Көпайнымалы функцияның экстремумдарын анықтау үшін қандай әдістер қолданылмайды?

Steps to Solve

1. Градиент есептеу Градиент векторын анықтау үшін функцияның барлық айнымалылар бойынша бірінші туындысын есептеу қажет. Функция $f(x, y)$ үшін градиент векторы келесідей болады: $$ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $$

2. Экстремумдарды табу Экстремумдар (максимум немесе минимум) табу үшін градиент векторы нөлге тең болуы қажет: $$ \nabla f(x, y) = 0 $$

Бұл теңдеу шешіледі, және оның нәтижелері функцияның мүмкін экстремум координаттарын береді.

3. Гессиан матрицасын есептеу Гессиан матрицасын есептеу – екінші туындыларды пайдаланып, функцияның экстремумдарының типін анықтау. Гессиан матрицасы $H$ мынадай болады: $$ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix} $$

4. Гессианның детерминантын есептеу Гессиан матрицасының детерминантына $D$ деп белгілесек: $$ D = \text{det}(H) $$ Егер $D > 0$ және $H_{11} > 0$ болса, онда функцияда локалды минимум бар; егер $D > 0$ және $H_{11} < 0$ болса, локалды максимум бар; егер $D < 0$ болса, функцияның экстремумы табылады.

5. Лагранж көбейткіштерін қолданып шектеулерді ескеру Егер функция шектеулі болса, онда Лагранж көбейткіштерін қолданамыз: $$ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) $$ мұндағы $g(x,y)$ - шектеу функциясы. Градиент $ \nabla \mathcal{L} = 0 $ теңестігімен шешіледі.

6. Ньютон әдісін қолдану Ньютон әдісі – градиент және Гессиан матрицасын пайдалана отырып функцияның мінсіз нүктелерін табу процесі. Қадамдар: $$ x_{n+1} = x_n - H^{-1} \nabla f(x_n) $$