Sitúa el punto P en la circunferencia de radio 1 de tal manera que el ángulo trigonométrico sea Θ = -420°. Halla el valor de senΘ, cosΘ y tanΘ.

Steps to Solve

1. Convert el ángulo a un rango estándar

El ángulo dado es $\Theta = -420°$. Para convertirlo a un rango de $0°$ a $360°$, sumamos $360°$ repetidamente hasta que el ángulo esté en el rango adecuado.

$$ -420° + 360° = -60° $$

Luego, sumamos nuevamente $360°$:

$$ -60° + 360° = 300° $$

Así, $\Theta = 300°$.

2. Determina las coordenadas del punto P

Sabemos que el punto $P$ en la circunferencia de radio 1 se puede calcular mediante las fórmulas:

$$ x = r \cdot \cos(\Theta) $$

$$ y = r \cdot \sin(\Theta) $$

Donde $r = 1$. Usamos $\Theta = 300°$:

$$ x = 1 \cdot \cos(300°) \quad \text{y} \quad y = 1 \cdot \sin(300°) $$

3. Calcula $\cos(300°)$ y $\sin(300°)$

Para calcular estos valores, recordamos que:

• $\cos(300°) = \cos(360° - 60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
• $\sin(300°) = \sin(360° - 60°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Por lo tanto, las coordenadas son:

$$ P = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $$

4. Calcula los valores de las funciones trigonométricas

Ahora podemos hallar los valores de sen, cos y tan:

• $ \sin(\Theta) = y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
• $ \cos(\Theta) = x = \frac{1}{2} $
• La tangente se calcula como:

$$ \tan(\Theta) = \frac{\sin(\Theta)}{\cos(\Theta)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} $$