¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 libros diferentes en un estante si se quiere dejar un espacio vacío entre cada libro?
Understand the Problem
La pregunta está pidiendo el número de maneras en que se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante con la condición de dejar un espacio vacío entre cada libro. Para resolver esto, hay que considerar primero los espacios que se crean por los libros y cuántos de esos espacios se pueden llenar con los libros disponibles.
Answer
$$ 46200 $$
Answer for screen readers
El número total de maneras en que se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante con un espacio vacío entre cada uno es $$ \binom{11}{5} \times 5! = 46200 $$.
Steps to Solve
- Determinar el número de libros y espacios necesarios
Dado que tenemos 5 libros distintos, al colocarlos en un estante dejando un espacio vacío entre ellos, se crean espacios adicionales. Entre 5 libros hay 4 espacios vacíos. También se necesita un espacio adicional antes del primer libro y uno después del último, haciendo un total de 6 espacios vacíos.
- Calcular el número total de espacios
Por lo tanto, al considerar los 5 libros y los 6 espacios vacíos (4 entre libros y 2 en los extremos), tenemos un total de 11 lugares.
- Determinar la posición de los libros
Necesitamos elegir 5 de esos 11 espacios para colocar los libros. Esto se puede hacer utilizando la combinación. El número de maneras de seleccionar 5 espacios de 11 se calcula como follows:
$$ \binom{11}{5} = \frac{11!}{5!(11-5)!} $$
- Calcular el número de maneras de ordenar los libros
Una vez que hemos elegido los 5 espacios, podemos ordenar los 5 libros en esos espacios. El número de maneras de ordenar 5 libros es $5!$.
- Calcular el total de maneras
Finalmente, multiplicamos el número de maneras de elegir los espacios por el número de maneras de ordenar los libros:
$$ \text{Total} = \binom{11}{5} \times 5! $$
El número total de maneras en que se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante con un espacio vacío entre cada uno es $$ \binom{11}{5} \times 5! = 46200 $$.
More Information
Hay 46200 distintas formas de organizar 5 libros en un estante, manteniendo los espacios vacíos entre cada uno. Esto ilustra la importancia de las combinaciones y permutaciones en problemas de conteo.
Tips
- Confundir el número total de espacios: algunos pueden olvidar contar los espacios adicionales en los extremos.
- No calcular correctamente las permutaciones después de elegir los espacios.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
