Aufgabe 1: Es seien a und b reelle Zahlen. Welcher der gegebenen Ausdrücke entspricht (a + 2b)²? Aufgabe 2: Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² - 1 und g(x) = -2/x. Bestimmen Sie... Aufgabe 1: Es seien a und b reelle Zahlen. Welcher der gegebenen Ausdrücke entspricht (a + 2b)²? Aufgabe 2: Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² - 1 und g(x) = -2/x. Bestimmen Sie f(g(4)). Aufgabe 3: Bilden Sie das Produkt aus den Lösungen der Betragsgleichung |2x - 1| = 5.
Understand the Problem
Die Frage bezieht sich auf die Auffindung der entsprechenden Ausdrücke für gegebene mathematische Terme. Aufgabe 1 fordert den richtigen Ausdruck für (a + 2b)², Aufgabe 2 verlangt die Bedingungen für die Funktionen f(x) und g(x), und Aufgabe 3 bittet um die Bildungen aus Lösungen einer Gleichung.
Answer
1. $a^2 + 4ab + 4b^2$ 2. $-\frac{3}{4}$ 3. $-6$
Answer for screen readers
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$a^2 + 4ab + 4b^2$
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$-\frac{3}{4}$
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$-6$
Steps to Solve
- Lösung für Aufgabe 1: Quadrat eines binomischen Ausdrucks
Um den Ausdruck $(a + 2b)^2$ zu finden, verwenden wir die Formel für das Quadrat eines binomischen Ausdrucks:
$$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$
Setzen wir $x = a$ und $y = 2b$ ein:
$$ (a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 $$
Dies vereinfacht zu:
$$ a^2 + 4ab + 4b^2 $$
- Lösung für Aufgabe 2: Funktionen zusammenstellen
Um $f(g(4))$ zu bestimmen, müssen wir zuerst $g(4)$ finden:
$$ g(x) = -\frac{2}{x} \Rightarrow g(4) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $$
Jetzt setzen wir $g(4)$ in $f(x)$ ein:
$$ f(x) = x^2 - 1 \Rightarrow f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - 1 $$
Das ergibt:
$$ f(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} $$
- Lösung für Aufgabe 3: Lösungen der Betragsgleichung
Die Gleichung lautet $|2x - 1| = 5$. Dies führt zu zwei Fällen:
- $2x - 1 = 5$
- $2x - 1 = -5$
Lösen wir die beiden Gleichungen:
Für die erste Gleichung:
$$ 2x - 1 = 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 $$
Für die zweite Gleichung:
$$ 2x - 1 = -5 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2 $$
Jetzt bilden wir das Produkt der Lösungen:
$$ 3 \cdot (-2) = -6 $$
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$a^2 + 4ab + 4b^2$
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$-\frac{3}{4}$
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$-6$
More Information
- Für Aufgabenteil 1 ist die Formel für das Quadrat eines Binoms entscheidend.
- Bei Aufgabenteil 2 wird die Zusammensetzung von Funktionen verwendet, um ein Ergebnis zu finden.
- Aufgabe 3 zeigt, wie Betragsgleichungen in zwei Fälle aufgeteilt werden, um Lösungen zu finden.
Tips
- Bei Aufgabe 1 könnten Schüler die Formel für das Quadrat eines Binoms falsch anwenden.
- In Aufgabe 2 könnte man die Reihenfolge der Funktionsauswertung durcheinander bringen.
- In Aufgabe 3 ist es wichtig, beide Fälle der Betragsgleichung zu berücksichtigen; das Ignorieren eines Falls ist ein häufiger Fehler.
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