¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la desigualdad cuadrática -x² - 2x + 3 < 0?

Steps to Solve

1. Reescribir la desigualdad

Primero, reescribimos la desigualdad:

$$ -x^2 - 2x + 3 < 0 $$

Multiplicamos toda la desigualdad por -1 (recuerda cambiar el signo de la desigualdad):

$$ x^2 + 2x - 3 > 0 $$

2. Factorizar la expresión

Ahora, factorizamos el polinomio:

$$ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) $$

Esto significa que la desigualdad se convierte en:

$$ (x + 3)(x - 1) > 0 $$

3. Encontrar los puntos críticos

Los puntos críticos son donde el producto es igual a cero. Solucionamos:

$$ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 $$ $$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $$

Esto nos da los puntos críticos ( x = -3 ) y ( x = 1 ).

4. Determinar los intervalos y probar valores

Los intervalos a considerar son:

• ( (-\infty, -3) )
• ( (-3, 1) )
• ( (1, \infty) )

Probamos un valor en cada intervalo:

• Para ( x = -4 ) en ( (-\infty, -3) ):

$$ (-4 + 3)(-4 - 1) = (-1)(-5) = 5 > 0 $$

• Para ( x = 0 ) en ( (-3, 1) ):

$$ (0 + 3)(0 - 1) = (3)(-1) = -3 < 0 $$

• Para ( x = 2 ) en ( (1, \infty) ):

$$ (2 + 3)(2 - 1) = (5)(1) = 5 > 0 $$

5. Concluir con los intervalos donde la desigualdad es verdadera

La desigualdad se cumple en los intervalos:

$$ (-\infty, -3) \cup (1, \infty) $$