Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, jehož obsah je o 40 % větší než obsah původního čtverce. Určete délku... Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a sousední stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, jehož obsah je o 40 % větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany. Read more

Steps to Solve

1. Definice proměnné pro stranu čtverce

Označme délku strany původního čtverce jako $a$.

2. Výpočet obsahu čtverce

Obsah původního čtverce se vypočítá jako: $$ S_{\text{čtverec}} = a^2 $$

3. Výpočet rozměrů obdélníku

Jedna strana obdélníku bude zvětšena o 20 cm: $$ a + 20 $$

Druhá strana obdélníku bude zmenšena o 6 cm: $$ a - 6 $$

4. Výpočet obsahu obdélníku

Obsah obdélníku se vypočítá jako: $$ S_{\text{obdélník}} = (a + 20)(a - 6) $$

5. Stanovení vztahu mezi obsahy

Podle zadání je obsah obdélníku o 40 % větší než obsah čtverce: $$ S_{\text{obdélník}} = 1.4 \cdot S_{\text{čtverec}} $$

6. Dosazení a úprava rovnice

Dosadíme výrazy pro obsahy do rovnice: $$(a + 20)(a - 6) = 1.4 \cdot a^2 $$

7. Roznásobení rovnice

Rozebereme levou stranu: $$ a^2 - 6a + 20a - 120 = 1.4a^2 $$ $$ a^2 + 14a - 120 = 1.4a^2 $$

8. Úprava rovnice do standardního tvaru

Přesuneme všechny členy na jednu stranu rovnice: $$ 0 = 1.4a^2 - a^2 - 14a + 120 $$ $$ 0 = 0.4a^2 - 14a + 120 $$

9. Vyřešení kvadratické rovnice

Vydělit celou rovnici 0.4: $$ 0 = a^2 - 35a + 300 $$

Použijeme kvadratickou formuli $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, kde $a = 1$, $b = -35$, $c = 300$.

10. Výpočet diskriminantu

Nejprve spočítáme diskriminant: $$ D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1225 - 1200 = 25 $$

11. Výpočet délky strany čtverce

Dosadíme do kvadratické rovnice: $$ a = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} $$ $$ a = \frac{35 \pm 5}{2} $$

Dostaneme dvě řešení: $$ a_1 = \frac{40}{2} = 20 $$ $$ a_2 = \frac{30}{2} = 15 $$

Z těchto hodnot zvolíme $a = 20$ (délka strany čtverce musí být kladná).