Résoudre dans R les équations suivantes: a) 3x² - 7x + 4 = 0, b) -x² + 7x - 1 = 0, c) -5x² - 2x - 7 = 0, d) 2x² + 7x + 6 = 0, e) 3x² - 42x + 17 = 0, f) 3x² - 18x + 21 = 0.

Steps to Solve

1. Identifier les équations Nous devons résoudre les équations quadratiques suivantes : a) $3x^2 - 7x + 4 = 0$
   b) $-x^2 + 7x - 1 = 0$
   c) $-5x^2 - 2x - 7 = 0$
   d) $2x^2 + 7x + 6 = 0$
   e) $3x^2 - 42x + 17 = 0$
   f) $3x^2 - 18x + 21 = 0$

2. Calculer le discriminant Pour chaque équation, nous utilisons la formule du discriminant $D = b^2 - 4ac$ pour déterminer le nombre et le type de solutions.

3. Résoudre chaque équation Pour chaque équation :

• Si $D > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes données par les formules :
  $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} $$
  $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} $$
• Si $D = 0$, il y a une solution réelle unique :
  $$ x = \frac{-b}{2a} $$
• Si $D < 0$, il n'y a pas de solutions réelles.

4. Appliquer aux équations Appliquons cette méthode à chaque équation :

a) Équation : $3x^2 - 7x + 4 = 0$
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Donc, deux solutions :
$$ x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{6} = 1 $$

b) Équation : $-x^2 + 7x - 1 = 0$
$D = 7^2 - 4(-1)(-1) = 49 - 4 = 45$.
Deux solutions :
$$ x_1 = \frac{7 + \sqrt{45}}{2}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{45}}{2} $$

c) Équation : $-5x^2 - 2x - 7 = 0$
$D = (-2)^2 - 4(-5)(-7) = 4 - 140 = -136$.
Pas de solutions réelles.

d) Équation : $2x^2 + 7x + 6 = 0$
$D = 7^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1$.
Deux solutions :
$$ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{4} = -\frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{4} = -2 $$

e) Équation : $3x^2 - 42x + 17 = 0$
$D = (-42)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 17 = 1764 - 204 = 1560$.
Deux solutions :
$$ x_1 = \frac{42 + \sqrt{1560}}{6}, \quad x_2 = \frac{42 - \sqrt{1560}}{6} $$

f) Équation : $3x^2 - 18x + 21 = 0$
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 21 = 324 - 252 = 72$.
Deux solutions :
$$ x_1 = \frac{18 + \sqrt{72}}{6}, \quad x_2 = \frac{18 - \sqrt{72}}{6} $$