Знайти числові характеристики випадкової величини.

Steps to Solve

1. Обчислення функції щільності ймовірності

Спочатку необхідно знайти функцію щільності ймовірності $f(x)$, яка є похідною функції розподілу $F(x)$:

$$ f(x) = \frac{d}{dx} F(x) $$

Для відповідаючи на різні відрізки:

• Для $x \leq 1$: $f(x) = 0$
• Для $1 < x \leq 2$:

Похідна $F(x) = x^2 - 2x + 1$:

$$ f(x) = 2x - 2 $$

• Для $x > 2$: $f(x) = 0$

2. Знаходження математичного сподівання

Математичне сподівання $E(X)$ розраховується за формулою:

$$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $$

Обчислюємо інтеграл для діапазону $1 < x \leq 2$:

$$ E(X) = \int_{1}^{2} x (2x - 2) dx $$

3. Обчислення інтегралів

Обчислюємо інтеграл:

$$ E(X) = \int_{1}^{2} (2x^2 - 2x) dx = \left[\frac{2x^3}{3} - x^2\right]_{1}^{2} $$

Підставляючи межі:

$$ E(X) = \left(\frac{2(2^3)}{3} - 2^2\right) - \left(\frac{2(1^3)}{3} - 1^2\right) $$

4. Обчислення дисперсії

Дисперсія $D(X)$ визначається як:

$$ D(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 $$

Спочатку знаходимо $E(X^2)$:

$$ E(X^2) = \int_{1}^{2} x^2 f(x) dx = \int_{1}^{2} x^2 (2x - 2) dx $$

5. Обчислення інтегралів для $E(X^2)$

Обчислюємо інтеграл:

$$ E(X^2) = \int_{1}^{2} (2x^3 - 2x^2) dx = \left[\frac{2x^4}{4} - \frac{2x^3}{3}\right]_{1}^{2} $$

Підставляючи межі:

$$ E(X^2) = \left(\frac{2(2^4)}{4} - \frac{2(2^3)}{3}\right) - \left(\frac{2(1^4)}{4} - \frac{2(1^3)}{3}\right) $$

6. Обчислення фінальних значень

Після обчислень, отримуємо значення для $E(X)$ та $E(X^2)$, після чого підставляємо в формулу для дисперсії $D(X)$.