Qual è l'intervallo di convergenza per la serie ∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> n!2<sup>n</sup> x<sup>n</sup>?
Understand the Problem
La domanda chiede di determinare l'intervallo di convergenza per la serie ∑ n!2^n x^n. Per risolvere questo problema, useremo il criterio di rapporto per verificare se la serie converge in un certo intervallo per il valore di x.
Answer
L'intervallo di convergenza è \( \{ 0 \} \).
Answer for screen readers
L'intervallo di convergenza per la serie ( \sum n!2^n x^n ) è ( { 0 } ).
Steps to Solve
- Applicare il criterio di rapporto
Dobbiamo calcolare il limite del rapporto della serie. Consideriamo la serie ( a_n = n!2^n x^n ). Calcoliamo il limite:
$$ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $$
- Calcolare il termine successivo
Lezione del termine successivo:
$$ a_{n+1} = (n+1)! 2^{n+1} x^{n+1} $$
- Calcolare il rapporto
Ora calcoliamo il rapporto:
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! 2^{n+1} x^{n+1}}{n! 2^n x^n} $$
Semplifichiamo il rapporto:
$$ = \frac{(n+1) 2 x}{1} = (n+1) 2 x $$
- Calcolare il limite
Ora calcoliamo il limite:
$$ L = \lim_{n \to \infty} |(n+1) 2 x| $$
Questo limite diverge a meno che ( x = 0). Pertanto, la serie converge solo per ( x = 0 ).
- Scrivere l'intervallo di convergenza
Dopo aver calcolato il limite, possiamo concludere che l'unico punto di convergenza è ( x = 0 ). L'intervallo di convergenza è quindi ( { 0 } ).
L'intervallo di convergenza per la serie ( \sum n!2^n x^n ) è ( { 0 } ).
More Information
La serie è un esempio in cui la crescita dei termini ( n! ) e ( 2^n ) produce una divergenza, ad eccezione del caso in cui ( x = 0 ). Questo illustra l'importanza dei fattori esplosivi nella serie e come questi influenzino la convergenza.
Tips
- Non semplificare correttamente il rapporto: A volte si dimentica di semplificare correttamente quando si calcola il rapporto tra i termini. Assicurarsi di semplificare ogni fattore dai numeratori e denominatori.
- Non considerare il limite: È importante calcolare correttamente il limite finale e interpretarlo in base al criterio di convergenza.
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