निम्न आंकड़ों से μ1, μ2 एवं μ3 ज्ञात करें। x = [8, 9, 10, 11, 12]

Steps to Solve

1. माध्य ($\mu_1$) की गणना

माध्य ($\mu_1$) सभी अवलोकनों के योग को अवलोकनों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है। दिए गए आंकड़ों के लिए, हम इसे इस प्रकार ज्ञात करते हैं:

$$ \mu_1 = \frac{8 + 9 + 10 + 11 + 12}{5} $$

2. माध्य की गणना

उपरोक्त समीकरण को हल करने पर, हमें माध्य प्राप्त होता है:

$$ \mu_1 = \frac{50}{5} = 10 $$

3. विचरण ($\mu_2$) की गणना

विचरण ($\mu_2$) प्रत्येक अवलोकन और माध्य के बीच के अंतर के वर्गों के योग को अवलोकनों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है। यह आंकड़ों के फैलाव को मापता है।

$$ \mu_2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu_1)^2}{n} $$

4. विचरण की गणना

दिए गए आंकड़ों और माध्य $\mu_1 = 10$ के लिए, विचरण इस प्रकार होगा:

$$ \mu_2 = \frac{(8-10)^2 + (9-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (12-10)^2}{5} $$

$$ \mu_2 = \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2}{5} $$

$$ \mu_2 = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2 $$

5. तीसरे केंद्रीय आघूर्ण ($\mu_3$) की गणना

तीसरा केंद्रीय आघूर्ण ($\mu_3$) विचरण के घनमूल की औसत है। यह विषमता (skewness) को मापता है, यानी वितरण की समरूपता की कमी को।

$$ \mu_3 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu_1)^3}{n} $$

6. तीसरे केंद्रीय आघूर्ण की गणना

दिए गए आंकड़ों और माध्य $\mu_1 = 10$ के लिए, तीसरा केंद्रीय आघूर्ण इस प्रकार होगा:

$$ \mu_3 = \frac{(8-10)^3 + (9-10)^3 + (10-10)^3 + (11-10)^3 + (12-10)^3}{5} $$

$$ \mu_3 = \frac{(-2)^3 + (-1)^3 + (0)^3 + (1)^3 + (2)^3}{5} $$

$$ \mu_3 = \frac{-8 - 1 + 0 + 1 + 8}{5} = \frac{0}{5} = 0 $$