Bestimmen Sie für die arithmetischen Folgen das Anfangsglied a1, die Differenz d, das allgemeine Glied an und die 20. Partialsumme. a) 7, 11, 15, 19, 23,... b) 1, 3, 5, 7, 9,... c)... Bestimmen Sie für die arithmetischen Folgen das Anfangsglied a1, die Differenz d, das allgemeine Glied an und die 20. Partialsumme. a) 7, 11, 15, 19, 23,... b) 1, 3, 5, 7, 9,... c) 4 1/2, 5, 5 1/2, 6,... d) 20, 17, 14, 11, 8,...
Understand the Problem
Die Frage fordert, für die gegebenen arithmetischen Folgen das Anfangsglied, die Differenz, das allgemeine Glied sowie die 20. Partialsumme zu bestimmen.
Answer
a) \( a_1 = 7, \; d = 4, \; S_{20} = 900 \) b) \( a_1 = 1, \; d = 2, \; S_{20} = 400 \) c) \( a_1 = 4.5, \; d = 0.5, \; S_{20} = 185 \) d) \( a_1 = 20, \; d = -3, \; S_{20} = -170 \)
Answer for screen readers
a) ( a_1 = 7, ; d = 4, ; a_n = 7 + (n-1) \cdot 4, ; S_{20} = 900 )
b) ( a_1 = 1, ; d = 2, ; a_n = 1 + (n-1) \cdot 2, ; S_{20} = 400 )
c) ( a_1 = 4.5, ; d = 0.5, ; a_n = 4.5 + (n-1) \cdot 0.5, ; S_{20} = 185 )
d) ( a_1 = 20, ; d = -3, ; a_n = 20 + (n-1) \cdot (-3), ; S_{20} = -170 )
Steps to Solve
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Analyse der Folge für a)
Die gegebene Folge ist $7, 11, 15, 19, 23,...$
Das Anfangsglied $a_1 = 7$.
Die Differenz $d$ wird berechnet:
$$ d = 11 - 7 = 4 $$ -
Allgemeines Glied für a)
Das allgemeine Glied $a_n$ wird mit der Formel $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ ausgedrückt:
$$ a_n = 7 + (n-1) \cdot 4 $$ -
Berechnung der 20. Partialsumme für a)
Die Formel für die $n$-te Partialsumme $S_n$ einer arithmetischen Folge ist:
$$ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) $$
Setzen wir $n = 20$ ein:
$$ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 \cdot 7 + (20-1) \cdot 4) $$
$$ S_{20} = 10 \cdot (14 + 76) = 10 \cdot 90 = 900 $$
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Analyse der Folge für b)
Die gegebene Folge ist $1, 3, 5, 7, 9,...$
Das Anfangsglied $a_1 = 1$.
Die Differenz $d = 3 - 1 = 2$. -
Allgemeines Glied für b)
$$ a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 $$ -
Berechnung der 20. Partialsumme für b)
$$ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 \cdot 1 + (20-1) \cdot 2) $$
$$ S_{20} = 10 \cdot (2 + 38) = 10 \cdot 40 = 400 $$
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Analyse der Folge für c)
Die gegebene Folge ist $4 \frac{1}{2}, 5, 5 \frac{1}{2}, 6,...$
Das Anfangsglied $a_1 = 4 \frac{1}{2} = 4.5$.
Die Differenz ist $d = 5 - 4.5 = 0.5$. -
Allgemeines Glied für c)
$$ a_n = 4.5 + (n-1) \cdot 0.5 $$ -
Berechnung der 20. Partialsumme für c)
$$ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 \cdot 4.5 + (20-1) \cdot 0.5) $$
$$ S_{20} = 10 \cdot (9 + 9.5) = 10 \cdot 18.5 = 185 $$
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Analyse der Folge für d)
Die gegebene Folge ist $20, 17, 14, 11, 8,...$
Das Anfangsglied $a_1 = 20$.
Die Differenz $d = 17 - 20 = -3$. -
Allgemeines Glied für d)
$$ a_n = 20 + (n-1) \cdot (-3) $$ -
Berechnung der 20. Partialsumme für d)
$$ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2 \cdot 20 + (20-1) \cdot (-3)) $$
$$ S_{20} = 10 \cdot (40 - 57) = 10 \cdot (-17) = -170 $$
a) ( a_1 = 7, ; d = 4, ; a_n = 7 + (n-1) \cdot 4, ; S_{20} = 900 )
b) ( a_1 = 1, ; d = 2, ; a_n = 1 + (n-1) \cdot 2, ; S_{20} = 400 )
c) ( a_1 = 4.5, ; d = 0.5, ; a_n = 4.5 + (n-1) \cdot 0.5, ; S_{20} = 185 )
d) ( a_1 = 20, ; d = -3, ; a_n = 20 + (n-1) \cdot (-3), ; S_{20} = -170 )
More Information
Die Lösungen zeigen das Verhältnis der Anfangsglieder, Differenzen, allgemeinen Glieder und Partialsummen für verschiedene arithmetische Folgen. Arithmetische Folgen sind wichtig, um Muster in Zahlen zu erkennen und Berechnungen zu vereinfachen.
Tips
- Fehler beim Ermitteln der Differenz $d$: Achte darauf, dass die Differenz immer zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern berechnet wird.
- Falsche Anwendung der Formel für die Partialsumme: Vergewissere dich, dass die Werte von $n$, $a_1$, und $d$ korrekt eingegeben werden.
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