Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, gegeben den Graphen einer Funktion f: (A) f'(-1) = 0 (B) f'(0) > f'(1) (C) f(0) = 1 (D) f'(0) = 1 (E) Der Graph von... Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, gegeben den Graphen einer Funktion f: (A) f'(-1) = 0 (B) f'(0) > f'(1) (C) f(0) = 1 (D) f'(0) = 1 (E) Der Graph von f' liegt im Intervall [-2; 2] oberhalb der x-Achse. (F) Der Punkt Q(-1,5|-1) liegt auf dem Graphen von f'. Read more

Steps to Solve

1. Analyze statement (A): $f'(-1) = 0$

$f'(-1)=0$ bedeutet, dass die Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x=-1$ gleich Null ist. Am Punkt $x=-1$ hat der Graph von $f$ ein Minimum. Daher ist die Steigung an dieser Stelle tatsächlich Null. Die Aussage ist WAHR.

2. Analyze statement (B): $f'(0) > f'(1)$

$f'(0)$ ist die Steigung von $f$ an der Stelle $x=0$ und $f'(1)$ ist die Steigung von $f$ an der Stelle $x=1$. Der Graph von $f$ steigt bei $x=0$ steiler an als bei $x=1$. Daher ist $f'(0) > f'(1)$. Die Aussage ist WAHR.

3. Analyze statement (C): $f(0) = 1$

$f(0)$ ist der Funktionswert der Funktion $f$ an der Stelle $x=0$. Aus dem Graphen können wir ablesen, dass $f(0)$ ungefähr 1 ist. Die Aussage ist WAHR.

4. Analyze statement (D): $f'(0) = 1$

$f'(0)$ ist die Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x=0$. Um die Steigung zu schätzen, kann man ein Steigungsdreieck anlegen. Zwischen $x=-1$ und $x=1$ steigt die Funktion um etwa 2 Einheiten. Also ist die durchschnittliche Steigung in diesem Bereich ungefähr $2/2 = 1$. Da die Steigung an der Stelle $x=0$ in etwa der durchschnittlichen Steigung entspricht ist $f'(0) \approx 1$. Die Aussage ist WAHR.

5. Analyze statement (E): Der Graph von $f'$ liegt im Intervall [-2; 2] oberhalb der x-Achse.

Das bedeutet, dass die Ableitung $f'(x)$ für alle $x$ im Intervall $[-2, 2]$ positiv ist. Der Graph von $f$ steigt im Intervall $[-2, 2]$ monoton, d.h. die Steigung ist immer positiv. Die Aussage ist WAHR.

6. Analyze statement (F): Der Punkt Q(-1,5|-1) liegt auf dem Graphen von f'.

Das bedeutet, dass $f'(-1.5) = -1$ gilt. Um $f'(-1.5)$ zu schätzen, kann man ein Steigungsdreieck anlegen. Zwischen $x=-2$ und $x=-1$ fällt die Funktion um etwa 1 Einheit. Also ist die durchschnittliche Steigung in diesem Bereich ungefähr $1/1 = 1$. Allerdings fällt die Funktion zwischen -2 und -1.5 nicht, sondern steigt leicht. Daher ist die Aussage, dass $f'(-1.5) = -1$, FALSCH.