Faire la synthèse d’une loi de commande par : 1.1. Linéarisation exacte et découplage entrée/sortie. 1.2 Backstepping. 2. Donner l’architecture de la commande en boucle fermée. Faire la synthèse d’une loi de commande par : 1.1. Linéarisation exacte et découplage entrée/sortie. 1.2 Backstepping. 2. Donner l’architecture de la commande en boucle fermée. Read more

Steps to Solve

1. Linéarisation du système

Pour linéariser le système de Van der Pol, on doit évaluer les fonctions autour d'un point d'équilibre, typiquement à l'origine ( (0,0) ). On obtient donc les équations linéarisées.

Les équations linéarisées sont : $$ \dot{x_1} = x_2 $$ $$ \dot{x_2} = -x_1 + u $$

2. Détermination de la loi de commande par découplage entrée/sortie

Pour réaliser le découplage, on établit une loi de commande ( u ) en se basant sur les équations linéarisées. On peut formuler une loi de retour d'état comme suit : $$ u = x_1 + k_1 x_1 + k_2 x_2 $$ où ( k_1 ) et ( k_2 ) sont des gains à déterminer pour assurer la stabilité.

3. Backstepping

Dans l'approche de backstepping, nous considérons ( x_1 ) comme l'état à contrôler. On définira une fonction de Lyapunov ( V ) pour évaluer la stabilité :

$$ V = \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 $$

Nous dérivons ( V ) et le rendons négatif pour garantir la stabilité. Cela mène à définir ( u ) comme une fonction de retour d'état qui maintient ( V ) décroissant.

4. Détermination de l'architecture de la commande en boucle fermée

En utilisant les résultats ci-dessus, l'architecture de la commande en boucle fermée pourrait être formulée comme : $$ u = -k_1 x_1 - k_2 x_2 $$ où ( k_1 ) et ( k_2 ) sont choisis pour garantir que le système converge à l'équilibre.