Uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de um aro circular situado em um plano vertical com raio igual a 0,100m. O aro gira com uma taxa constante de 4,0 rev/s em torno... Uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de um aro circular situado em um plano vertical com raio igual a 0,100m. O aro gira com uma taxa constante de 4,0 rev/s em torno de um diâmetro vertical. a) Ache o ângulo θ para o qual a conta está em equilíbrio vertical. (é claro que ela possui uma aceleração radial orientada para o eixo da rotação.) b) Verifique se é possível a conta subir até uma altura igual ao centro do aro. c) O que ocorreria se o aro girasse com 1,0 rev/s?
Understand the Problem
A questão descreve uma conta que pode deslizar sem atrito em um aro circular que gira em torno de um diâmetro vertical. O problema pede para encontrar o ângulo em que a conta permanece em equilíbrio vertical, verificar se a conta pode subir até o centro do aro, e determinar o que acontece se a velocidade de rotação do aro for alterada. Essencialmente, estamos analisando o equilíbrio de forças (força centrífuga, força gravitacional e força normal) atuando na conta em diferentes cenários rotacionais.
Answer
$$ \theta = \arctan\left(\frac{\omega^2 R}{g}\right) $$ A conta nunca alcança o topo do aro. Se $\omega$ aumenta, $\theta$ aumenta; se $\omega$ diminui, $\theta$ diminui.
Answer for screen readers
O ângulo de equilíbrio é dado por: $$ \theta = \arctan\left(\frac{\omega^2 R}{g}\right) $$
A conta nunca sobe até o centro do aro, pois $\theta$ se aproxima de $\frac{\pi}{2}$ (90 graus) quando $\omega$ tende ao infinito.
Se a velocidade de rotação do aro for alterada, o ângulo $\theta$ se ajustará de acordo. Se $\omega$ aumentar, $\theta$ aumenta; se $\omega$ diminuir, $\theta$ diminui.
Steps to Solve
- Definir as forças que atuam na conta
As forças que atuam na conta são:
- Força gravitacional: $mg$, atuando para baixo.
- Força normal: $N$, exercida pelo aro na conta, atuando radialmente para fora.
- Força centrífuga: $m\omega^2 r$, atuando horizontalmente para fora, onde $\omega$ é a velocidade angular e $r$ é o raio da trajetória circular da conta.
- Definir o raio da trajetória circular
Seja $\theta$ o ângulo entre a posição da conta e o topo do aro. O raio $r$ da trajetória circular da conta é dado por $r = R\sin\theta$, onde $R$ é o raio do aro.
- Escrever as equações de equilíbrio
No equilíbrio, as forças nas direções vertical e horizontal devem se anular. Podemos decompor a força normal $N$ em componentes vertical e horizontal:
- Componente vertical: $N\cos\theta$
- Componente horizontal: $N\sin\theta$
As equações de equilíbrio são:
- Vertical: $N\cos\theta = mg$
- Horizontal: $N\sin\theta = m\omega^2 r = m\omega^2 R\sin\theta$
- Resolver para o ângulo de equilíbrio $\theta$
Dividindo a equação horizontal pela equação vertical, obtemos: $$ \frac{N\sin\theta}{N\cos\theta} = \frac{m\omega^2 R\sin\theta}{mg} $$ $$ \tan\theta = \frac{\omega^2 R}{g} $$ Portanto, $$ \theta = \arctan\left(\frac{\omega^2 R}{g}\right) $$
- Analisar a condição para a conta subir até o centro do aro
Para a conta subir até o centro do aro, $\theta$ deve ser igual a 90 graus ($\pi/2$ radianos). Isso significa que $\tan\theta$ deve tender para infinito. Portanto, $$ \frac{\omega^2 R}{g} \to \infty $$ Isto só acontece se $\omega \to \infty$. Em outras palavras, a conta nunca alcançará o topo do aro, não importa quão rápido o aro esteja girando. No entanto, à medida que $\omega$ aumenta, $\theta$ se aproxima de $\pi/2$.
- Analisar o que acontece se a velocidade de rotação do aro for alterada
Se $\omega$ aumenta, $\theta$ aumenta, e a conta se move para longe do topo do aro. Se $\omega$ diminui, $\theta$ diminui, e a conta se move em direção ao topo do aro. Se $\omega^2 R < g$, então temos uma solução para $\theta$ entre 0 e $\pi/2$. Se $\omega^2 R = g$, então $\theta = \pi/4$.
O ângulo de equilíbrio é dado por: $$ \theta = \arctan\left(\frac{\omega^2 R}{g}\right) $$
A conta nunca sobe até o centro do aro, pois $\theta$ se aproxima de $\frac{\pi}{2}$ (90 graus) quando $\omega$ tende ao infinito.
Se a velocidade de rotação do aro for alterada, o ângulo $\theta$ se ajustará de acordo. Se $\omega$ aumentar, $\theta$ aumenta; se $\omega$ diminuir, $\theta$ diminui.
More Information
Este problema demonstra o equilíbrio entre a força gravitacional e a força centrífuga em um sistema rotativo. A solução para o ângulo de equilíbrio mostra como o ângulo depende da velocidade angular, do raio do aro e da aceleração devido à gravidade.
Tips
- Esquecer de decompor a força normal em componentes vertical e horizontal.
- Não perceber que o raio da trajetória circular da conta depende do ângulo $\theta$.
- Confundir a força centrífuga com uma força real, em vez de uma força fictícia que surge em um referencial não inercial.
- Errar ao isolar $\theta$ da equação $\tan\theta = \frac{\omega^2 R}{g}$.
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