¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la desigualdad cuadrática -x² - 2x + 3 < 0?

Steps to Solve

1. Reescribir la desigualdad

Comenzamos reescribiendo la desigualdad cuadrática:

$$ -x^2 - 2x + 3 < 0 $$

Podemos multiplicar toda la desigualdad por -1 (invertimos el signo):

$$ x^2 + 2x - 3 > 0 $$

2. Factorizar el trinomio

Ahora, factorizamos el trinomio $x^2 + 2x - 3$. Buscamos dos números que multiplicados den -3 y sumados den 2. Los números son 3 y -1.

$$ (x + 3)(x - 1) > 0 $$

3. Resolver la desigualdad

Ahora identificamos los puntos críticos que son donde el producto es cero:

$$ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 $$

$$ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 $$

Esto nos da las raíces $x = -3$ y $x = 1$. Dividimos la recta numérica en intervalos: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$ y $(1, \infty)$.

4. Probar cada intervalo

Probamos un valor en cada intervalo para determinar dónde la desigualdad es verdadera.

• Para $x < -3$, probamos $x = -4$: $$ (-4 + 3)(-4 - 1) = (-1)(-5) = 5 > 0 \quad \text{(verdadero)} $$

• Para $-3 < x < 1$, probamos $x = 0$: $$ (0 + 3)(0 - 1) = 3(-1) = -3 < 0 \quad \text{(falso)} $$

• Para $x > 1$, probamos $x = 2$: $$ (2 + 3)(2 - 1) = 5(1) = 5 > 0 \quad \text{(verdadero)} $$

5. Concluir la solución

La solución de la desigualdad es donde el producto es mayor que cero:

$$ x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty) $$