यदि किसी वृत्त के किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जायें तो सिद्ध कीजिए कि उस बाह्य बिन्दु को वृत्त के केन्द्र से मिलाने वाले रेखाखण्ड के साथ, दोनों स्पर्श रेखा... यदि किसी वृत्त के किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जायें तो सिद्ध कीजिए कि उस बाह्य बिन्दु को वृत्त के केन्द्र से मिलाने वाले रेखाखण्ड के साथ, दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर कोण बनाती हैं। Read more

Steps to Solve

1. दिया हुआ मान लीजिए कि एक वृत्त जिसका केंद्र $O$ है। वृत्त के बाहर एक बिंदु $P$ है। $PA$ और $PB$ वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो बिंदु $P$ से खींची गई हैं, जहाँ $A$ और $B$ वृत्त पर स्पर्श बिंदु हैं।

2. सिद्ध करना है $\angle OPA = \angle OPB$ (अर्थात, $OP$ रेखा स्पर्शरेखाओं $PA$ और $PB$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है)

3. रचना $OA$ और $OB$ को मिलाइए।

4. प्रमाण चूँकि $PA$ वृत्त की स्पर्श रेखा है, इसलिए $OA$ स्पर्श रेखा पर लंबवत है। इसलिए, $\angle OAP = 90^\circ$

   इसी प्रकार, चूँकि $PB$ वृत्त की स्पर्श रेखा है, इसलिए $OB$ स्पर्श रेखा पर लंबवत है। इसलिए, $\angle OBP = 90^\circ$

   अब, समकोण त्रिभुजों $\triangle OAP$ और $\triangle OBP$ में, हमारे पास है:

   $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

   $OP = OP$ (उभयनिष्ठ भुजा)

   $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$

   इसलिए, RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा, $\triangle OAP \cong \triangle OBP$

   इसलिए, सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग होने के कारण, $\angle OPA = \angle OPB$

5. निष्कर्ष इसलिए, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के बाहरी बिंदु को वृत्त के केंद्र से मिलाने वाली रेखा के साथ, स्पर्श रेखाएँ बराबर कोण बनाती हैं।