Due cerchi C1 e C2 sono tali che l'area di C1 è nove volte l'area di C2. Determina il raggio di C1, sapendo che è 12 cm in più del raggio di C2.

Steps to Solve

1. Definizione delle variabili

   Sia $r_2$ il raggio del cerchio $C_2$ e $r_1$ il raggio del cerchio $C_1$. Dalla condizione data, sappiamo che: $$ r_1 = r_2 + 12 $$

2. Espressione delle aree

   L'area del cerchio $C_1$ può essere calcolata usando la formula $A = \pi r^2$. Pertanto, abbiamo: $$ A_1 = \pi r_1^2 $$ e per $C_2$: $$ A_2 = \pi r_2^2 $$

3. Relazione tra le aree

   Ci viene detto che l'area di $C_1$ è nove volte quella di $C_2$: $$ A_1 = 9 A_2 $$ Sostituendo le espressioni per le aree: $$ \pi r_1^2 = 9 \pi r_2^2 $$ Dividendo entrambi i lati per $\pi$: $$ r_1^2 = 9 r_2^2 $$

4. Sostituzione e risoluzione

   Sostituendo l'espressione per $r_1$ dalla prima equazione: $$ (r_2 + 12)^2 = 9 r_2^2 $$ Espandendo e semplificando: $$ r_2^2 + 24r_2 + 144 = 9r_2^2 $$ Portando tutto a sinistra: $$ 0 = 8r_2^2 - 24r_2 - 144 $$ Dividendo per 8: $$ 0 = r_2^2 - 3r_2 - 18 $$

5. Risoluzione dell'equazione quadratica

   Utilizziamo la formula quadratica: $$ r_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} $$ Semplificando ulteriormente: $$ r_2 = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2} $$ Ciò ci dà due soluzioni: $$ r_2 = 6 \quad \text{o} \quad r_2 = -3 $$ Ignoriamo $r_2 = -3$ perché i raggi non possono essere negativi. Dunque, $r_2 = 6$.

6. Calcolo di $r_1$

   Ora possiamo trovare $r_1$ usando la relazione: $$ r_1 = r_2 + 12 = 6 + 12 = 18 $$