Factorizar o descomponer en dos factores: 1. a²-2ab+b² 2. a² + 2ab + b² 3. x²-2x+1 4. y⁴ + 1 + 2y² 5. a² - 10a + 25 6. 9-6x+x² 7. 16 + 40x² + 25x⁴ 8. 1 +49a²-14a 9. 36 +12m² + m⁴ 1... Factorizar o descomponer en dos factores: 1. a²-2ab+b² 2. a² + 2ab + b² 3. x²-2x+1 4. y⁴ + 1 + 2y² 5. a² - 10a + 25 6. 9-6x+x² 7. 16 + 40x² + 25x⁴ 8. 1 +49a²-14a 9. 36 +12m² + m⁴ 10. 1-2a³ + a⁶ 11. a⁸ + 18a⁴ + 81 12. a⁶-2a³b³ + b⁶ 13. 4x² - 12xy + 9y² 14. 9b²-30a²b+ 25a⁴ 15. 1 + 14x²y + 49x⁴y² 16. 1+a¹⁰-2a⁵ 17. 49m⁶-70am³n²+25a²n⁴ 18. 100x¹⁰ - 60a⁴x⁵y⁶+9a⁸y¹² 19. 121 + 198x⁶ + 81x¹² 20. a² - 24am²x² + 144m⁴x⁴ 21. 16-104x² + 169x⁴ 22. 400x¹⁰ + 40x⁵ + 1 23. a²/4 -ab+b² 24. 1+2b/3+b²/9 25. a⁴-a²b²+b⁴/4 26. 1/25 + 25x⁴/36 - x²/3 27. 16x⁶ -2x³y²+y⁴/16 28. n²/9+2mn+9m² 29. a² + 2a(a + b) + (a+b)² 30. 4-4(1-a) + (1-a)² 31. 4m² - 4m(n-m) + (n – m)² 32. (m-n)² + 6(m-n) +9 33. (a + x)² - 2(a+x)(x + y) + (x + y)² 34. (m+n)² - 2(a-m)(m+n) + (a-m)² 35. 4(1 + a)² - 4(1 + a) (b-1) + (b-1)² 36. 9(x - y)² + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)²

Understand the Problem

El problema presenta una serie de expresiones algebraicas que deben ser factorizadas o descompuestas en dos factores. Específicamente, se busca encontrar dos expresiones que, al multiplicarse entre sí, resulten en la expresión original. Esto implica identificar patrones como diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos, o aplicar técnicas de factorización por agrupación u otros métodos algebraicos.

Answer

1. $(a-b)^2$ 2. $(a+b)^2$ 3. $(x-1)^2$ 4. $(y^2+1)^2$ 5. $(a-5)^2$ 6. $(x-3)^2$ 7. $(5x^2+4)^2$ 8. $(7a-1)^2$ 9. $(m^2+6)^2$ 10. $(a^3-1)^2$ 11. $(a^4+9)^2$ 12. $(a^3-b^3)^2$ 13. $(2x-3y)^2$ 14. $(3b-5a^2)^2$ 15. $(1+7x^2y)^2$ 16. $(1-a^5)^2$ 17. $(7m^3-5an^2)^2$ 18. $(10x^5-3a^4y^6)^2$ 19. $(11+9x^6)^2$ 20. $(a-12m^2x^2)^2$ 21. $(4-13x^2)^2$ 22. $(20x^5+1)^2$ 23. $(\frac{a}{2}-b)^2$ 24. $(1+\frac{b}{3})^2$ 25. $(a^2-\frac{b^2}{2})^2$ 26. $(\frac{1}{5}-\frac{5x^2}{6})^2$ 27. $(4x^3-\frac{y^2}{4})^2$ 28. $(\frac{n}{3}+3m)^2$ 29. $(2a+b)^2$ 30. $(1+a)^2$ 31. $(3m-n)^2$ 32. $(m-n+3)^2$ 33. $(a-y)^2$ 34. $(2m+n-a)^2$ 35. $(3+2a-b)^2$ 36. $(5x-y)^2$

Steps to Solve

Factorizar $a^2 - 2ab + b^2$

Esta es la forma de un trinomio cuadrado perfecto. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 = (a-b)(a-b)$

Factorizar $a^2 + 2ab + b^2$

Esta es la forma de un trinomio cuadrado perfecto. $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 = (a+b)(a+b)$

Factorizar $x^2 - 2x + 1$

Esta es la forma de un trinomio cuadrado perfecto. $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = (x-1)(x-1)$

Factorizar $y^4 + 1 + 2y^2$

Reordenando los términos: $y^4 + 2y^2 + 1 = (y^2 + 1)^2 = (y^2+1)(y^2+1)$

Factorizar $a^2 - 10a + 25$

Esta es la forma de un trinomio cuadrado perfecto. $a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2 = (a-5)(a-5)$

Factorizar $9 - 6x + x^2$

Reordenando los términos: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = (x-3)(x-3)$

Factorizar $16 + 40x^2 + 25x^4$

Reordenando los términos: $25x^4 + 40x^2 + 16 = (5x^2 + 4)^2 = (5x^2+4)(5x^2+4)$

Factorizar $1 + 49a^2 - 14a$

Reordenando los términos: $49a^2 - 14a + 1 = (7a - 1)^2 = (7a-1)(7a-1)$

Factorizar $36 + 12m^2 + m^4$

Reordenando los términos: $m^4 + 12m^2 + 36 = (m^2 + 6)^2 = (m^2+6)(m^2+6)$

Factorizar $1 - 2a^3 + a^6$

Reordenando los términos: $a^6 - 2a^3 + 1 = (a^3 - 1)^ = (a^3 - 1)(a^3 - 1)$

Factorizar $a^8 + 18a^4 + 81$

$a^8 + 18a^4 + 81 = (a^4 + 9)^2 = (a^4+9)(a^4+9)$

Factorizar $a^6 - 2a^3b^3 + b^6$

$(a^3 - b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 - b^3)$

Factorizar $4x^2 - 12xy + 9y^2$

$(2x - 3y)^2 = (2x - 3y)(2x - 3y)$

Factorizar $9b^2 - 30a^2b + 25a^4$

$(3b - 5a^2)^2 = (3b - 5a^2)(3b - 5a^2)$

Factorizar $1 + 14x^2y + 49x^4y^2$

$(1 + 7x^2y)^2 = (1 + 7x^2y)(1 + 7x^2y)$

Factorizar $1 + a^{10} - 2a^5$

$(1 - a^5)^2 = (1 - a^5)(1 - a^5)$

Factorizar $49m^6 - 70am^3n^2 + 25a^2n^4$

$(7m^3 - 5an^2)^2 = (7m^3 - 5an^2)(7m^3 - 5an^2)$

Factorizar $100x^{10} - 60a^4x^5y^6 + 9a^8y^{12}$

$(10x^5 - 3a^4y^6)^2 = (10x^5 - 3a^4y^6)(10x^5 - 3a^4y^6)$

Factorizar $121 + 198x^6 + 81x^{12}$

$(11 + 9x^6)^2 = (11 + 9x^6)(11 + 9x^6)$

Factorizar $a^2 - 24am^2x^2 + 144m^4x^4$

$(a - 12m^2x^2)^2 = (a - 12m^2x^2)(a - 12m^2x^2)$

Factorizar $16 - 104x^2 + 169x^4$

$(4 - 13x^2)^2 = (4 - 13x^2)(4 - 13x^2)$

Factorizar $400x^{10} + 40x^5 + 1$

$(20x^5 + 1)^2 = (20x^5 + 1)(20x^5 + 1)$

Factorizar $\frac{a^2}{4} -ab+b^2$

$(\frac{a}{2} - b)^2 = (\frac{a}{2} - b)(\frac{a}{2} - b)$

Factorizar $1+\frac{2b}{3} + \frac{b^2}{9}$

$(1 + \frac{b}{3})^2 = (1 + \frac{b}{3})(1 + \frac{b}{3})$

Factorizar $a^4-a^2b^2+\frac{b^4}{4}$

$(a^2 - \frac{b^2}{2})^2 = (a^2 - \frac{b^2}{2})(a^2 - \frac{b^2}{2})$

Factorizar $\frac{1}{25} + \frac{25x^4}{36} - \frac{x^2}{3}$

$(\frac{1}{5} - \frac{5x^2}{6})^2 = (\frac{1}{5} - \frac{5x^2}{6})(\frac{1}{5} - \frac{5x^2}{6})$

Factorizar $16x^6 -2x^3y^2+\frac{y^4}{16}$

$(4x^3 - \frac{y^2}{4})^2 = (4x^3 - \frac{y^2}{4})(4x^3 - \frac{y^2}{4})$

Factorizar $\frac{n^2}{9}+2mn+9m^2$

$(\frac{n}{3} + 3m)^2 = (\frac{n}{3} + 3m)(\frac{n}{3} + 3m)$

Factorizar $a^2 + 2a(a + b) + (a+b)^2$

$(a + (a + b))^2 = (2a + b)^2 = (2a + b)(2a + b)$

Factorizar $4-4(1-a) + (1-a)^2$

$(2 - (1 - a))^2 = (1 + a)^2 = (1 + a)(1 + a)$

Factorizar $4m^2 - 4m(n-m) + (n – m)^2$

$(2m - (n - m))^2 = (3m - n)^2 = (3m - n)(3m - n)$

Factorizar $(m-n)^2 + 6(m-n) +9$

$((m - n) + 3)^2 = (m - n + 3)^2 = (m - n + 3)(m - n + 3)$

Factorizar $(a + x)^2 - 2(a+x)(x + y) + (x + y)^2$

$((a + x) - (x + y))^2 = (a - y)^2 = (a - y)(a - y)$

Factorizar $(m+n)^2 - 2(a-m)(m+n) + (a-m)^2$

$((m + n) - (a - m))^2 = (2m + n - a)^2 = (2m + n - a)(2m + n - a)$

Factorizar $4(1 + a)^2 - 4(1 + a) (b-1) + (b-1)^2$

$(2(1 + a) - (b - 1))^2 = (2 + 2a - b + 1)^2 = (3 + 2a - b)^2 = (3 + 2a - b)(3 + 2a - b)$

Factorizar $9(x - y)^2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)^2$

$(3(x - y) + 2(x + y))^2 = (3x - 3y + 2x + 2y)^2 = (5x - y)^2 = (5x - y)(5x - y)$

$(a-b)^2$
$(a+b)^2$
$(x-1)^2$
$(y^2+1)^2$
$(a-5)^2$
$(x-3)^2$
$(5x^2+4)^2$
$(7a-1)^2$
$(m^2+6)^2$
$(a^3-1)^2$
$(a^4+9)^2$
$(a^3-b^3)^2$
$(2x-3y)^2$
$(3b-5a^2)^2$
$(1+7x^2y)^2$
$(1-a^5)^2$
$(7m^3-5an^2)^2$
$(10x^5-3a^4y^6)^2$
$(11+9x^6)^2$
$(a-12m^2x^2)^2$
$(4-13x^2)^2$
$(20x^5+1)^2$
$(\frac{a}{2}-b)^2$
$(1+\frac{b}{3})^2$
$(a^2-\frac{b^2}{2})^2$
$(\frac{1}{5}-\frac{5x^2}{6})^2$
$(4x^3-\frac{y^2}{4})^2$
$(\frac{n}{3}+3m)^2$
$(2a+b)^2$
$(1+a)^2$
$(3m-n)^2$
$(m-n+3)^2$
$(a-y)^2$
$(2m+n-a)^2$
$(3+2a-b)^2$
$(5x-y)^2$

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Cada una de estas expresiones algebraicas son trinomios cuadrados perfectos o se pueden reorganizar para que coincidan con la forma de un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que se puede factorizar como el cuadrado de un binomio. La fórmula general para un trinomio cuadrado perfecto es:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ ó $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Tips

No reconocer la forma del trinomio cuadrado perfecto, lo que lleva a intentos de factorización más complicados o incorrectos.
Errores al identificar los términos 'a' y 'b' en la expresión, especialmente cuando hay coeficientes o exponentes presentes.
Signos incorrectos al formar el binomio cuadrado, por ejemplo, usar $(a + b)^2$ en lugar de $(a - b)^2$ cuando el término medio del trinomio es negativo.
Dejar de simplificar la expresión completamente después de aplicar la factorización inicial.

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