设随机变量 X ~ N(0,1)，则 E[|X|] = _____, D[|X|] = _____. （要有必要的计算过程）

Steps to Solve

1. 期望 $E[|X|]$ 的计算

   由于 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，我们可以通过积分来计算 $E[|X|]$：

   $$ E[|X|] = \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_X(x) , dx $$

   其中，$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ 是标准正态分布的概率密度函数。

   由于 $|x|$ 是偶函数，可以将此积分转换为：

   $$ E[|X|] = 2 \int_0^{\infty} x f_X(x) , dx $$

   计算公式为：

   $$ E[|X|] = 2 \int_0^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} , dx $$

2. 计算上述积分

   使用换元法，令 $u=\frac{x^2}{2}$，则 $du = x dx$，当 $x=0$ 时，$u=0$；当 $x \to \infty$ 时，$u \to \infty$。因此，

   $$ E[|X|] = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_0^{\infty} e^{-u} , du $$

   这个积分的值为 1，所以：

   $$ E[|X|] = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} $$

   $$ E[|X|] = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} $$

3. 方差 $D[|X|]$ 的计算

   方差的定义为：

   $$ D[|X|] = E[|X|^2] - (E[|X|])^2 $$

   首先，我们需要计算 $E[|X|^2]$，因为 $|X|^2 = X^2$：

   $$ E[|X|^2] = E[X^2] $$

   对于标准正态分布，

   $$ E[X^2] = 1 $$

   因此，

   $$ D[|X|] = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\right)^2 $$

   计算得：

   $$ D[|X|] = 1 - \frac{4}{2\pi} $$

   $$ D[|X|] = 1 - \frac{2}{\pi} $$