ABCD est un losange de centre O. 1) Construire le point E tel que $\vec{OE} = \vec{CD}$ 2) Montrer que : $\vec{AE} = \vec{OD}$ 3) Construire le point F tel que : $\vec{OF} = \vec{O... ABCD est un losange de centre O. 1) Construire le point E tel que $\vec{OE} = \vec{CD}$ 2) Montrer que : $\vec{AE} = \vec{OD}$ 3) Construire le point F tel que : $\vec{OF} = \vec{OB} + \vec{OA}$ 4) Montrer que $\frac{1}{2}(\vec{OF} + \vec{OE}) = \vec{OA}$
Understand the Problem
L'exercice porte sur la géométrie vectorielle dans un losange. Il faut construire des points en fonction de relations vectorielles données, puis démontrer des égalités vectorielles. Plus précisément, il faut construire le point E tel que le vecteur OE soit égal au vecteur CD, montrer que le vecteur AE est égal au vecteur OD, construire le point F tel que le vecteur OF soit égal à la somme des vecteurs OB et OA, et enfin montrer que 1/2 du vecteur OF + OE est égal au vecteur OA.
Answer
1) Construction de E. 2) $\vec{AE} = \vec{OD}$ 3) Construction de F. 4) $\frac{1}{2}(\vec{OF} + \vec{OE}) = \vec{OA}$
Answer for screen readers
- Construction de E : Placer E tel que $\vec{OE} = \vec{CD}$.
- Démonstration : $\vec{AE} = \vec{OD}$
- Construction de F : Placer F tel que $\vec{OF} = \vec{OB} + \vec{OA}$
- Démonstration : $\frac{1}{2}(\vec{OF} + \vec{OE}) = \vec{OA}$
Steps to Solve
- Construct point E
To construct point E such that $\vec{OE} = \vec{CD}$, we start at point O and move in the direction and distance specified by vector $\vec{CD}$. Since ABCD is a rhombus, $\vec{CD} = \vec{BA}$. Thus, $\vec{OE} = \vec{BA}$.
- Show that $\vec{AE} = \vec{OD}$
We want to show $\vec{AE} = \vec{OD}$. We know that $\vec{OE} = \vec{CD}$. We can express $\vec{AE}$ as $\vec{AO} + \vec{OE}$. Substituting $\vec{OE}$ we have $\vec{AE} = \vec{AO} + \vec{CD}$. Since ABCD is a rhombus with center O, $\vec{AO} = -\vec{OC}$ and $\vec{CD} = \vec{BA}$. Thus, $\vec{AE} = -\vec{OC} + \vec{BA}$. Also, for a rhombus $\vec{BA} = \vec{OD} - \vec{OC}$. Then $\vec{AE} = \vec{AO} + \vec{CD} = -\vec{OC} + \vec{CD}$. Since $\vec{CD}$ is parallel to $\vec{AO}$ and $\vec{OC}$ is parallel to $\vec{OA}$. In a rhombus $\vec{CD} = \vec{BA}$ so $\vec{AE} = \vec{AO} + \vec{BA}$. Now $\vec{OD} = \vec{AD} - \vec{AO}$ and similarly $\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$. Since $\vec{OE} = \vec{CD} = \vec{BA}$, we have $\vec{AE} = \vec{BA} - \vec{OA}$. We rewrite $\vec{BA}$ as $\vec{BO} + \vec{OA}$. Hence $\vec{AE} = \vec{BO} + \vec{OA} - \vec{OA} = \vec{BO}$. Since ABCD is a rhombus $\vec{BO} = \vec{OD}$. Therefore $\vec{AE} = \vec{OD}$.
- Construct point F
To construct point F such that $\vec{OF} = \vec{OB} + \vec{OA}$, we complete the parallelogram OAFB.
- Show that $\frac{1}{2}(\vec{OF} + \vec{OE}) = \vec{OA}$
We wish to show $\frac{1}{2}(\vec{OF} + \vec{OE}) = \vec{OA}$. We know that $\vec{OF} = \vec{OB} + \vec{OA}$ and $\vec{OE} = \vec{CD}$. Substituting these into the left hand side of the equation, we have: $\frac{1}{2}(\vec{OF} + \vec{OE}) = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OA} + \vec{CD})$. Since ABCD is a rhombus, $\vec{OB} = -\vec{OD}$ and $\vec{CD} = \vec{BA}$. Also, $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB}$. Then $\frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OA} + \vec{CD}) = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OA} + \vec{BA})$. Since $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB}$, we have: $\frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OA} + \vec{OA} - \vec{OB}) = \frac{1}{2}(2\vec{OA}) = \vec{OA}$. Therefore $\frac{1}{2}(\vec{OF} + \vec{OE}) = \vec{OA}$.
- Construction de E : Placer E tel que $\vec{OE} = \vec{CD}$.
- Démonstration : $\vec{AE} = \vec{OD}$
- Construction de F : Placer F tel que $\vec{OF} = \vec{OB} + \vec{OA}$
- Démonstration : $\frac{1}{2}(\vec{OF} + \vec{OE}) = \vec{OA}$
More Information
The problem involves vector addition and properties of a rhombus. The key is to express vectors in terms of other vectors in the diagram. For example, using properties of a rhombus to express $\vec{CD}$ and $\vec{OB}$ in terms of $\vec{OA}$ and $\vec{OD}$.
Tips
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