Решить уравнения: а) √(x-5) = √(4+x); б) √(x-7) = x + 21; в) √(x-√x) = 2.
Understand the Problem
Вопрос касается домашнего задания по алгебре, состоящего из решения уравнений из учебника и выполнения отдельных заданий.
Answer
Уравнение (а) - нет решений, уравнение (б) - нет решений, уравнение (в) - $x = \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)^2$.
Answer for screen readers
Для уравнения (а) нет решений.
Для уравнения (б) нет решений.
Для уравнения (в): $$ x = \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)^2 \text{ и } x = \left(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right)^2 $$
Где только положительные корни действительные.
Steps to Solve
- Решение уравнения (а)
Первое уравнение: $$ \sqrt{x - 5} = \sqrt{4 + x} $$
Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны в квадрат: $$ x - 5 = 4 + x $$
Упростим: $$ x - x = 4 + 5 $$ $$ 0 = 9 $$
Это уравнение не имеет решений, потому что это неверное равенство.
- Решение уравнения (б)
Второе уравнение: $$ \sqrt{x - 7} = x + 21 $$
Возведем обе стороны в квадрат: $$ x - 7 = (x + 21)^2 $$
Раскроем скобки: $$ x - 7 = x^2 + 42x + 441 $$
Переносим все в одну сторону: $$ 0 = x^2 + 41x + 448 $$
Теперь решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = 41^2 - 4 \cdot 1 \cdot 448 $$ $$ D = 1681 - 1792 = -111 $$
Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных решений.
- Решение уравнения (в)
Третье уравнение: $$ \sqrt{x - \sqrt{x}} = 2 $$
Возведем обе стороны в квадрат: $$ x - \sqrt{x} = 4 $$
Переносим все в одну сторону: $$ x - 4 - \sqrt{x} = 0 $$
Обозначим $y = \sqrt{x}$, тогда: $$ y^2 - y - 4 = 0 $$
Решаем это квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 $$
Находим корни: $$ y = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} $$
Теперь найдем $x$: $$ x = y^2 $$
Подставляем найденные значения $y$.
Для уравнения (а) нет решений.
Для уравнения (б) нет решений.
Для уравнения (в): $$ x = \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)^2 \text{ и } x = \left(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right)^2 $$
Где только положительные корни действительные.
More Information
Уравнения с квадратными корнями могут иметь решения только в том случае, если они соответствуют действительным значениям. Важно проверять дискриминант при решении квадратных уравнений, чтобы определить наличие действительных корней.
Tips
- Пропускать проверку уравнений после возведения в квадрат может привести к ошибкам.
- Игнорировать ситуации, когда дискриминант отрицательный и, следовательно, решение невозможно.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
