Soit ABC un triangle. 1) Construire le point I tel que $\vec{AI} = 2\vec{AB}$. 2) Construire le point J tel que $\vec{AJ} = 2\vec{AC}$. 3) Montrer que : $\vec{IJ} = 2\vec{BC}$

Steps to Solve

1. Construire le point I

On doit construire le point I tel que $\vec{AI} = 2\vec{AB}$. Cela signifie que le vecteur $\vec{AI}$ a la même direction et le même sens que le vecteur $\vec{AB}$, et que sa longueur est le double de celle de $\vec{AB}$. Donc, on prolonge la ligne AB au-delà de B, et on trouve le point I tel que la distance AI soit deux fois la distance AB.

2. Construire le point J

On doit construire le point J tel que $\vec{AJ} = 2\vec{AC}$. Cela signifie que le vecteur $\vec{AJ}$ a la même direction et le même sens que le vecteur $\vec{AC}$, et que sa longueur est le double de celle de $\vec{AC}$. Donc, on prolonge la ligne AC au-delà de C, et on trouve le point J tel que la distance AJ soit deux fois la distance AC.

3. Montrer que $\vec{IJ} = 2\vec{BC}$

On peut utiliser la relation de Chasles pour exprimer $\vec{IJ}$ en fonction de $\vec{AI}$ et $\vec{AJ}$:

$\vec{IJ} = \vec{AJ} - \vec{AI}$

Nous savons que $\vec{AI} = 2\vec{AB}$ et $\vec{AJ} = 2\vec{AC}$. Substituons ces expressions dans l'équation ci-dessus:

$\vec{IJ} = 2\vec{AC} - 2\vec{AB}$

Nous pouvons factoriser 2 :

$\vec{IJ} = 2(\vec{AC} - \vec{AB})$

Encore une fois, on utilise la relation de Chasles : $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$, alors:

$\vec{IJ} = 2\vec{BC}$