Løs ligningene: a) sinx=1/2, x∈[0,2π) b) 2cos(2x)=√2, x∈[0°,180°) c) √3 tanx-3=0, x∈R d) 2sin²x+5sinx=3, x∈[-180°,180°)

Steps to Solve

1. Løsning av a) ( \sin x = \frac{1}{2} )

Vi vet at ( \sin x = \frac{1}{2} ) har løsninger ved ( x = \frac{\pi}{6} ) og ( x = \frac{5\pi}{6} ) innenfor intervallet ( [0, 2\pi] ).

2. Løsning av b) ( 2\cos(2x) = \sqrt{2} )

Først deler vi begge sider med 2: $$ \cos(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Dette gir oss løsninger ( 2x = \frac{\pi}{4} ) og ( 2x = \frac{7\pi}{4} ). Deretter deler vi med 2 for å finne ( x ): $$ x = \frac{\pi}{8} \quad \text{og} \quad x = \frac{7\pi}{8} $$

3. Løsning av c) ( \sqrt{3}\tan x - 3 = 0 )

Vi begynner med å isolere tan: $$ \sqrt{3}\tan x = 3 $$ Så deler vi begge sider med ( \sqrt{3} ): $$ \tan x = \sqrt{3} $$ Dette gir løsninger ( x = \frac{\pi}{3} + n\pi ) for ( n \in \mathbb{Z} ).

4. Løsning av d) ( 2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0 )

Dette er en kvadratisk ligning i ( \sin x ). La ( y = \sin x ): $$ 2y^2 + 5y - 3 = 0 $$ Bruker kvadratisk formel: $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Her er ( a = 2, b = 5, c = -3 ): $$ y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} $$ Dette gir oss ( y = \frac{1}{2} ) og ( y = -3 ) (ignoreres da ( \sin x ) må være mellom -1 og 1). Da har vi ( \sin x = \frac{1}{2} ).

5. Finne ( x )

Fra tidligere punkt vet vi at ( \sin x = \frac{1}{2} ) gir ( x = \frac{\pi}{6} ) og ( x = \frac{5\pi}{6} ).