सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

Steps to Solve

1. Contradiction मान लीजिये

मान लीजिये कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है। इसका मतलब है कि $\sqrt{5}$ को दो सहअभाज्य पूर्णांक संख्याओं $a$ और $b$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $b \neq 0$। $$ \sqrt{5} = \frac{a}{b} $$

2. समीकरण को सरल कीजिए

दोनों तरफ वर्ग कीजिए: $$ (\sqrt{5})^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 $$ $$ 5 = \frac{a^2}{b^2} $$ $$ 5b^2 = a^2 $$

3. $a^2$ को दर्शाएँ

समीकरण $5b^2 = a^2$ से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $a^2$, 5 से विभाज्य है।

4. $a$ को दर्शाएँ

यदि $a^2$ विभाजित होता है 5 से, तो $a$ भी 5 से विभाज्य होगा। इसलिए, हम $a$ को $5c$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $c$ एक पूर्णांक है। $$ a = 5c $$

5. प्रतिस्थापन

$a$ के मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए: $$ 5b^2 = (5c)^2 $$ $$ 5b^2 = 25c^2 $$ $$ b^2 = 5c^2 $$

6. $b^2$ को दर्शाएँ

समीकरण $b^2 = 5c^2$ से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $b^2$ भी 5 से विभाज्य है।

7. $b$ को दर्शाएँ

यदि $b^2$ विभाजित होता है 5 से, तो $b$ भी 5 से विभाज्य होगा।

8. निष्कर्ष

अब, हमने यह सिद्ध कर दिया है कि $a$ और $b$ दोनों 5 से विभाज्य हैं। इसका मतलब है कि $a$ और $b$ सहअभाज्य नहीं हैं, जो हमारी प्रारंभिक मान्यता का खंडन करता है कि $\sqrt{5}$ को दो सहअभाज्य पूर्णांक संख्याओं के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसलिए, हमारी मान्यता गलत थी, और $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।