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Introduction aux sciences appliquées TRAN-H100 Dimitri Gilis Version 5 (DG) Notes de cours rédigées par Yves Louis Revues par Pierre...
Introduction aux sciences appliquées TRAN-H100 Dimitri Gilis Version 5 (DG) Notes de cours rédigées par Yves Louis Revues par Pierre Capel et Dimitri Gilis Table des matières A Dimensions, unités et système international 1 A.1 Introduction................................... 1 A.2 Algèbre des grandeurs mesurables....................... 1 A.3 Le Système International d’unités (SI).................... 4 A.4 Analyse dimensionnelle............................. 6 B Opérations graphiques 12 B.1 Introduction................................... 12 B.2 Notion de fonction............................... 12 B.3 Injection, surjection et bijection........................ 15 B.4 Opérations sur les graphes de fonctions d’une variable............ 18 C Exponentielles et logarithmes 21 C.1 Introduction................................... 21 C.2 La fonction exponentielle............................ 21 C.3 La fonction logarithme népérien........................ 24 C.4 Fonction exponentielle de base a quelconque................. 27 C.5 La fonction logarithme de base a....................... 29 D Nombres complexes 31 D.1 Introduction................................... 31 D.2 L’ensemble C des nombres complexes..................... 31 D.3 Opérations dans C............................... 32 D.4 Plan de Gauss.................................. 32 D.5 Conjugué d’un nombre complexe....................... 33 D.6 Module d’un nombre complexe......................... 33 D.7 Formes trigonométrique et exponentielle................... 34 D.8 Puissances et racines d’un nombre complexe................. 37 D.9 Théorème fondamental de l’algèbre...................... 38 D.10 Représentation dans le plan de Gauss des opérations élémentaires sur les nombres complexes............................... 39 E Résolution de systèmes d’équations linéaires 42 E.1 Introduction................................... 42 E.2 Équations linéaires............................... 42 E.3 Systèmes de p équations linéaires à q inconnues à coefficients réels..... 44 E.4 Les systèmes non linéaires homogènes..................... 47 i TABLE DES MATIÈRES ii F Les matrices 49 F.1 Introduction................................... 49 F.2 Définition d’une matrice............................ 49 F.3 Matrices de formes particulières........................ 50 F.4 Opérations de base sur les matrices...................... 51 F.5 Écriture d’un système d’équations linéaires sous forme matricielle..... 55 F.6 Inverse d’une matrice carrée.......................... 55 F.7 Définition de matrices particulières et notion de trace............ 57 G Les déterminants 60 G.1 Introduction................................... 60 G.2 Définitions.................................... 60 G.3 Propriétés des déterminants.......................... 63 G.4 Corollaires.................................... 63 G.5 Détermination de l’inverse d’une matrice régulière.............. 64 G.6 Théorème de Binet-Cauchy (partiel)...................... 64 H Vecteurs et espaces vectoriels 66 H.1 Introduction................................... 66 H.2 Définitions.................................... 67 H.3 Représentation graphique de R, R3 , +..................... 70 H.4 Vecteur lié, vecteur libre et vecteur glissant.................. 71 H.5 Base d’un espace vectoriel........................... 72 I Produit scalaire et produit vectoriel 80 I.1 Introduction................................... 80 I.2 Le produit scalaire de deux vecteurs...................... 85 I.3 Le produit vectoriel de deux vecteurs..................... 86 I.4 Le produit mixte de trois vecteurs....................... 87 I.5 Le double produit vectoriel........................... 87 I.6 Généralisation à R, Rn , +............................ 87 J Moment d’une force 89 J.1 Introduction................................... 89 J.2 Moment par rapport à un point........................ 89 J.3 Moment par rapport à un axe......................... 91 K Systèmes de forces et réduction 93 K.1 Introduction................................... 93 K.2 Système de forces................................ 93 K.3 Systèmes de forces équivalents......................... 96 L La matière 98 L.1 Introduction................................... 98 L.2 Structure de l’atome.............................. 98 L.3 Classification de la matière........................... 100 L.4 Molécules et ions................................ 101 L.5 Introduction au tableau périodique des éléments............... 105 L.6 Nomenclature des composés chimiques.................... 106 TABLE DES MATIÈRES iii L.7 Masse atomique, mole et masse molaire.................... 108 L.8 Pourcentage massique et formule moléculaire................. 110 M Les solutions aqueuses 112 M.1 Introduction................................... 112 M.2 Les solutions aqueuses............................. 112 M.3 Composition d’une solution.......................... 114 N Les transformations chimiques de la matière 117 N.1 Introduction................................... 117 N.2 Réactions chimiques.............................. 117 N.3 Les principales transformations chimiques.................. 120 O Calcul de limites 124 O.1 Introduction................................... 124 O.2 Notion de limite................................. 125 O.3 Calcul de limites................................ 128 P Dérivées partielles 133 P.1 Introduction................................... 133 P.2 Approximation linéaire d’une fonction d’une variable............ 133 P.3 Dérivées partielles d’une fonction de deux variables............. 134 P.4 Approximation linéaire d’une fonction de deux variables........... 135 P.5 Dérivées d’une fonction composée et d’une fonction de fonctions...... 136 Q Primitives et intégrales 138 Q.1 Introduction................................... 138 Q.2 Primitive d’une fonction............................ 138 Q.3 Expression d’une intégrale en fonction d’une primitive............ 138 Q.4 Interprétation géométrique d’une intégrale définie.............. 141 R Exploitation des mesures expérimentales 152 R.1 Introduction................................... 152 R.2 Différentes sortes d’erreurs........................... 152 R.3 L’erreur de mesure............................... 153 R.4 Incertitude sur une grandeur mesurée..................... 153 R.5 Incertitude sur une grandeur calculée à partir d’une mesure......... 155 R.6 Incertitude sur une fonction de plusieurs variables.............. 156 R.7 Des représentations graphiques........................ 157 S Introduction à la thermodynamique 162 S.1 Introduction................................... 162 S.2 Notions de pression et de température.................... 162 S.3 La loi des gaz parfaits............................. 165 S.4 Loi des pressions partielles de Dalton..................... 169 S.5 Variation de la pression atmosphérique avec l’altitude............ 170 S.6 L’échauffement d’une substance........................ 171 TABLE DES MATIÈRES iv T Géométrie analytique euclidienne 175 T.1 Introduction................................... 175 T.2 Notion de droite................................. 175 T.3 Notion de plan................................. 178 T.4 Droites et plans................................. 182 T.5 Problèmes de distances............................. 183 T.6 Problèmes d’angles............................... 184 U Toolbox de méthodologie 185 U.1 Conseils et méthodes pour préparer & retravailler ses cours et séances d’exercices.................................... 185 U.2 Conseils et méthodes pour prendre des notes................. 193 U.3 Conseils et méthodes pour gérer son temps.................. 196 Annexes 201 1 Les Préfixes (ou multiplicateurs) du SI 202 2 Note sur les fonctions transcendantes 203 2.1 Fonction rationnelle entière.......................... 203 2.2 Fraction rationnelle............................... 203 2.3 Fonction algébrique............................... 203 2.4 Fonction transcendante............................. 204 2.5 Développement en série de Taylor - Mac Laurin............... 204 3 Rappels de logique 205 3.1 Des propositions et de leurs implications................... 205 3.2 Des Démonstrations.............................. 205 4 Notations mathématiques 207 5 Les Ensembles de nombres 209 5.1 Les naturels................................... 209 5.2 Les entiers.................................... 209 5.3 Les rationnels, réels et complexes....................... 209 6 Rappels de trigonométrie 210 6.1 Définitions.................................... 210 6.2 Principales formules............................... 211 6.3 Formules dans un triangle quelconque..................... 211 7 Tableau périodique des éléments 212 8 Anions et cations les plus courants 213 8.1 Monoatomiques................................. 213 8.2 Polyatomiques.................................. 213 9 Alphabet grec 214 Thème A Dimensions, unités et système international A.1 Introduction La démarche scientifique, quel que soit le domaine considéré (physique, chimie, méca- nique ou biologie), passe par la mesure de grandeurs physiques et l’étude de leurs relations. Par exemple, pour étudier la force de gravitation, on analyse la relation entre le temps de chute d’un corps, la hauteur d’où il est lâché, sa masse et la constante de gravitation. Ce type d’étude nécessite de pouvoir comparer des mesures différentes, par exemple relevées par des personnes différentes en des lieux différents, et les confronter aux prédictions théo- riques. Il est donc nécessaire d’établir un système d’unité cohérent, de préférence reconnu par tous, comme le Système International d’unité, ou SI. Le but de ce thème est de formaliser le concept de grandeur mesurable, de rappeler ce qu’est le Système International d’unités et de donner une introduction à l’analyse dimen- sionnelle. Outre l’importance pour l’élève ingénieur de savoir manier convenablement les différentes unités d’un problème, il importe également de pouvoir transposer les outils et techniques développés aux cours de mathématiques, où les variables sont implicitement considérées sans dimensions, vers les cours de sciences, où toutes les variables possèdent des dimensions bien définies (longueurs, concentrations, vitesses,... ). L’analyse dimen- sionnelle des variables d’un problème est un outil puissant pour passer du domaine des mathématiques à celui des sciences. Elle permet de contrôler la validité de l’équation qui décrit un problème, identifier les grandeurs importantes d’un problème, réaliser un modèle réduit du système étudié. A.2 Algèbre des grandeurs mesurables A.2.1 Grandeurs de même espèce Parmi toutes les grandeurs physiques (distance entre deux points, concentration en éthanol d’une solution aqueuse, vitesse d’un mobile... ), on peut regrouper en sous- ensembles celles qui sont de même espèce, c’est-à-dire celles pour lesquelles on peut définir une relation d’équivalence (=) et une loi de composition : l’addition (+). 1 Thème A. Dimensions, unités et système international 2 Si deux grandeurs sont de même espèce, on peut les comparer l’une à l’autre : on peut comparer la distance Terre-Lune à la distance Bruxelles-Paris—la première étant supé- rieure à la seconde—, on peut également comparer les concentrations en éthanol de deux solutions différentes ou les vitesses de deux mobiles,.... Deux grandeurs de même espèce peuvent également être additionnées l’une à l’autre : la distance Terre-Lune peut être additionnée à la distance Bruxelles-Paris. On notera que si cette opération d’addition est permise suivant l’algèbre des grandeurs mesurables, elle n’a pas nécessairement de sens physique : sommer les concentrations de deux solution ne donne presque jamais la concentration du mélange des deux solutions. Il est à retenir que : on ne peut comparer et additionner que des grandeurs de même espèce. Toute autre utilisation de ces deux opérations est strictement proscrite. A.2.2 Mesure d’une grandeur et unité Soient G et Gu , deux grandeurs de même espèce. On définit la mesure de G dans l’unité Gu , le nombre réel m (sans dimension) tel que G = m Gu (A.1) Pour avoir un sens, la mesure d’une grandeur doit toujours être accompagnée de sa gran- deur unité. Dire que la distance moyenne Terre-Lune est de 384 n’a, bien sûr, aucun sens. Par contre dire que cette distance vaut environ 384 Mm (ou 384000 km ou 239 103 miles) est acceptable. On retiendra donc que : une mesure en laboratoire, le résultat d’un calcul,... ne peuvent jamais être exprimés sans unité. A.2.3 Changement d’unité Soient mu la mesure de la grandeur G par l’unité Gu , c’est-à-dire suivant l’équation (A.1) G = mu Gu (A.2) et mv la mesure de cette même grandeur G par l’unité Gv , donc G = mv Gv. (A.3) Suivant ce qui a été vu plus haut, Gv a bien sûr une mesure dans Gu Gv = mvu Gu. (A.4) En combinant les équations (A.2) à (A.4), on obtient que mu = mv mvu. (A.5) Toute grandeur peut être évaluée dans différents systèmes d’unités à condition de connaître sa mesure dans un système d’unité (e. g. mv ) et le facteur de conversion vers les autres systèmes d’unités (i. e. mvu ). Thème A. Dimensions, unités et système international 3 Exemple Un homme mesure six pieds (6 pi) et deux pouces (2 po). Sachant que 1 po=2,54 cm et qu’il y a douze pouces dans un pied, quelle est la taille de cet homme dans le système métrique ? La taille h de cet homme vaut donc h = 6 pi + 2 po = 74 po = 74 po × 2, 54 cm/po = 187, 96 cm ≈ 1, 88 m On notera que l’on peut effectuer la première somme car il s’agit de deux grandeurs de même espèce. Cependant leurs mesures ne peuvent être simplement additionnées, il faut les exprimer dans les mêmes unités (po). Une fois la grandeur exprimée en pouces, on peut effectuer la conversion à l’aide de la mesure du pouce en centimètre, ici mvu = 2, 54 cm/po, pour obtenir la taille de l’homme en centimètres, puis en mètres. A.2.4 Multiplication de grandeurs Une autre loi de composition permet de combiner des grandeurs d’espèces différentes. Il s’agit de la multiplication : G12 = G1 G2 , où la grandeur G12 est obtenue comme le produit des grandeurs G1 et G2. Par exemple, une grandeur de surface est obtenue comme le produit de deux grandeurs de longueur. Si Gu1 est l’unité de G1 et Gu2 , l’unité de G2 , alors, il est pratique, mais pas obligatoire, de choisir comme unité de G12 Gu12 = Gu1 Gu2. Dans ce cas, si m1 est la mesure de G1 dans l’unité Gu1 et m2 est la mesure de G2 dans l’unité Gu2 , alors m1 m2 est la mesure de G12 dans l’unité Gu12 = Gu1 Gu2. De tels systèmes d’unités sont dits coordonnés. Dans l’exemple précédent, si l’on choisit le mètre (m) comme unité de longueur, l’unité de surface dérivée sera le mètre carré (m2 ). Ce choix quoique pratique n’est pas obligatoire et une autre unité peut être choisie, comme le pied carré, utilisé dans les pays anglo-saxons (pi2 ou sq ft, en anglais ; 1 sq ft = 0, 093 m2 ) ou l’are (a ; 1 a = 100 m2 ). Pour éviter les conversions multiples, on préfère les systèmes d’unités coordonnés puisque dans ceux-ci la mesure du produit de deux grandeurs n’est autre que le produit des mesures de ces deux grandeurs. Par extension, on peut combiner les grandeurs par le biais de produits de puissances : G = k Gα1 1 Gα2 2... Gαnn , (A.6) où k est un nombre sans dimension, G1 , G2 ,... , Gn sont n grandeurs distinctes et α1 , α2 ,... , αn sont n nombres rationnels [i. e. (α1 , α2 ,... , αn ) ∈ Qn ]. Dans l’exemple ci-dessus où l’unité de longueur est le mètre, si le mètre carré est pris comme unité de surface, k = 1 et α = 2. Par contre si le pied carré est choisi comme unité de surface, k = 0, 093 (et α = 2). Thème A. Dimensions, unités et système international 4 A.2.5 Grandeurs de base et dérivées La seconde loi de composition permet d’exprimer toutes les grandeurs physiques à partir d’un petit nombre d’entre elles. Soit n le nombre minimal des ces grandeurs et soient G1 , G2 ,... , Gn , n grandeurs indépendantes, c’est-à-dire qui ne peuvent pas être exprimées les unes en fonction des autres sous la forme d’un produit de puissance (A.6), toute grandeur peut être exprimée comme un produit de puissances (A.6). Les grandeurs G1 , G2 ,... , Gn sont appelées les grandeurs de base, c’est-à-dire à partir desquelles toutes les autres sont déduites. Ces autres grandeurs sont dès lors appelées dérivées. Les expo- sants rationnels {αi }i=1,...,n sont appelés les dimensions de G par rapport aux grandeurs de base G1 , G2 ,... , Gn. On note ces dimensions par des crochets : [G]. La formule de dimensions de G est l’expression [G] = [G1 ]α1 [G2 ]α2... [Gn ]αn. (A.7) Comme vu précédemment, on ne peut comparer ni additionner que des grandeurs de même espèce. Cela revient à dire que seules les grandeurs de mêmes dimensions peuvent être comparées ou additionnées. Pour trouver la formule de dimension d’une grandeur G, il suffit de connaître une formule impliquant G et dans laquelle on connaît les dimensions de toutes les autres grandeurs. Exemple En mécanique, on a n = 3 grandeurs de base, qui sont souvent choisies comme étant la longueur (dont la dimension est notée L), le temps (dont la dimension est notée T) et la masse (dont la dimension est notée M). Dans ces grandeurs de base, quelle est la formule de dimension de la force ? La réponse est évidente si l’on se souvient que suivant la deuxième loi de Newton, la résultante F~ des forces exercées sur un corps égale le produit de sa masse m par son accélération ~a : F~ = m ~a. L’accélération étant le taux de variation de la vitesse par unité de temps, celle-ci n’étant que la variation instantanée de la position par rapport au temps, on a [a] = L T−2 et donc [F ] = M L T−2. Remarque : afin d’être le plus clair possible à propos de l’utilisation des crochets, les dimensions de longueur, de masse et de temps se notent L, M et T, respectivement (voir la Table A.1, qui reprend la notation des dimensions des grandeurs de base). Si on souhaite parler des dimensions de l’accélération ou de la force, on utilisera les crochets : [a] et [F ]. A.3 Le Système International d’unités (SI) De ce qui précède, nous voyons que le choix d’un système d’unités requiert la définition de grandeurs de base, de leurs unités, ou étalons de mesure, Thème A. Dimensions, unités et système international 5 des grandeurs dérivées et de leurs unités. Le Système International d’unités (SI) est construit sur les grandeurs de base reprises à la Table A.1 avec leurs unités ainsi que les symboles couramment utilisés pour exprimer leur dimension. Des exemples de grandeurs dérivées dans le SI sont proposés à la Table A.2 Grandeur de base Unité de base Dimension Longueur mètre (m) L Masse kilogramme (kg) M Temps seconde (s) T Intensité de courant électrique ampère (A) I Température kelvin (K) θ Quantité de matière mole (mol) N Intensité lumineuse candela (cd) J Table A.1 – Grandeurs de base, leurs unités et la notation usuelle de leur dimension. avec leurs formules de dimensions, leurs unités et l’expression de celles-ci en unités de base. On notera que certaines unités dérivées portent un nom particulier souvent choisi en l’honneur d’un physicien célèbre (Newton, Joule... ). Ces noms d’unité étant passés dans le langage commun, ils ne portent pas de majuscule, contrairement à ce qui se fait en anglais. On parlera donc d’une force de trois newtons ou d’une fréquence de quarante hertz. Leur symbole par contre s’écrit avec une majuscule : 3 N ou 40 Hz. Le SI étant un système d’unité coordonné, les même relations algébriques existent entre, d’une part, une grandeur dérivée et les grandeurs de base (i. e. formule de dimension) et, d’autre part, son unité de mesure dérivée et les unités de base (comparer les colonnes deux et quatre de la Table A.2). Grandeur dérivée Dimension Unité En unités de base Vitesse LT−1 m/s m s−1 Accélération LT−2 m/s2 m s−2 Force MLT−2 newton (N) kg m s−2 Énergie ML2 T−2 joule (J) kg m2 s−2 Fréquence T−1 hertz (Hz) s−1 Charge électrique IT coulomb (C) As Table A.2 – Exemples de grandeurs dérivées dans le SI avec leurs formules de dimensions, leurs unités et le symbole de celles-ci ainsi que leur expression dans les unités de base. Remarque. Les angles n’ont pas de dimension physique, mais le SI recommande l’usage du radian (rad). Le choix des grandeurs de base est arbitraire et d’autres choix peuvent être posés. Ainsi en physique nucléaire, il est usuel de considérer comme unités de base “mécaniques” la longueur (dimension L), la vitesse (dimensions V) et l’énergie (dimension E). Thème A. Dimensions, unités et système international 6 Dans ce système d’unité, la formule de dimension de la masse volumique est [ρ] = M L−3 = E T2 L−2 L−3 = E V−2 L−3 A.3.1 Préfixes et autres unités de base Le choix des unités de base du Système International n’est pas adapté à tous les problèmes. Bien naturellement, celles-ci ont été choisies de façon anthropocentrique et ne sont donc pas adaptées pour mesurer des grandeurs aux très grandes ou très petites échelles. Ainsi, la taille du noyau atomique est de l’ordre de 0,000000000000001 m et la fréquence d’un laser HeNe de l’ordre de 500000000000000 Hz. Afin de faciliter l’écriture de ces nombres très petits ou très grands, on utilise une série de préfixes placés juste avant le symbole de l’unité. Chaque préfixe correspond à une puissance de dix par laquelle il faut multiplier l’unité devant laquelle il est placé. Par exemple, on utilise le kilomètre, noté km, pour désigner des multiples de 103 m. La taille du noyau atomique sera plus volontiers exprimée en femtomètres (fm, aussi appelé fermi en l’honneur d’Enrico Fermi) et la fréquence du laser HeNe sera de l’ordre de 500 THz ou térahertz. Une liste de la plupart de ces préfixes et la puissance de dix à laquelle ils correspondent est reprise à l’Annexe 1. Vu l’utilisation fréquente de ces préfixes, cette liste est à connaître. Dans certains domaines il est fréquent qu’au-delà de l’utilisation des préfixes de l’An- nexe 1, des unités de base plus naturelles soient choisies. Ainsi en physique nucléaire, les unités de base du système décrit plus haut sont le femtomètre (ou fermi) 1 fm = 10−15 m comme unité de longueur, c = 3 108 m/s comme unité de vitesse et le mégaélectron-volt 1 MeV = 1, 602 10−13 J comme unité d’énergie. Puisque [ρ] = E V−2 L−3 (voir page 6), l’unité dérivée de la masse volumique dans le système d’unité nucléaire est −2 −3 1 MeV c−2 fm−3 = 1 1, 602 10−13 J 3 108 m/s 10−15 m (A.8) = 1, 78 1015 kg m−3 On notera que cette unité dérivée est plus adaptée que le kg m−3 pour mesurer la masse volumique des noyaux, cette dernière étant de l’ordre de 1017 kg m−3. A.4 Analyse dimensionnelle A.4.1 Vérification d’équations Les développements de la section précédente, et en particulier ceux concernant les formules de dimensions, peuvent être utilisés pour vérifier la validité d’une équation. En effet, nous savons que seules les grandeurs de mêmes dimensions peuvent être comparées et additionnées. Dès lors, les deux membres d’une équation doivent avoir les mêmes dimensions. Si ces membres correspondent à des sommes de différents termes, tous les termes doivent avoir les mêmes dimensions. On déduit de ce qui précède que les arguments des fonctions transcendantes, comme les fonctions sin, cos, exp,... doivent être sans dimension. En effet, ces fonctions peuvent Thème A. Dimensions, unités et système international 7 être développée en série de Taylor dont chaque terme est une puissance différente de l’argument de la fonction (voir section 2.5 de l’Annexe 2). Cette série n’a donc de sens que si l’argument est sans dimension. Par exemple, le développement de Taylor de la fonction sinus est 1 3 sin x = x − x + ··· 3! les termes de cette série devant avoir la même dimension, x ne peut avoir de dimension. Ces quelques règles permettent de vérifier aisément qu’une équation est correcte di- mensionnellement. Écrire une équation fausse dimensionnellement est donc grave. Exemple Je crois me souvenir que le théorème de Bernoulli s’écrit 2 1 P + ρgh + ρv = constante. (A.9) 2 Ce souvenir est-il plausible ? Sachant que P est une pression, ρ une masse volumique, g une accélération, h une longueur et v une vitesse, les dimensions de l’équation sont-elles correctes ? Pour vérifier cela, écrivons les formules de dimension des trois termes du premier membre de l’équation (A.9) [force] [P ] = [surface] MLT−2 = L2 = ML−1 T−2 [masse] [ρgh] = × [accélération] × [longueur] [volume] M L = 3 × 2 ×L L T = ML−1 T−2 2 2 [masse] [(ρv) ] = × [vitesse] [volume] 2 M L = × L3 T = M2 L−4 T−2 Le troisième terme ne possède pas les mêmes dimensions que les deux premiers, la formule est donc certainement incorrecte. L’expression exacte du théorème de Bernoulli est 1 P + ρgh + ρv 2 = constante (A.10) 2 qui est bien correcte dimensionnellement. Thème A. Dimensions, unités et système international 8 On notera toutefois qu’une équation juste dimensionnellement n’est pas forcément correcte. Dans l’exemple ci-dessus, l’équation P + ρgh + ρv 2 = constante serait tout aussi juste dimensionnellement que (A.10) tout en étant erronée. L’homogénéité des dimensions d’une équation est une condition nécessaire mais non suffisante pour que la relation soit correcte (voir Annexe 3). A.4.2 La Formation de groupements sans dimension L’étude de nombreux problèmes est facilitée lorsqu’on regroupe les variables de départ pour former des groupements sans dimensions. On peut alors par exemple : écrire les équations sous une forme adimensionnelle, réduire le nombre de variables et envisager l’étude expérimentale du problème considéré, effectuer des essais sur un modèle à échelle réduite du système réel. Voyons comment former des groupements sans dimension. Supposons que le problème étudié fasse intervenir les m variables X1 , X2 ,... , Xm. À partir de ces m grandeurs, on peut construire une grandeur comme le produit de puissances π = X1a1 X2a2... Xm am. En choisissant bien les exposants a1 , a2 ,... , am , le groupement π peut être choisi sans dimension. Pour trouver la ou les bonnes combinaisons des exposants {ai }i=1,...,m , il suffit d’évaluer la formule de dimension [π] = [X1 ]a1 [X2 ]a2... [Xm ]am (A.11) et d’y substituer les formules de dimensions des variables Xi : [Xi ] = [G1 ]α1i [G2 ]α2i... [Gn ]αni , où G1 , G2 ,... , Gn sont les n grandeurs de base. Après regroupement des facteurs corres- pondant à chaque grandeur fondamentale, la formule de dimension (A.11) devient [π] = [G1 ]α11 a1 +α12 a2 +...+α1m am [G2 ]α21 a1 +α22 a2 +...+α2m am... [Gn ]αn1 a1 +αn2 a2 +...+αnm am.(A.12) La grandeur π sera sans dimension si et seulement si les exposants de toutes les grandeurs de base sont nuls, c’est-à-dire si et seulement si α11 a1 + α12 a2 +... + α1m am = 0 α21 a1 + α22 a2 +... + α2m am = 0 .... .. α a + α a +... + α a n1 1 n2 2 nm m = 0 que l’on peut aussi noter sous forme indicielle m X αji ai = 0 (∀j = 1,... , n). i=1 Thème A. Dimensions, unités et système international 9 Nous aboutissons à un système d’équations linéaires homogènes que nous devons résoudre pour déterminer les inconnues a1 , a2 ,... , am. Si ce système ne possède pas de solution autre que la solution triviale a1 = a2 = · · · = am = 0, alors il est impossible de former un groupement sans dimension avec les variables de départ X1 , X2 ,... , Xm. Si par contre ce système possède des solutions non triviales, alors on peut former avec les variables de départ autant de groupements sans dimension indépendants les uns des autres qu’il existe de solutions linéairement indépendantes à ce système d’équations. Ces notions et les techniques de résolution de ce type de système sont abordées au Thème E. Exemple Soit une masse m tombant dans le vide en un temps t d’une hauteur h dans un champ gravitationnel d’accélération g. Peut-on former un groupement sans dimension avec ces variables ? Définissons π = ta hb mc g d et déterminons a, b, c et d de façon à rendre π sans dimension. Écrivons les formules de dimension des variables du problème : [t] = T [h] = L [m] = M [g] = LT−2. La formule de dimension de π est d [π] = Ta Lb Mc LT−2. Regroupons les puissances de chaque grandeur de base : [π] = Ta−2d Lb+d Mc. Les exposants de toutes les grandeurs fondamentales doivent être nuls pour que π soit sans dimension, ce qui nous amène au système d’équations suivant : a − 2d = 0 a = 2d b + d = 0 ⇔ b = −d c=0 c=0 L’infinité de solutions correspondant aux différentes valeurs du paramètre d donnent une infinité de groupements sans dimension dépendants les uns ses autres. Ceux-ci sont tous équivalents et nous sommes libres de choisir une solution particulière simple, par exemple en prenant d = 1, ce qui donne a=2 b = −1 c=0 d=1 Donc t2 g π= (A.13) h est un groupement sans dimension que l’on peut former avec les variables de ce problème. Thème A. Dimensions, unités et système international 10 A.4.3 Théorème de Buckingham Le théorème de Buckingham précise comment cette notion de groupements sans di- mension peut être exploitée en pratique. Il s’énonce comme suit : “Toute relation universelle entre m grandeurs dimensionnelles exprimées dans n grandeurs fondamentales peut être réduite à une relation entre m − n grandeurs sans dimensions.” Soit une loi physique décrite entre les m variables X1 , X2 ,... , Xm (dimensionnelles) décrite symboliquement par la relation Φ(X1 , X2 ,... , Xm ) = 0, où Φ est une fonction, connue ou non. Le théorème de Buckingham indique que cette relation est équivalente à une autre relation entre m−n nombres sans dimension π1 , π2 ,... , πm−n : ϕ(π1 , π2 ,... , πm−n ) = 0, où n est le nombre de grandeurs fondamentales nécessaires pour exprimer les m grandeurs dimensionnelles X1 , X2 ,... , Xm. Comme on le voit, ce théorème permet de diminuer le nombre de variables à considérer dans le problème. Dans certains cas, il permet d’obtenir des résultats intéressants. Exemple de la chute d’un corps dans le vide Reprenons l’exemple donné en page 9. Il fait intervenir les quatre variables t, h, m et g exprimées dans les trois grandeurs de bases T, L et M. La relation reliant ces quatre variables peut donc être remplacée par une relation mettant en œuvre le seul nombre sans dimension π (A.13) : ϕ(π) = 0, que l’on peut réécrire sous la forme π = ξ, (A.14) où ξ est un zéro de ϕ, a priori inconnu. L’équation (A.14) implique donc que t2 g = ξ h s h ⇔t ∝ , g c’est-à-dire que le temps de chute t de la masse m augmente comme la racine carrée de la hauteur de chute h, est indépendante de la masse m, et ceci sans avoir résolu les équations du mouvement. Ce résultat se vérifie aisément en résolvant l’équation de Newton. Thème A. Dimensions, unités et système international 11 A.4.4 Nombres sans dimension et applications Le théorème de Buckingham n’est malheureusement pas la réponse à tous les pro- blèmes : il ne précise que le nombre (m − n) de groupements adimensionnels qui peuvent être construits dans un problème donné, non comment les construire ni leur interprétation physique. En pratique c’est l’expérience qui permet de déterminer les groupements sans dimension physiquement intéressants. Les sciences de transfert (mécanique des fluides, transfert thermiques,... ) font grand usage des ces nombres sans dimension. L’exemple le plus connu reste le nombre de Mach, noté M ou M a, qui est le rapport de la vitesse d’un corps se déplaçant dans un fluide à la vitesse du son dans ce fluide v M= , vson où v est la vitesse de l’objet par rapport à son environnement et vson est la vitesse du son dans le fluide. Les écoulements autour de l’objet varient fortement suivant que l’on est en régime subsonique (c-à-d v < vson ⇔ M < 1) ou supersonique (v > vson ⇔ M > 1). Application pour des essais sur modèles réduits Un corollaire du théorème de Buckingham est que des systèmes ayant mêmes nombres sans dimension auront le même comportement physique. Cette propriété peut être utilisée pour étudier un système physique à partir d’un modèle réduit dont les dimensions sont choisies pour reproduire les nombres sans dimension significatifs du problème étudié. Par exemple, un réalisateur de cinéma désire filmer la chute d’une voiture du haut d’une falaise. N’ayant pas l’argent pour filmer la scène, il décide d’utiliser un modèle réduit. L’analyse dimensionnelle du problème montre que la grandeur sans dimension à conserver est π (A.13). Pour reproduire l’illusion de la chute réelle, le réalisateur devra filmer la chute du modèle réduit au ralenti de façon à conserver cette grandeur. Le film d’un modèle réduit au centième devra être projeté avec un ralenti d’un facteur dix pour rendre la chute réaliste. Thème B Opérations graphiques B.1 Introduction Au cours de la première année de bachelier en sciences de l’ingénieur, les étudiants dé- couvrent beaucoup de nouvelles fonctions en progressant dans chacun des cours. Lorsqu’on rencontre une fonction pour la première fois, il est nécessaire d’arriver à se représenter de façon concrète ce qu’elle signifie. Pour cela, il est souvent utile de pouvoir en esquisser le graphe. Parfois se pose alors la question de la fonction opposée, de la fonction inverse, ou encore de la fonction réciproque. Les relations entre les graphes de ces fonctions sont exposées dans ce thème. B.2 Notion de fonction B.2.1 Produit cartésien Soient A et B deux ensembles (voir l’Annexe 4 pour les notations mathématiques) : on peut former un couple (a, b) d’origine a ∈ A et d’extrémité b ∈ B, on peut répertorier tous les couples de ce type, qui forment le produit cartésien de A et de B, que l’on note A × B : A × B = {(a, b)| a ∈ A et b ∈ B}. B.2.2 Relation Une relation f de A vers B est un ensemble quelconque de ces couples, donc un sous-ensemble du produit cartésien A × B. Peu importe le nombre de couples dans cet ensemble : 1, 2,... tous ou aucun (dans ce cas la relation est vide). Si A et B sont deux ensembles, f est une relation de A vers B ssi f ⊆ A × B. Si (x, y) ∈ f on dit que "x a pour image y par f ", ou que "y est une image de x par f ". 12 Thème B. Opérations graphiques 13 Exemple : Relation Sous-ensemble du produit cartésien A = {a, b, c, d}, B = {0, 1, 2} (a, 1) ∈ f (b, 1) ∈ f f = {(a, 1), (b, 1), (c, 0)} (c, 0) ∈ f B.2.3 Fonction ou application Si f est une relation de A vers B ayant pour particularité d’associer à chaque élément de A un et un seul élément de B, alors f est appelée une fonction ou une application. Dans ce cas, si (x, y) ∈ f , on note y = f (x). Autrement dit, si A et B sont deux ensembles, f est une fonction de A vers B ssi [f est une relation de A vers B] et [∀a ∈ A : ∃1! b ∈ B | f (a) = b]. La condition principale concerne l’ensemble A de départ de la fonction. Une et une seule flèche doit partir de chaque élément de A : Exemple de fonction Interdit pour une fonction L’ensemble A de départ est appelé le domaine de la fonction f , noté “dom f ”. L’ensemble des éléments de B auxquels aboutissent au moins une flèche est appelé l’image de la fonction f , notée “im f ” : im f = {f (x)| x ∈ dom f }. Thème B. Opérations graphiques 14 B.2.4 Le graphe d’une fonction Le graphe d’une fonction f , noté “gphf ”, est l’ensemble défini par : gph f = {(x, f (x))| x ∈ dom f }. Dans le cas d’une fonction d’une variable f : dom f ⊆ R → R x 7→ f (x), gph f est l’ensemble des points du plan définis par : {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ dom f }. Ces points forment la courbe d’équation y = f (x) (voir figure B.1). La projection de gph f sur l’axe des x parallèlement à l’axe des y est dom f , alors que la projection de gph f sur l’axe des y parallèlement à l’axe des x est im f. y gph f im f dom f x Figure B.1 – Graphe d’une fonction d’une variable f. Ses domaine (dom f ) et image (im f ) sont indiqués respectivement sur les axes des abscisses et des ordonnées. Dans le cas d’une fonction de deux variables f : dom f ⊆ R2 → R, (x, y) 7→ f (x, y), gph f est l’ensemble des points de l’espace à trois dimensions définis par : {(x, y, f (x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ dom f }. Ces points forment la surface d’équation z = f (x, y) (voir fi- gure B.2). Figure B.2 – Graphe d’une fonction de deux variables f et son domaine U. Dans les cours “de sciences”, on fait fréquemment usage des courbes de niveau pour représenter les fonctions de deux variables. Une telle courbe de R2 , sur laquelle la fonction f (x, y) garde une valeur constante c donnée, est définie par : {(x, y) ∈ dom f : f (x, y) = c ∈ R}. Thème B. Opérations graphiques 15 Exemple p p La fonction f : R2 → R, (x, y) 7→ x2 + y 2 a pour graphe le cône ≡ z = x2 + y 2 et pour courbes de niveau des cercles centrés sur l’origine. p Figure B.3 – Graphe et courbes de niveau de la fonction f : R2 → R, (x, y) 7→ x2 + y 2. B.3 Injection, surjection et bijection B.3.1 Injection Si f est une fonction de A vers B ayant pour particularité d’associer à chacun des éléments de A des éléments de B distincts, alors f est appelée une injection. Autrement dit, si A et B sont deux ensembles, f est une injection de A vers B ssi [f est une fonction de A vers B] et [∀a1 , a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f (a1 ) 6= f (a2 )] Une et une seule flèche doit partir de chaque élément de A (c’est une fonction) et deux flèches ne peuvent pas aboutir au même élément de B. Exemple d’injection Interdit pour une injection Remarque. En restreignant le domaine d’une fonction à un intervalle sur lequel elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante, on obtient une injection. Thème B. Opérations graphiques 16 Exemple La fonction f : R → R, x 7→ sin(x) n’est pas injective, puisque sin(0) = 0 = sin(π). Par contre la fonction g : [− π2 , π2 ] → R, x 7→ sin(x) est injective, puisque ∀x1 ∈ [− π2 , π2 ] @ x2 ∈ [− π2 , π2 ] \ {x1 } | sin(x2 ) = sin(x1 ). B.3.2 Surjection Si f est une fonction de A vers B telle que chacun des éléments de B est associé à au moins un élément de A, alors f est appelée une surjection. Autrement dit, si A et B sont deux ensembles, f est une surjection de A vers B ssi [f est une fonction de A vers B] et [∀b ∈ B : ∃a ∈ A | b = f (a)] Une et une seule flèche doit partir de chaque élément de A (c’est toujours une fontion) et au moins une flèche doit aboutir à chaque élément de B. Exemple de surjection Interdit pour une surjection Remarque. Si on restreint l’ensemble d’arrivée d’une fonction à son image, on obtient une surjection. Exemple La fonction f : R → R, x 7→ sin(x) n’est pas surjective, puisque @ x ∈ R | sin(x) = 2. Par contre la fonction h : R → [−1, 1], x 7→ sin(x) est surjective, puisque ∀y ∈ [−1, 1], ∃ x ∈ R | sin(x) = y. B.3.3 Bijection Si f est une fonction de A vers B ayant pour particularité que chacun des éléments de B est associé à un et un seul élément de A, alors f est appelée une bijection ou correspondance biunivoque ou encore correspondance 1-1. Autrement dit, si A et B sont deux ensembles, f est une bijection de A vers B ssi [f est une injection de A vers B] et [f est une surjection de A vers B] Une et une seule flèche doit partir de chaque élément de A (cela reste une fonction) et une et une seule flèche doit aboutir à chaque élément de B. Thème B. Opérations graphiques 17 Exemple de bijection Remarque. En restreignant le domaine d’une surjection à un intervalle sur lequel elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante, on obtient une bijection. Exemple La fonction g : [− π2 , π2 ] → R, x 7→ sin(x) est injective mais pas surjective, puisque @ x ∈ [− π2 , π2 ] | sin(x) = 2. La fonction h : R → [−1, 1], x 7→ sin(x) est surjective mais pas injective, puisque sin(0) = 0 = sin(π). Par contre la fonction i : [− π2 , π2 ] → [−1, 1], x 7→ sin(x) est bijective, puisque ∀y ∈ [−1, 1] ∃ 1! x ∈ [− π2 , π2 ]| y = sin(x) À ces restrictions de domaine et d’ensemble d’arrivée on obtient une bijection. B.3.4 Opérations sur les fonctions 1. La fonction somme de deux fonctions f et g, notée f +g, est définie sur l’intersection des domaines de f et g par : (f + g)(x) = f (x) + g(x) sur dom f ∩ dom g. 2. La fonction produit de deux fonctions f et g, notée f · g, est définie sur l’intersection des domaines de f et g par : (f.g)(x) = f (x).g(x) sur dom f ∩ dom g. 3. La fonction opposée de f , notée −f , est définie par : (−f )(x) = −f (x) sur dom f. 1 4. La fonction inverse de f , notée , est définie sur le domaine de f moins l’ensemble f des zéros de f par : 1 1 (x) = sur dom f \ ker f, f f (x) où ker f est le noyau de f : ker f = {x ∈ dom f | f (x) = 0}, c’est-à-dire l’ensemble des zéros de f. Thème B. Opérations graphiques 18 5. La fonction réciproque de f , notée f −1 , peut être introduite de la façon suivante. Si l’équation y = f (x) peut être résolue d’une manière univoque par rapport à la variable x, alors la fonction réciproque existe et est telle que x = f −1 (y). Seules les bijections admettent une fonction réciproque. En pratique, si dom f est un intervalle et que f est continue, alors f admet une réciproque ssi f est strictement croissante ou strictement décroissante sur cet in- tervalle. Pour certaines fonctions continues surjectives, on restreint le domaine afin d’obtenir une bijection sur l’image, et on définit ensuite la fonction réciproque de la fonction restreinte. Exemple : La fonction sinus (de R dans R) a pour image [−1, 1] et est donc surjective de R sur [−1, 1]. Par contre, elle n’est pas injective, et donc pas bijective. Cependant, sa restriction au domaine [−π/2, π/2] est bijective sur [−1, 1]. C’est cette restriction qu’on choisit pour définir arcsin (aussi notée sin−1 ) et que l’on appelle détermination principale de arcsin. Remarques 1. Ne pas confondre fonction opposée, fonction inverse et fonction réciproque. 2. En toute rigueur, chaque fois qu’on définit une fonction il conviendrait de préciser dans quel domaine on fait varier la variable indépendante (voir Secs. B.3.1–B.3.3). Par exemple, il faudrait noter une fonction de domaine A sous la forme : f : A ⊆ R → R, x 7→ f (x). Exemples (a) exp : R → R, x 7→ ex (b) sin : R → R, x 7→ sin(x) En pratique, cette notation ne sera utilisée qu’aux cours de mathématiques. B.4 Opérations sur les graphes de fonctions d’une va- riable B.4.1 Translations 1. Pour construire le graphe de x 7→ f (x + a) à partir du graphe de x 7→ f (x), on effectue une translation horizontale de a unités (de x) vers la gauche si a > 0, vers la droite si a < 0. 2. Pour construire le graphe de x 7→ f (x) + a à partir du graphe de x 7→ f (x), on effectue une translation verticale de a unités (de y) vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. Thème B. Opérations graphiques 19 B.4.2 Étirements et compressions 1. Pour construire le graphe de x 7→ f (a x) à partir du graphe de x 7→ f (x), il faut diviser par a toutes les abscisses du graphe de f. 2. Pour construire le graphe de x 7→ a f (x) à partir du graphe de x 7→ f (x), il faut multiplier par a toutes les ordonnées du graphe de f. B.4.3 Symétries 1. Dans un système d’axes orthogonaux, pour construire le graphe de x 7→ f (−x) à partir du graphe de x 7→ f (x), il faut effectuer une symétrie orthogonale par rapport à l’axe des y. 2. Dans un système d’axes orthogonaux, pour construire le graphe de x 7→ −f (x) à partir du graphe de x 7→ f (x), il faut effectuer une symétrie orthogonale par rapport à l’axe des x. 3. Dans un système d’axes orthonormés uniquement, pour construire le graphe de x 7→ f −1 (x) à partir du graphe de x 7→ f (x), il faut effectuer une symétrie orthogonale par rapport à la droite d’équation x = y, c’est-à-dire par rapport à la bissectrice du premier quadrant. A ce stade des études, tout étudiant doit être capable d’esquisser les graphes fonda- mentaux c’est-à-dire ceux des fonctions sinus, cosinus, tangente, puissance, exponentielle et logarithme. Les règles exposées ci-dessus permettent d’exploiter ces graphes fonda- mentaux pour en construire de plus compliqués (de nombreux exemples de graphes de fonctions se trouvent dans le cours d’Analyse). B.4.4 Application de la translation d’un graphe à la propagation d’une onde Soit f : R → R, x 7→ f (x) une fonction nulle partout sauf sur petit intervalle où elle est positive. La forme précise de f n’a pas d’importance ici ; disons que son graphe est esquissé à la figure B.4. Les graphes des deux fonctions x 7→ f (x + c t) et x 7→ f (x − c t) Figure B.4 – Graphe d’une fonction f nulle partout sauf sur un petit intervalle. où x a les dimensions d’une longueur, c > 0 est une vitesse et t est le temps croissant depuis l’instant t = 0 sont représentés à la figure B.5 en deux instants t2 > t1 > 0. Thème B. Opérations graphiques 20 Figure B.5 – Graphes des fonctions x 7→ f (x + c t) et x 7→ f (x − c t) aux temps t1 > 0 (haut) et t2 > t1 > 0 (bas). On peut donc interpréter : f (x + c t) comme une "impulsion isolée" qui se propage dans le sens des x décrois- sants, f (x−c t) comme une "impulsion isolée" qui se propage dans le sens des x croissants. Ceci montre que si le terme d’espace (en x) possède le même signe que le terme de temps [f (x + c t)], alors la propagation se fait dans le sens des x décroissants. Par contre, si le terme d’espace x possède le signe opposé à celui du terme de temps [f (x − c t)], alors la propagation se fait dans le sens des x croissants. Le point essentiel à retenir, est que la forme de f n’a pas d’importance ici et que c’est uniquement la forme de l’argument qui crée la propagation au cours du temps. Vous verrez au cours de Physique Générale la propagation d’ondes pour lesquelles la fonction f est une fonction périodique, par exemple f (x) = sin(x) ou cos(x). Thème C Exponentielles et logarithmes C.1 Introduction Les fonctions exponentielle et logarithme se rencontrent très souvent en sciences : En biologie, l’évolution d’une population en forte croissance peut être approchée par une exponentielle. En physique, on observe une décroissance exponentielle de l’activité des sources radioactives. [H+ ] En chimie, le pH est défini comme − log10 , où [H+ ] est la concentration en mol/l 1 cations H+ exprimée en mol/l, l’indication 1 mol/l au dénominateur de l’argument de la fonction log10 rappelle que l’argument d’une fonction transcendante doit être sans dimension (voir Thème A) et que dans cette définition les concentrations sont exprimées en mol/l. Ces fonctions étant d’usage très fréquent en sciences, il est nécessaire d’en maîtriser les propriétés. Le but de ce thème est de revoir ces deux fonctions et d’en illustrer l’application en science. C.2 La fonction exponentielle C.2.1 Définition Plusieurs définitions sont possibles pour la fonction exponentielle. Nous préférons re- tenir celle qui met en évidence le sens physique qui sera développé au long de ce thème. Par définition, la fonction exponentielle, notée exp(x) ou ex , exp : R → R+ 0 , x 7→ exp(x) ou e x est la fonction solution de l’équation différentielle df =f (C.1) dx telle que f (0) = 1, c’est-à-dire que la fonction exponentielle égale sa dérivée en tout point et qu’elle vaut 1 en x = 0. Son domaine est dom exp = R et son image est im exp = R+ 0. Il est à souligner 21 Thème C. Exponentielles et logarithmes 22 que les notions de dérivées et d’intégrales sont abordées et revues dans le Thème P et dans le Thème Q. C.2.2 Étude de la fonction exponentielle Suivant la définition (C.1), la Table C.1 résume les variations de la fonction exponen- tielle et de ses dérivées. Son graphe est représenté à la figure C.1. x −∞ 0 +∞ 0 [exp(x)] = exp(x) 0 + 1 + +∞ [exp(x)]00 = exp(x) 0 + 1 + +∞ exp(x) 0 % 1 % +∞ Table C.1 – Variations de la fonction exponentielle et de ses dérivées première et seconde. y 4 3 gph exp 2 1 0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x Figure C.1 – Graphe de la fonction exponentielle. L’équation (C.1) indique que la fonction exponentielle égale sa dérivée en tout point. De plus, comme elle est strictement positive (voir Table C.1), nous pouvons dire que “plus elle croît, plus elle croît vite”. La croissance exponentielle est donc qualifiée de rapide. Elle croît plus vite que toute fonction linéaire exp(x) lim =∞ (C.2) x→∞ x et que n’importe quelle puissance xn (n ∈ N) exp(x) lim =∞ ∀n ∈ N. (C.3) x→∞ xn La fonction exponentielle croît donc plus vite que n’importe quel polynôme P exp(x) lim = ∞. (C.4) x→∞ P (x) Thème C. Exponentielles et logarithmes 23 C.2.3 Propriétés exp(0) = 1 Le nombre e peut être défini par e = exp(1) et sa valeur approchée est e ≈ 2, 718 exp(x + y) = exp(x). exp(y) ∀x, y ∈ R Cette propriété est malheureusement oubliée par un grand nombre d’étudiants, nous ne pourrions trop insister sur son importance. On remarquera en passant que cette propriété indique que la fonction exponentielle transforme une somme en un produit. On parle d’isomorphisme du groupe (R, +) dans le groupe (R+ 0 ,.) (voir cours d’Algèbre). exp(αx) = [exp(x)]α ∀x, α ∈ R En particulier, la fonction inverse de la fonction exponentielle s’obtient pour α = −1 (voir Thème B) : 1 exp(−x) = exp x et donc, en combinant cette propriété-ci et la précédente, exp(x) exp(x − y) = ∀x, y ∈ R. exp(y) La fonction exponentielle est une bijection de R dans R+0 (puisqu’elle est monotone croissante sur son domaine R, voir Thème B). Étant bijective, elle admet une réci- proque qui n’est autre que la fonction logarithme népérien décrite à la section C.3. Suivant la définition (C.1), d exp(x) = exp(x). dx La fonction exp est donc infiniment dérivable et toutes ses dérivées sont continues. La règle de la dérivée de la composée de deux fonction nous donne d exp[u(x)] = exp[u(x)] u0 (x) (C.5) dx et en particulier d exp(αx) = α exp(αx) ∀α ∈ R. (C.6) dx On déduit le calcul de primitives de la fonction exponentielle de ce qui précède Z exp(x) dx = exp(x) + C, où C est une constante arbitraire. On a aussi Z exp[u(x)] u0 (x) dx = exp[u(x)] + C. La fonction exponentielle étant égale à toutes ses dérivées, son développement en série de Taylor est aisé à calculer (voir Annexe 2) : ∞ X xn exp(x) = n=0 n! x2 x3 x4 = 1+x+ + + +... (C.7) 2 3! 4! Pour rappel : n! = n.(n − 1).(n − 2)... 2.1. Thème C. Exponentielles et logarithmes 24 Exemple 1 On appelle taux de natalité ∆N ∆t d’une population, l’augmentation ∆N du nombre N de membres de cette population en un temps ∆t. Une population en forte croissance démographique (e. g. bactéries, lapins... ) présente un taux de natalité proportionnel à son nombre de membres N : ∆N = αN où α > 0. ∆t En approchant N par une fonction continue R → R+ 0 : t 7→ N (t) et en passant à la limite ∆t → 0, on obtient dN = αN, (C.8) dt dont la fonction N : R → R+ 0 , t 7→ N0 exp(αt) est solution générale. Une telle population croît donc exponentiellement. Pour reprendre les propos de la section C.2.2, l’équation (C.8) traduit mathématiquement le fait que plus la population croît, plus elle croît ra- pidement, c’est-à-dire que plus il y a de géniteurs potentiels, plus la population croîtra rapidement, augmentant ainsi le nombre des géniteurs potentiels etc. Exemple 2 Envisageons le mouvement unidimensionnel d’un mobile dans un fluide visqueux. Ce fluide exerce sur le mobile une force de frottement F proportionnelle et opposée à la vitesse v du mobile par rapport au fluide : F = −αv où α > 0. (C.9) En l’absence d’autres forces, l’équation du mouvement s’écrit ma = F dv ⇔m = −αv, (C.10) dt qui a pour solution générale, la fonction v : R → R+ α 0 , t 7→ v0 exp − m t. La vitesse de ce mobile décroît donc exponentiellement. Lorsque, sous l’influence de la force de frottement (C.9), le mobile ralentit, cette force de frottement diminue, diminuant d’autant le freinage du mobile. Le mobile continuera cependant à ralentir, puisque la force (C.9) ne s’annule jamais, mais sa variation (absolue) de vitesse sera de plus en plus petite, en accord avec l’équation (C.10). C.3 La fonction logarithme népérien C.3.1 Définition On définit la fonction logarithme népérien ou logarithme naturel, notée ln, comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle : ln : R+ 0 → R, x 7→ ln(x) ln(x) = y ⇔ exp(y) = x (C.11) Autrement dit, “ln(x) est l’exposant de e pour obtenir x” ; en particulier, ln(e) = 1 et ln(1) = 0. Son domaine est donc dom ln = im exp = R+0 et son image im ln = dom exp = R. Thème C. Exponentielles et logarithmes 25 C.3.2 Étude de la fonction logarithme népérien La dérivée première de la fonction ln est d 1 ln(x) =. (C.12) dx x Démonstration En combinant (C.5) et (C.11), on trouve d exp[ln(x)] = exp[ln(x)] ln0 (x) dx d ⇔ x = x ln0 (x) dx ⇔ 1 = x ln0 (x) qui est équivalent à (C.12). Suivant le résultat (C.12), la Table C.2 résume les variations de la fonction logarithme népérien et de ses dérivées. Son graphe est représenté à la figure C.2. x 0 1 +∞ [ln(x)]0 = x1 +∞ + 1 + 0 [ln(x)]00 = − x12 −∞ − −1 − 0 ln(x) −∞ % 0 % +∞ Table C.2 – Variations de la fonction logarithme népérien et de ses dérivées première et seconde. y 5 gph exp 4 3 2 gph ln 1 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2 Figure C.2 – Graphe de la fonction logarithme népérien. Un système d’axes orthonormés est utilisé pour montrer la symétrie orthogonale suivant la première bissectrice entre le graphe de la fonction ln et celui de la fonction exp, réciproques l’une de l’autre. Dans des axes orthonormés, le graphe de la fonction logarithme népérien peut être déduit de celui de sa fonction réciproque, la fonction exponentielle, en effectuant une Thème C. Exponentielles et logarithmes 26 symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice, c’est-à-dire la droite d’équation y = x (voir Thème B). On retrouve donc facilement à partir de la figure C.1 les valeurs particulières lim ln(x) = −∞ , ln(1) = 0 et que ln(e) = 1. x→0 La dérivée de ln est la fonction x1 (C.12), ce qui indique que son taux de variation diminue lorsqu’elle augmente. Autrement dit, “plus elle croît, moins elle croît vite”. La croissance logarithmique est qualifiée de lente. Elle croît moins vite que toute fonction linéaire ln(x) lim =0 (C.13) x→∞ x et que n’importe quelle puissance xn (n > 0) ln(x) lim =0 ∀n ∈ R+ 0. (C.14) x→∞ xn La fonction logarithme népérien croît donc moins vite que n’importe quel polynôme P de degré supérieur ou égal à un ln(x) lim = 0. (C.15) x→∞ P (x) C.3.3 Propriétés ln(1) = 0 ln(e) = 1 Par définition exp[ln(x)] = x ∀x ∈ R+0 et ln[exp(x)] = x ∀x ∈ R ln(x.y) = ln(x) + ln(y) ∀x, y ∈ R+0 Cette propriété importante souligne le fait que la fonction logarithme népérien transforme un produit en une somme. Il s’agit donc d’un isomorphisme du groupe (R+0 ,.) dans le groupe (R, +) (voir cours d’Algèbre). ln(xα ) = α ln(x) ∀x ∈ R+0 ,α ∈ R En particulier, la fonction opposée de ln s’obtient pour α = −1 : ln( x1 ) = − ln(x) et donc ln( xy ) = ln(x) − ln(y) ∀x, y ∈ R+ 0. La fonction ln est une bijection de R+ 0 dans R dont la fonction réciproque est exp. La fonction ln est donc infiniment dérivable et ses dérivées continues sur R+ 0. On a aussi d u0 (x) ln[u(x)] =. dx u(x) De ce qui précède, on en déduit que 1 Z dx = ln(x) + C, x Thème C. Exponentielles et logarithmes 27 où C est une constante arbitraire et Z 0 u (x) dx = ln[u(x)] + C. u(x) Le développement de Taylor de la fonction ln autour de 1 s’écrit : ∞ n (n+1) x X ln(x + 1) = (−1) n=1 n x2 x3 x4 = x− + − +... (C.16) 2 3 4 C.4 Fonction exponentielle de base a quelconque C.4.1 Définition Pour définir la fonction exponentielle en base quelconque a ∈ R+ x 0 , notée expa ou a , expa : R → R+ x 0 , x 7→ expa (x) ou a , on pose expa (x) = exp[x ln(a)]. (C.17) Comme la fonction exponentielle, son domaine est dom exp = R et son image est im exp = R+ 0. Remarque. Les propriétés exp(αx) = [exp(α)]x et exp[ln(a)] = a appliquées à la défini- tion (C.17) justifient la notation ax. C.4.2 Étude de la fonction exponentielle de base a La dérivée de expa s’obtient à partir de la définition (C.17) et de la règle de dérivation (C.6) : d expa (x) = ln(a). expa (x). dx Comme expa (x) > 0, expa est strictement croissante si a > 1, puisque dans ce cas ln(a) > 0 (voir Table C.2). Par contre expa est strictement décroissante si a < 1, puisqu’alors ln(a) < 0. Lorsque a = 1, exp1 (x) = 1 ∀x ∈ R et la fonction est constante sur tout son domaine. La Table C.3 résume les variations de la fonction exponentielle en base a et de ses dérivées en fonction de la valeur de a. Pour illustrer ces résultats, le graphe de exp2 et exp 1 sont repris à la figure C.3. Notons que la croissance de la fonction exponentielle de 2 base a > 1 est une croissance rapide au sens défini au point C.2.2. Remarquons que l’on peut passer d’une courbe à l’autre en effectuant une symétrie orthogonale par rapport à l’axe des y (voir Thème B). En effet, x 1 1 = x a a = a−x. Thème C. Exponentielles et logarithmes 28 a>1 a 1, loga est strictement croissante sur tout son domaine alors que si a < 1, loga est strictement décroissante sur tout son domaine. Comme dans le cas où a = 1, expa n’est pas bijective, log1 n’existe pas. Ceci peut également se déduire de (C.18). La Table C.4 résume les variations de la fonction logarithme en base a et de ses dérivées en fonction de la valeur de a. Le graphe de la fonction logarithme en base a est représenté à la figure C.4 pour a = 2 et 12. La croissance de la fonction logarithme de base loga (a > 1) est une croissance lente au sens défini à la section C.3.2. Remarquons que l’on peut passer d’une courbe à l’autre en effectuant une symétrie orthogonale par rapport à l’axe des x puisque les deux fonctions sont opposées (voir Thème B). En effet : ln(x) log 1 (x) = ln a1 a ln(x) = − ln(a) = − loga (x). Thème C. Exponentielles et logarithmes 30 a>1 a q, on le dit surdéterminé : il y a plus d’équations que d’inconnues. Dans ce cas, le nombre de conditions sur les variables du problème représenté par le système d’équations est supérieur au nombre de variables lui-même. Dans la plupart des cas, ces systèmes sont incompatibles. Dans la suite il sera toujours supposé que p ≤ q. Exemple Dans R5 le système 2x1 − 3x2 + x3 − 3x5 = 0 x1 − 2x2 + 3x3 + x4 − 2x5 = −1 −2x1 + 3x2 − 3x3 − 2x4 + 3x5 = 0 est un système linéaire non homogène de 3 équations à 5 inconnues. E.3.2 Résolution d’un système linéaire par la méthode d’élimination de Gauss La méthode d’élimination de Gauss consiste à transformer, grâce à des combinaisons linéaires de lignes Li (i = 1,... , p), le système de départ de p équations à q inconnues (p, q ∈ N0 ) a11 x1 + a12 x2 +... + a1q xq = b1 L1 a21 x1 + a22 x2 +... + a2q xq = b2 L2 .. où aij , bi ∈ R (∀i = 1,... , p; j = 1,... , q) . a x + a x +... + a x = b L p1 1 p2 2 pq q p p en un système équivalent échelonné, c’est-à-dire de la forme a011 x1 + a012 x2 +............ + a01q xq = b01 L01 0 + a22 x2 +............ + a0 xq = b0 L02 2q 2.............. où a0ij , b0i ∈ R (∀i = 1,... , p; j = 1,... , q) ..... =.. 0 + · · · + 0 + a0 x +... + a0 x = b 0 L0p pp p pq q p et à résoudre ensuite ce dernier système par substitution. Détaillons la procédure : Thème E. Résolution de systèmes d’équations linéaires 46 1. On choisit une équation de base Lb et une inconnue xj dont le coefficient abj est non nul dans cette équation. 2. On se sert de cette équation Lb pour éliminer l’inconnue xj dans les autres équations, en utilisant des combinaisons linéaires du type L0i = abj Li − aij Lb avec i 6= b. |{z} 6=0 Le coefficient de xj dans chaque nouvelle équation L0i sera donc bien nul : a0ij = abj (aij ) − aij (abj ) = 0. |{z} 6=0 3. L’équation qui a servi de base reste inchangée jusqu’à la fin de la procédure. 4. Parmi les équations restantes, on recommence à l’étape 1 et continue de cette ma- nière soit jusqu’à ce que le système soit échelonné, on passe alors au point 5, soit jusqu’à ce qu’apparaisse une impossibilité qui rend le système incompatible, auquel cas ES = φ. 5. On termine la résolution par la méthode de substitution et on écrit l’ensemble des solutions : si p = q, alors le système final possède une forme triangulaire et est déterminé, c’est-à-dire qu’il possède une et une seule solution, si p < q, alors le système est indéterminé et possède une infinité de solutions. Attention. Dans le cas de systèmes avec paramètres, une discussion peut être nécessaire à l’étape 1 lorsque le coefficient abj de l’inconnue xj choisie dans la ligne de base Lb contient un paramètre qui pourrait l’annuler. Dans ce cas, il convient de changer de ligne de base ou d’inconnue pour en choisir une dont le coefficient n’implique pas de discussion. Si aucune des ces deux options n’est possible, il faut discuter les différents cas. Exemple Résoudre dans R5 par élimination de Gauss le système : 2x1 − 3x2 + x3 − 3x5 = −1 −x1 + 2x2 − 3x3 + x4 − 2x5 = 2 −2x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 + 4x5 = 3. Les astérisques indiquent l’équation de base choisie et l’inconnue choisie dans celle-ci afin de l’éliminer dans les autres équations à l’étape suivante : ∗ ∗ 2x1 − 3x2 + x3 − 3x5 = −1 L1 −x1 + 2x2 − 3x3 + x4 − 2x5 = 2 L2 −2x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 + 4x5 = 3 L3 ∗ 2x1 − 3x2 + x3 − 3x5 = −1 L01 = L1 ⇔ ∗ x2 − 5x3 + 2x4 − 7x5 = 3 L02 = L1 + 2L2 −x2 − 2x3 − 2x4 + x5 = 2 L03 = L1 + L3 2x1 − 3x2 + x3 − 3x5 = −1 L001 = L01 ⇔ x2 − 5x3 + 2x4 − 7x5 = 3 L002 = L02 −7x3 − 6x5 = 5 L003 = L02 + L03 Thème E. Résolution de systèmes d’équations linéaires 47 x1 = −1 − 3x4 + 6x5 ⇔ x2 = − 74 − 2x4 + 19 7 5 x x3 = − 75 − 67 x5 4 19 5 6 ⇒ ES = −1 − 3x4 + 6x5 , − − 2x4 + x5 , − − x5 , x4 , x5 x4 , x5 ∈ R 7 7 7 7 Ce qui correspond à un plan de solutions (dans un espace à cinq dimensions). Notez que les signes d’équivalences, les accolades et les justifications des calculs par les combinaisons linéaires effectuées doivent être indiqués dans la résolution. De plus, à chaque étape, le système doit être remplacé par un système équivalent, donc toutes les équations doivent être reproduites. Résolvons le même système avec un autre choix de lignes de base : ∗ 2x1 − 3x2 + x3 − 3x5 = −1 L1 ∗ −x1 + 2x2 − 3x3 + x4 − 2x5 = 2 L2 −2x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 + 4x5 = 3 L3 ∗ 5x1 − 7x2 + x4 − 11x5 = −1 L01 = 3L1 + L2 ⇔ −x1 + 2x2 − 3x3 + x4 − 2x5 = 2 L02 = L2 ∗ x1 + 3x4 − 6x5 = −1 L03 = L2 − L3 −7x2 − 14x4 + 19x5 = 4 L001 = L01 − 5L3 ⇔ −x1 + 2x2 − 3x3 + x4 − 2x5 = 2 L002 = L02 x1 + 3x4 − 6x5 = −1 L003 = L03 x1 = −1 − 3x4 + 6x5 ⇔ x2 = − 74 − 2x4 + 19 7 5 x 5 6 x3 = − 7 − 7 x5 On retrouve bien entendu le même ensemble de solutions. E.3.3 Autres méthodes de résolution de systèmes d’équations li- néaires La méthode d’élimination de Gauss est sans doute la plus pratique car elle s’applique à tout système linéaire, rectangulaire ou carré, avec ou sans paramètres. De plus, elle ne né- cessite pas de connaissances particulières (si ce n’est l’usage des opérations algébriques de base). D’autres méthodes, exactes ou approchées, seront étudiées dans les cours d’algèbre et d’analyse numérique. E.4 Les systèmes non linéaires homogènes Pour ces systèmes, la méthode de résolution précédente ne s’applique plus et on a sou- vent recours à l’analyse numérique. Cependant, dans certains cas particuliers, l’usage des factorisations et des produits remarquables permet de déterminer l’ensemble des solutions. Thème E. Résolution de systèmes d’équations linéaires 48 Exemple Résoudre dans R3 le système non linéaire homogène : 3XT − 2Y 2 − T 2 = 0 X −Y =0 écrivons le système sous la forme X=Y ⇔ T 2 − 3Y T + 2Y 2 = 0 Nous pouvons faire apparaître une différence au carré dans la seconde équation : X=Y X = Y X=Y ⇔ 2 1 2 ⇔ 3 1 ou 3 T − 2Y − 4Y = 0 T − 2Y + 2Y = 0 T − 2 Y − 12 Y = 0 3 X = Y X = Y ⇔ ou T = Y T = 2Y ⇒ ES = {(Y, Y, Y ) | Y ∈ R} ∪ {(Y, Y, 2Y ) | Y ∈ R} L’ensemble des solutions est donc la réunion de deux droites dans R3. Thème F Les matrices F.1 Introduction Les systèmes d’équations linéaires étudiés dans le Thème E sont parfois résolus sous forme matricielle en donnant un rôle important à l’opération d’inversion d’une matrice. D’autre part, l’écriture matricielle des composantes d’un vecteur dans une base, vue dans le Thème H, permet de ramener un changement de base à une opération de multiplication de matrices. Les matrices interviennent également dans l’étude des transformations (ou applications) linéaires, qui seront étudiées dans le cours d’algèbre. F.2 Définition d’une matrice Une matrice à p lignes et q colonnes, ou matrice d’ordre p × q est un tableau rectan- gulaire de nombres a11 a12 · · · · · · · · · a1j · · · a1q a21 a22 · · · · · · · · · a2j · · · a2q .......... . .... ai1 ai2 · · · aii · · · aij · · · aiq A = ......... p lignes ...... ..... .. ajj .. ......... ... ... ap1 ap2 · · · · · · · · · apj · · · apq | {z } q colonnes La matrice est une application qui associe au couple d’indices (i, j) l’élément (ou le coeffi- cient) aij situé au croisement de la ie ligne et de la j e colonne du tableau. On peut décrire cette matrice par la notation A = (aij )1≤i≤p,1≤j≤q ou simplement A = (aij ), lorsque les domaines de variations des indices sont clairement définis. On considère ici les matrices réelles (aij ∈ R, ∀i, j ∈ N0 ) et les matrices complexes (aij ∈ C, ∀i, j ∈ N0 ). L’ensemble des matrices réelles d’ordre p × q se note Rp×q et l’ensemble des matrices complexes d’ordre p × q se note Cp×q. 49 Thème F. Les matrices 50 Exemple : R2×3 est l’ensemble des matrices réelles d’ordre 2 × 3 : 2×3 a b c R = | a, b, c, d, e, f ∈ R. d e f F.3 Matrices de formes particulières Une matrice ligne est une matrice d’ordre 1 × q : a11 · · · a1j · · · a1q. a11 .. . Une matrice colonne est une matrice d’ordre p × 1 : ai1 . . .. ap1 Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Une ma- trice nulle d’ordre p × q sera notée Op×q ou simplement (O) lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté : 0 0 ··· 0 0 Op×q = .......... p lignes .. 0 0 ··· 0 0 | {z } q colonnes Une matrice carrée d’ordre n est une matrice possédant n lignes et n colonnes : a11... a1i... a1n ...... ... A = ai1... aii... ain ..... .... an1... ani · · · ann Dans ce cas, l’ensemble aii (i = 1,... , n) constitue la diagonale principale de A. Matrice triangulaire supérieure : une matrice carrée A d’ordre n est une matrice triangulaire supérieure si et seulement si aij = 0 ∀i > j; i, j = 1,... , n. a11... a1i... a1n ....... .. A= aii... ain ... ... 0 ann Matrice triangulaire inférieure : une matrice carrée A d’ordre n est une matrice triangulaire inférieure si et seulement si aij = 0 ∀i < j; i, j = 1,... , n. a11 ..... . 0 A = ai1 aii ..... .. .. an1 · · · ani · · · ann Thème F. Les matrices 51 Matrice diagonale : une matrice carrée A d’ordre n est diagonale si et seulement si tous ses éléments non-diagonaux sont nuls. C’est-à-dire si et seulement si aij = 0 ∀i 6= j; i, j = 1,... , n. a11 .. . 0
