En una urbanización hay dos solares cuadrados que juntos miden 9700 m² y la diferencia entre sus perímetros es 200 m. ¿Cuánto mide cada solar de lado?
Understand the Problem
La pregunta está pidiendo determinar las dimensiones de dos solares cuadrados dados dos conjuntos de información: la suma de sus áreas (9700 m²) y la diferencia de sus perímetros (200 m). Debemos usar estas ecuaciones para resolver las dimensiones de cada solar.
Answer
Las dimensiones de los solares son $90 \, \text{m}$ y $40 \, \text{m}$.
Answer for screen readers
Las dimensiones de los solares son $90 , \text{m}$ y $40 , \text{m}$.
Steps to Solve
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Definir las variables para las áreas Sea $x$ la longitud de un lado del primer solar y $y$ la longitud de un lado del segundo solar. Podemos expresar las áreas de los solares como: $$ A_1 = x^2 $$ $$ A_2 = y^2 $$
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Escribir la ecuación para la suma de áreas Según el problema, la suma de las áreas es 9700 m²: $$ x^2 + y^2 = 9700 $$
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Escribir la ecuación para la diferencia de perímetros El perímetro de un cuadrado se calcula como $4$ veces la longitud de un lado. La diferencia de los perímetros es 200 m: $$ 4x - 4y = 200 $$ Podemos simplificar esto dividiendo cada término por 4: $$ x - y = 50 $$
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Despejar una variable Despejamos $x$ de la ecuación que relaciona los perímetros: $$ x = y + 50 $$
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Sustituir en la ecuación de suma de áreas Sustituimos $x$ en la ecuación de suma de áreas: $$ (y + 50)^2 + y^2 = 9700 $$
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Expandir y simplificar la ecuación Expandamos $(y + 50)^2$: $$ y^2 + 100y + 2500 + y^2 = 9700 $$ Esto se simplifica a: $$ 2y^2 + 100y + 2500 - 9700 = 0 $$ $$ 2y^2 + 100y - 7200 = 0 $$
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Dividir la ecuación por 2 Para simplificar la ecuación, dividimos todos los términos por 2: $$ y^2 + 50y - 3600 = 0 $$
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Resolver la ecuación cuadrática Usamos la fórmula cuadrática $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ donde $a=1$, $b=50$, $c=-3600$: $$ y = \frac{-50 \pm \sqrt{50^2 - 4(1)(-3600)}}{2(1)} $$
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Calcular el discriminante Calculamos el discriminante: $$ b^2 - 4ac = 2500 + 14400 = 16900 $$
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Encontrar las soluciones para $y$ Calculamos $y$: $$ y = \frac{-50 \pm \sqrt{16900}}{2} $$ $$ y = \frac{-50 \pm 130}{2} $$ Las soluciones son:
- $y = \frac{80}{2} = 40$
- $y = \frac{-180}{2} = -90$ (no es válida, ya que las longitudes no pueden ser negativas)
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Encontrar $x$ usando el valor de $y$ Usamos $y = 40$ para encontrar $x$: $$ x = y + 50 = 40 + 50 = 90 $$
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Conclusión de las dimensiones Las dimensiones de los solares son $x = 90 , \text{m}$ y $y = 40 , \text{m}$.
Las dimensiones de los solares son $90 , \text{m}$ y $40 , \text{m}$.
More Information
La solución se basa en ecuaciones cuadráticas y proporciones, que son fundamentales en la resolución de problemas geométricos. Estas dimensiones cumplen con las condiciones iniciales dadas.
Tips
- Error al simplificar las ecuaciones: Asegúrate de revisar cada paso de simplificación.
- Olvidar considerar que las longitudes no pueden ser negativas: Siempre verifica que tus soluciones sean lógicas dentro del contexto.
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