Resolver los ejercicios de matemáticas que involucran números complejos, ecuaciones algebraicas y propiedades de conjugados.

Steps to Solve

1. Determinar si la igualdad 1 es verdadera o falsa

Debemos evaluar ambos lados de la ecuación: $|(6+3i) + (4+2i)| = |6+3i| + |4+2i|$. Primero, simplificamos el lado izquierdo:

$|(6+3i) + (4+2i)| = |10 + 5i| = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

Ahora, simplificamos el lado derecho:

$|6+3i| + |4+2i| = \sqrt{6^2 + 3^2} + \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9} + \sqrt{16 + 4} = \sqrt{45} + \sqrt{20} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ En este caso, la igualdad es verdadera.

2. Determinar si la igualdad 2 es verdadera o falsa

Debemos evaluar ambos lados de la ecuación: $|3-2i| - |3+2i| = 4i$. Primero, simplificamos el lado izquierdo:

$|3-2i| - |3+2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} - \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} - \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} - \sqrt{13} = 0$

El lado derecho es $4i$. Como $0 \neq 4i$, la igualdad es falsa.

3. Determinar si la igualdad 3 es verdadera o falsa

Debemos evaluar ambos lados de la desigualdad: $|3-2i| < |3+2i|$. Calculamos las magnitudes:

$|3-2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

$|3+2i| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Como $\sqrt{13} \nless \sqrt{13}$, la igualdad es falsa.

4. Determinar si la igualdad 4 es verdadera o falsa

Debemos evaluar ambos lados de la ecuación: $|(3 – 2i)(3 + 2i)| = |3-2i||3 +2i|$. Calculamos el lado izquierdo:

$|(3 - 2i)(3 + 2i)| = |9 - (2i)^2| = |9 - (-4)| = |9 + 4| = |13| = 13$

Ahora, calculamos el lado derecho:

$|3-2i||3+2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = 13$

Como ambos lados son iguales, la igualdad es verdadera.

5. Demostrar la propiedad a del conjugado

Queremos demostrar $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$. Sean $z = a + bi$ y $w = c + di$. Entonces, $z \cdot w = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$. $\overline{z \cdot w} = (ac - bd) - (ad + bc)i$. Por otro lado, $\overline{z} = a - bi$ y $\overline{w} = c - di$, entonces $\overline{z} \cdot \overline{w} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - (ad + bc)i$. Por lo tanto, $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$.

6. Demostrar la propiedad b del conjugado

Queremos demostrar que $\overline{z} = z$ si y sólo si $z$ es real. Sea $z = a + bi$. Entonces $\overline{z} = a - bi$. Si $\overline{z} = z$, entonces $a - bi = a + bi$, lo que implica $-bi = bi$, entonces $2bi = 0$, entonces $b = 0$. Por lo tanto, $z = a$, que es real. Si $z$ es real, entonces $z = a$, lo que implica que $b = 0$. Entonces $\overline{z} = a - 0i = a = z$. Por lo tanto, $\overline{z} = z$ si, y sólo si $z$ es real.

7. Determinar los valores de $x$ e $y$ para la igualdad a

Queremos resolver $(5-2i)-7 = x - (3 + yi)$. Simplificamos el lado izquierdo:

$(5-2i) - 7 = -2 - 2i$ Entonces, $-2 - 2i = x - 3 - yi$. Separamos las partes reales e imaginarias: $-2 = x - 3 \implies x = 1$ $-2 = -y \implies y = 2$ Por lo tanto, $x = 1$ e $y = 2$.

8. Determinar los valores de $x$ e $y$ para la igualdad b

Queremos resolver $-6 + (3x + y)i = 3x + 7yi$. Separamos las partes reales e imaginarias:

$-6 = 3x \implies x = -2$ $3x + y = 7y \implies 3x = 6y \implies x = 2y$ Como $x = -2$, entonces $-2 = 2y \implies y = -1$. Por lo tanto, $x = -2$ e $y = -1$.

9. Resolver la ecuación a

Queremos resolver $\frac{1}{2x-1} = \frac{4}{8x-4}$. Notamos que $8x - 4 = 4(2x - 1)$, entonces la ecuación es $\frac{1}{2x-1} = \frac{4}{4(2x-1)} = \frac{1}{2x-1}$ Esta ecuación es verdadera para todo $x$ excepto cuando $2x - 1 = 0$, lo que implica $x = \frac{1}{2}$. Por lo tanto, la ecuación es verdadera para todo $x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{1}{2}$.

10. Resolver la ecuación b

Queremos resolver $\sqrt{2x} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{8x}$. Reescribimos $\sqrt{8x} = \sqrt{4 \cdot 2x} = 2\sqrt{2x}$. Entonces, $\sqrt{2x} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2x}$. $-\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2x} \implies$ No tiene solución real pues $\sqrt{2x}$ sólo puede ser positivo o cero.

11. Resolver la ecuación c

Queremos resolver $\frac{3}{2x+3} + \frac{5}{2x-3} = \frac{4x+6}{4x^2-9}$. Notamos que $4x^2 - 9 = (2x+3)(2x-3)$, entonces $\frac{3(2x-3) + 5(2x+3)}{(2x+3)(2x-3)} = \frac{4x+6}{(2x+3)(2x-3)} \implies 3(2x-3) + 5(2x+3) = 4x+6$ $6x - 9 + 10x + 15 = 4x + 6 \implies 16x + 6 = 4x + 6 \implies 12x = 0 \implies x = 0$ Comprobamos $x=0$: $\frac{3}{3} + \frac{5}{-3} = \frac{6}{-9} \implies 1 - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3} \implies -\frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$ Por lo tanto, $x = 0$ es la solución.

12. Resolver la ecuación d

Queremos resolver $\sqrt{10 + 3\sqrt{t}} = \sqrt{t}$. Elevamos al cuadrado ambos lados: $10 + 3\sqrt{t} = t \implies 3\sqrt{t} = t - 10$. Elevamos al cuadrado nuevamente: $9t = (t-10)^2 = t^2 - 20t + 100 \implies 0 = t^2 - 29t + 100$ Usamos la fórmula cuadrática: $t = \frac{-(-29) \pm \sqrt{(-29)^2 - 4(1)(100)}}{2(1)} = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 400}}{2} = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{29 \pm 21}{2}$ $t_1 = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$ $t_2 = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$ Comprobamos $t = 25$: $\sqrt{10 + 3\sqrt{25}} = \sqrt{10 + 3(5)} = \sqrt{25} = 5 = \sqrt{25}$. Entonces, $t=25$ es una solución. Comprobamos $t = 4$: $\sqrt{10 + 3\sqrt{4}} = \sqrt{10 + 3(2)} = \sqrt{16} = 4 = \sqrt{4}$. Entonces, $t=4$ es una solución. Por lo tanto, $t = 4$ y $t = 25$ son soluciones.

13. Resolver la ecuación e

Queremos resolver $3x^{\frac{2}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$. Sea $u = x^{\frac{1}{3}}$. Entonces la ecuación es $3u^2 + 4u - 4 = 0$. $u = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-4 \pm 8}{6}$ $u_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $u_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$ Como $u = x^{\frac{1}{3}}$, entonces $x = u^3$. $x_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ $x_2 = (-2)^3 = -8$ Por lo tanto, $x = \frac{8}{27}$ y $x = -8$ son soluciones.