Dados z = -2 + 3i y w = 4 + 2i, ¿cuál es el resultado de efectuar z/w?
Understand the Problem
La pregunta pide calcular el resultado de la división entre dos números complejos, z y w, donde z = -2 + 3i y w = 4 + 2i. Esto implica realizar la división de números complejos y expresar el resultado en la forma a + bi.
Answer
$-\frac{1}{10} + \frac{4}{5}i$
Answer for screen readers
$-\frac{1}{10} + \frac{4}{5}i$
Steps to Solve
- Escribe la división de los números complejos
Primero, escribe la división $z/w$ usando los valores dados: $ \frac{z}{w} = \frac{-2 + 3i}{4 + 2i} $
- Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador
El conjugado de $4 + 2i$ es $4 - 2i$. Multiplica tanto el numerador como el denominador por este conjugado: $ \frac{-2 + 3i}{4 + 2i} \cdot \frac{4 - 2i}{4 - 2i} $
- Realiza la multiplicación en el numerador
Multiplica $(-2 + 3i)(4 - 2i)$ usando la propiedad distributiva: $(-2)(4) + (-2)(-2i) + (3i)(4) + (3i)(-2i) = -8 + 4i + 12i - 6i^2$ Como $i^2 = -1$, esto se simplifica a: $-8 + 16i + 6 = -2 + 16i$
- Realiza la multiplicación en el denominador
Multiplica $(4 + 2i)(4 - 2i)$. Esto es de la forma $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$: $4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
- Escribe la división simplificada
Ahora tienes: $\frac{-2 + 16i}{20}$
- Divide cada término por el denominador
Divide tanto la parte real como la parte imaginaria por 20: $\frac{-2}{20} + \frac{16i}{20} = -\frac{1}{10} + \frac{4}{5}i$
$-\frac{1}{10} + \frac{4}{5}i$
More Information
El resultado de la división de los números complejos $z = -2 + 3i$ y $w = 4 + 2i$ es $-\frac{1}{10} + \frac{4}{5}i$, que está expresado en la forma $a + bi$.
Tips
Un error común es no multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. Otro error común es equivocarse al expandir o simplificar los productos en el numerador y el denominador, especialmente al manejar el término $i^2$. Asegúrate de recordar que $i^2 = -1$.
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