Giải các bài tập về nguyên hàm và tích phân được cung cấp trong hình.

Steps to Solve

Câu 1:

1. Tìm đạo hàm của $sin x + C$

Ta có $\int f(x) dx = \sin x + C$. Để tìm $f(x)$, ta lấy đạo hàm của $\sin x + C$ theo $x$: $$f(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x$$ Vậy, $f(x) = \cos x$.

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là A.

Câu 2:

1. Tìm đạo hàm của $-cos x + C$

Ta có $\int f(x) dx = -\cos x + C$. Để tìm $f(x)$, ta lấy đạo hàm của $-\cos x + C$ theo $x$: $$f(x) = \frac{d}{dx}(-\cos x + C) = \sin x$$ Vậy, $f(x) = \sin x$.

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là D.

Câu 3:

1. Tìm nguyên hàm của $2x + 7$

Ta cần tìm $\int (2x + 7) dx$. Sử dụng quy tắc tính nguyên hàm: $$\int (2x + 7) dx = \int 2x dx + \int 7 dx = 2 \int x dx + 7 \int dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = x^2 + 7x + C$$ Vậy, họ nguyên hàm của $f(x) = 2x + 7$ là $x^2 + 7x + C$.

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là A.

Câu 4:

1. Tìm nguyên hàm của $2x + 5$

Ta cần tìm $\int (2x + 5) dx$. Sử dụng quy tắc tính nguyên hàm: $$\int (2x + 5) dx = \int 2x dx + \int 5 dx = 2 \int x dx + 5 \int dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^2 + 5x + C$$ Vậy, họ nguyên hàm của $f(x) = 2x + 5$ là $x^2 + 5x + C$.

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là D.

Câu 5:

1. Kiểm tra các khẳng định

A. $\int \sin x dx = -\cos x + C$, vậy A sai. B. $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$, vậy B sai. C. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, vậy C sai. D. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$, vậy D đúng.

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là D.

Câu 6:

1. Tìm nguyên hàm tổng quát của $f(x) = x + 3$

Ta có $\int (x + 3) dx = \frac{x^2}{2} + 3x + C$. Kiểm tra các đáp án: A. $F(x) = x^2 + 3x$. Đạo hàm là $F'(x) = 2x + 3 \neq x + 3$. Vậy A không là nguyên hàm. B. $F(x) = \frac{1}{2}(x + 3)^2 = \frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9) = \frac{x^2}{2} + 3x + \frac{9}{2}$. Đạo hàm là $F'(x) = x + 3$. C. $F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x - 1$. Đạo hàm là $F'(x) = x + 3$. D. $F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x + 1$. Đạo hàm là $F'(x) = x + 3$.

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là A.

Câu 7:

1. Tìm nguyên hàm của $f(x) = 2e^x + 1$

Ta có $\int (2e^x + 1) dx = 2e^x + x + C$. Vậy $F(x) = 2e^x + x + C$.

2. Tìm C dựa vào điều kiện $F(0) = 3$

$F(0) = 2e^0 + 0 + C = 2 + C = 3 \Rightarrow C = 1$. Vậy $F(x) = 2e^x + x + 1$.

3. Chọn đáp án

Đáp án đúng là A.

Câu 8:

1. Sử dụng định lý cơ bản của giải tích

Ta có $\int_{-1}^{5} f(x) dx = F(5) - F(-1)$. Theo đề bài, $\int_{-1}^{5} f(x) dx = -7$ và $F(-1) = 6$.

Vậy $F(5) - 6 = -7 \Rightarrow F(5) = -1$.

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là A.

Câu 9:

1. Tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x + e^x$

Ta có $\int (2x + e^x) dx = x^2 + e^x + C$. Vậy $F(x) = x^2 + e^x + C$.

2. Tìm C dựa vào điều kiện $F(0) = 2024$

$F(0) = 0^2 + e^0 + C = 1 + C = 2024 \Rightarrow C = 2023$. Vậy $F(x) = x^2 + e^x + 2023$.

3. Tính $F(1)$

$F(1) = 1^2 + e^1 + 2023 = 1 + e + 2023 = e + 2024$.

4. Chọn đáp án

Đáp án đúng là C.

Câu 10:

1. Sử dụng định lý cơ bản của giải tích

Ta có $\int_{1}^{3} f'(x) dx = f(3) - f(1)$. Theo đề bài, $f(1) = 2$ và $f(3) = 4$. Vậy $I = 4 - 2 = 2$.

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là A.

Câu 11:

1. Tính tích phân

Ta có: $$ \int_{1}^{4} [7f(x) - 8]dx = 7\int_{1}^{4} f(x)dx - \int_{1}^{4} 8 dx = 7(13) - 8(4-1) = 91 - 8(3) = 91 - 24 = 67 $$

2. Chọn đáp án

Đáp án đúng là C.