Résoudre p(x) = 2x^2 - 7x + 3 ≤ 0

Steps to Solve

1. Écrire l'inégalité à résoudre

Nous avons l'inégalité quadratique à résoudre, qui est:

$$ 2x^2 - 7x + 3 \leq 0 $$

2. Trouver les racines de l'équation quadratique

Pour résoudre l'inégalité, nous devons d'abord trouver les racines de l'équation associée:

$$ 2x^2 - 7x + 3 = 0 $$

Nous utiliserons la formule quadratique:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Pour notre équation, $a = 2$, $b = -7$, et $c = 3$.

3. Calculer le discriminant

Calculons le discriminant:

$$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 $$

4. Trouver les racines

Puisque le discriminant est positif, il y a deux racines réelles:

$$ x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{4} = \frac{7 + 5}{4} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{4} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

5. Analyser les intervalles

Les racines divisent la ligne des réels en trois intervalles: $(-\infty, \frac{1}{2})$, $[\frac{1}{2}, 3]$, et $(3, +\infty)$. Nous devons tester un point dans chaque intervalle pour voir où l'inégalité est vraie.

• Pour $x < \frac{1}{2}$, testons $x = 0$:

$$ 2(0)^2 - 7(0) + 3 = 3 > 0 $$

• Pour $\frac{1}{2} < x < 3$, testons $x = 1$:

$$ 2(1)^2 - 7(1) + 3 = 2 - 7 + 3 = -2 < 0 $$

• Pour $x > 3$, testons $x = 4$:

$$ 2(4)^2 - 7(4) + 3 = 32 - 28 + 3 = 7 > 0 $$

6. Conclure avec l'inégalité

Nous avons trouvé que l'inégalité est vérifiée dans l'intervalle $[\frac{1}{2}, 3]$. Ainsi, la solution à l'inégalité est:

$$ x \in \left[\frac{1}{2}, 3\right] $$