Soit ABCD un parallélogramme. 1) Construire E l'image de A par la translation qui transforme B en D. 2) Construire F l'image de B par la translation qui transforme A en C. 3) Mont... Soit ABCD un parallélogramme. 1) Construire E l'image de A par la translation qui transforme B en D. 2) Construire F l'image de B par la translation qui transforme A en C. 3) Montrer que E est l'image de D par la translation qui transforme C en D. 4) Montrer que F est l'image de C par la translation qui transforme D en C. 5) En déduire que : $\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$ et $\vec{EF} = 3\vec{AB}$
Understand the Problem
Il s'agit d'un exercice de géométrie qui implique des translations dans un parallélogramme. On demande de construire des points, de démontrer des relations entre eux et d'en déduire des égalités vectorielles.
Answer
$\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$ ; $\vec{EF} = 3\vec{AB}$
Answer for screen readers
$\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$ $\vec{EF} = 3\vec{AB}$
Steps to Solve
- Construction de E
Puisque E est l'image de A par la translation qui transforme B en D, cela signifie que $\vec{BE} = \vec{BD}$. Cependant, il y a une erreur dans l'énoncé, ça devrait être $\vec{BD} = \vec{AE}$. Donc, le quadrilatère ABDE est un parallélogramme. On construit donc E tel que ABDE soit un parallélogramme. Considérant que ABCD est un parallélogramme, alors $\vec{BA} = \vec{CD}$.
- Construction de F
Puisque F est l'image de B par la translation qui transforme A en C, cela signifie que $\vec{AF} = \vec{BC}$. Cependant, il y a une erreur dans l'énoncé, ça devrait être $\vec{AC} = \vec{BF}$. Donc le quadrilatère ACFB est un parallélogramme. On construit donc F tel que ACFB soit un parallélogramme. Considérant que ABCD est un parallélogramme, alors $\vec{AB} = \vec{DC}$.
- Démonstration que E est l'image de D par la translation qui transforme C en D
On doit montrer que $\vec{CD} = \vec{DE}$. Puisque ABDE est un parallélogramme, $\vec{BA} = \vec{ED}$. Puisque ABCD est un parallélogramme, $\vec{CD} = \vec{BA}$. Donc, $\vec{CD} = \vec{ED}$, et donc $\vec{DE} = \vec{CD}$. Ainsi, E est l'image de D par la traslation de vecteur $\vec{CD}$ (translation qui transforme C en D).
- Démonstration que F est l'image de C par la translation qui transforme D en C
On doit montrer que $\vec{DC} = \vec{CF}$. Puisque ACFB est un parallélogramme, alors $\vec{BA} = \vec{CF}$. Puisque ABCD est un parallélogramme, alors $\vec{BA} = \vec{DC}$. Donc, $\vec{DC} = \vec{CF}$. Ainsi, F est l'image de C par la traslation de vecteur $\vec{DC}$ (translation qui transforme D en C).
- Déduction des égalités vectorielles
On a montré précédemment que $\vec{ED} = \vec{DC}$ et $\vec{CF} = \vec{DC}$, donc $\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$. Il faut maintenant montrer que $\vec{EF} = 3\vec{AB}$.
$\vec{EF} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF}$
Comme $\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$, alors $\vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF} = 3\vec{DC}$
$\vec{EF} = 3\vec{DC}$ Puisque ABCD est un parallélogramme, $\vec{AB} = \vec{DC}$. $\vec{EF} = 3\vec{AB}$
$\vec{ED} = \vec{DC} = \vec{CF}$ $\vec{EF} = 3\vec{AB}$
More Information
L'exercice porte sur les propriétés des parallélogrammes et des translations en géométrie vectorielle. Il illustre comment les égalités vectorielles peuvent être déduites des propriétés géométriques.
Tips
Il est courant de confondre l'ordre des vecteurs, par exemple, inverser le sens d'un vecteur, ce qui change son signe. Une autre erreur fréquente est de ne pas bien visualiser les parallélogrammes et les translations, ce qui mène à des conclusions erronées sur les égalités vectorielles.
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