomb ? (1451;1506) https://www.le-journal-catalan.com/la-nao-santa-maria-replique-du-bateau-de-christophe-colomb-a-port-vendres-du-31-juillet-au-13-aout/58138/ Par Ridolfo del Ghirlandaio — rmf24.pl, Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=61463454  Quelle erreur Christophe Colomb a-t-il fait en estimant la circonférence de la Terre ? 1. -50% 2. -25% 3. -10% 4. -2% vraie valeur 5. +2% 40'075 km 6. +10% erreur = écart par rapport 7. +25% à la vraie valeur 8. +50% Des erreurs sont encore possibles  A notre époque, métrologie = confiance https://earthobservatory.nasa.gov/world-of-change/global-temperatures  A notre époque, métrologie = confiance https://www.jeuxvideo.com/forums/42-51-40708555-1-0-1-0-photo-les-robots-vont-remplacer-tous-les-prolos.htm  A notre époque, métrologie = confiance En Suisse, l'Institut fédéral de métrologie (METAS) garantit que les mesures sont correctes  étalon étalon étalon … cohérence assurée par le BIPM national A national B national Z étalon étalon étalon secondaire secondaire secondaire étalons étalons étalons instrument instrument instrument local local local  Le kilogramme est une des dernières unités à être encore définies par un artéfact ! 1. Vrai 2. Faux 3. Aucune idée  distance : mètre temps : seconde m s c courant électrique : ampère A ΔυCs e masse : kilogramme kg SI h NA kB mol K Kcd température : kelvin quantité de matière : mole cd intensité lumineuse : candela constantes sans incertitude Les unités d'une grandeur peuvent toujours être décomposées dans les 7 unités de base  Angles dans le plan : radian α=L/r α (rad) L r toutes les directions = 2π radians By Lucas Vieira - Own work, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25112326 Angles dans l'espace 3D : stéradian r angle solide de la surface A A ΩA = A/r2 = 4π Ωsphère = S(sphère)/r2 = 4πr2/r2 = 4π toutes les directions = 4π stéradian  Angles dans l'espace 3D : stéradian ASuisse Surface de la Suisse : ASuisse = 41'285 km2 Rayon de la Terre : R = 6'371 km ΩSuisse = ASuisse/R2 = 0.00102 sr R https://stock.adobe.com/fr/images/switzerland-on-the-globe-earth-hemisphere-centered-at-the-location-of-the-swiss-confederation-switzerland-map/240981573  Préfixes multiplicatifs Quel préfixe correspond au facteur 10-15 ? 1. m à connaître 2. µ 3. n 4. p 5. f 6. a 7. z 8. y  Préfixes multiplicatifs Quel préfixe correspond au facteur 109 ? 1. k à connaître 2. M 3. G 4. T 5. P 6. E 7. Z 8. Y Canton de Vaud 5'929 GWh/a 0.6 centrale nucléaire (Leibstadt = 9'600 GWh/an) Suisse 29.7 TWh/a = 29'700 GWh/a 3.1 centrales nucléaires https://physicsworld.com/a/new-accelerator-enhances-radiotherapy-accuracy/ U95 signifie que l'intervalle associé à cette valeur a 95 % de chance de contenir la vraie valeur x x x x x x xxx x x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x xxxx x x x xxxxxx xxxxx x xx x x xx x x x x x xxx xx xxx x x x x x x x x xx x xx xx x x x x x x xx xx x intervalle 95 % x vraies valeurs possibles x  Incertitude de mesure Paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à la grandeur que l'on veut mesurer, à partir des informations utilisées ± 1 écart-type On utilise souvent l'écart-type pour caractériser la distribution incertitude-type, u 68 %  Incertitude de mesure Paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à la grandeur que l'on veut mesurer, à partir des informations utilisées Pour être plus prudent, on peut indiquer ± 2 écarts-types un multiple de k incertitudes-types incertitude élargie U = k u En médecine, on choisit généralement 95 % k=2 probabilité de 95 % que la vraie valeur soit dans l'intervalle  Incertitude de mesure Si l'on n'utilise pas l'écart-type d'une distribution mesurée, on peut l'estimer soi-même (avis d'expert!) Par exemple, je peux juger qu'avec cette règle, mon incertitude élargie (k=2) est de 1 mm  Incertitude associée à + - ou x / (si chaque mesure est indépendante de l'autre) Addition quadratique y = x 1 + x2 des incertitudes ( y ) u ( x1 ) + u ( x2 ) 2 2 2 u= y = x 1 - x2 absolues y = x 1 x2 2 2  u ( y )   u ( x1 )   u ( x2 )  2 des incertitudes =    +  relatives y = x1/x2  y   x   x2   Incertitude dans un cas général (si chaque mesure est indépendante de l'autre)  pour les geeks Solution générale de l'incertitude associée à une grandeur y = f ( x1 , x2 ,..., xn ) x = ( x1 , x2 ,..., xn ) dérivée partielle de f incertitude de xi dans la direction xi incertitude combinée de y 2 n  ∂f   uc ( y ) = ∑   u ( xi ) 2 2  i =1  ∂xi a  valeurs estimées des composantes de x  Incertitude dans un cas général (si chaque mesure est indépendante de l'autre)  pour les geeks Solution générale de l'incertitude associée à une grandeur y = f ( x1 , x2 ,..., xn ) x = ( x1 , x2 ,..., xn )  a1 = mesure ( x1 )   a2 = mesure ( x2 ) la mesure de chaque grandeur xi est a = ( a1 , a2 ,..., an ) avec  ...  la mesure de y est f ( a ) an = mesure ( xn )  u ( x1 ) = incertitude ( x1 )  u ( x2 ) = incertitude ( x2 ) l'incertitude de chaque grandeur xi est  ... u ( xn ) = incertitude ( xn )   Incertitude dans un cas général (si chaque mesure est indépendante de l'autre)  pour les geeks Solution générale de l'incertitude associée à une grandeur y = f ( x1 , x2 ,..., xn ) x = ( x1 , x2 ,..., xn ) y = f ( x1 , a2 ,..., an ) ∂f    ∂x2 a développement limité de f autour de a = ( a1 , a2 ,..., an )   n ∂f  y = f ( x ) ≈ f (a ) + ∑  ( xi − ai )  f (a ) i =1 ∂xi a x2 a2 approximation linéaire de la fonction f  Incertitude dans un cas général (si chaque mesure est indépendante de l'autre)  pour les geeks Solution générale de l'incertitude associée à une grandeur y = f ( x1 , x2 ,..., xn ) x = ( x1 , x2 ,..., xn ) 2   n ∂f    2  n ∂f   y = f ( x ) ≈ f (a ) + ∑  ( xi − ai ) ( f ( x ) − f (a )) ≈ ∑  i =1 ∂xi   ( i i )  x −a i =1 ∂xi a  a  = moyenne (espérance mathématique)   n ∂f  2 f ( x ) − f (a ) ≈ ∑  ( xi − ai )   2  ∂f   n i =1 ∂xi a ( f ( x ) − f ( a ) ) ≈ ∑  ∂x    ( xi − ai ) 2 i =1  i a  si le xi sont indépendants les uns des autres 2   2  n ∂f   2 ( f ( x ) − f ( a ) ) ≈  ∑ ∂x   ( xi − ai )  uc ( y ) = ∑  2  ∂f   n  u ( x ) 2  i =1 i  a     i i =1  ∂x i a   définition de la variance (= carré de l'incertitude-type)  Incertitude dans un cas général (si chaque mesure est indépendante de l'autre)  pour les geeks Solution générale de l'incertitude associée à une grandeur y = f ( x1 , x2 ,..., xn ) x = ( x1 , x2 ,..., xn ) 2 n  ∂f   uc ( y ) = ∑   u ( xi ) 2 2  f = multiplication i =1  ∂xi a  ∂f  ∂f  y= f ( x1 , x2 = ) x1 ⋅ x2  = x 2  = x1 ∂x1 a ∂x2 a f = addition ∂f  ∂f   ∂f   2  ∂f   2 y= f ( x1 , x2 = ) x1 + x2  =1  =1 =uc ( y )  2  u ( x ) 2 +   u ( x ) 2 ∂x1 a ∂x2 a  ∂x1    1  ∂x2    2  a   a  2 2 = x22 ⋅ u ( x1 ) + x12 ⋅ u ( x2 ) 2 2  ∂f    ∂f   uc ( y )   ( 1 )    u ( x2 ) 2 2 2  u x +  ∂x1 a   ∂x2 a  2 2 2  uc ( y )   u ( x1 )   u ( x2 )  c (y) u ( x1 ) + u ( x2 ) 2 2 2 u= =    +   y   x 1   x 2   Incertitude : à retenir ! (si chaque mesure est indépendante de l'autre) addition multiplication y= f ( x1 , x2 = ) x1 + x2 y= f ( x1 , x2 = ) x1 ⋅ x2 2 2 2  uc ( y )   u ( x1 )   u ( x2 )  c (y) u ( x1 ) + u ( x2 ) 2 2 2 u= =    +   y   x1   x2  idem pour la soustraction idem pour la division  Quelle est l'incertitude de y = x1+x2 ? u(x2) = 3 mm 1. 3 mm 2. 4 mm x2 3. 5 mm y 4. 7 mm x1 u(x1) = 4 mm  Quelle est l'incertitude relative de y = x1.x2 ? 1. 3% x2=25 mm y = 825 mm2 2. 4% 3. 5% x1=33 mm 4. 7% u(x2) = 1 mm u(x1) = 1 mm  Résumé 7 constantes physiques Métrologie – ΔυCs, c, h, e, kB, NA et Kcd – normalisée au niveau mondial – traçabilité métrologique 7 unités de base – seconde (s) mètre (m) Incertitude (et pas erreur !) – kilogramme (kg) – incertitude-type ou multiple – ampère (A) kelvin (K) – probabilité que la vraie valeur se trouve – mole (mol) candela (cd) dans un intervalle donné – si les grandeurs sont indépendantes, Possible d'avoir addition quadratique + & - : valeurs absolues des préfixes multiplicatifs x & / : valeurs relatives – …, n, µ, m, k, M, G, … Exemple de question d'examen On mesure la pression P, le volume V et le nombre de molécules n d'un gaz parfait et on en déduit sa température T par la relation PV=nRT. Quelle est l'incertitude-type relative de T ? les incertitudes-types relatives réponses possibles des mesures sont les suivantes: u(P)/P = 10% 1. 10 % u(V)/V = 10% u(n)/n = 1% 2. 11 % u(R)/R = 0 3. 14 % PV T= 4. 20 % nR  Objectif correspondant Expliquer le sens d'une incertitude de mesure et la calculer pour l'addition ou la multiplication de deux grandeurs mesurées