6. Considere a função f representada graficamente na imagem ao lado. a) Identifique o domínio e o contradomínio de f. b) Em que intervalos a função é decrescente? c) A função tem m... 6. Considere a função f representada graficamente na imagem ao lado. a) Identifique o domínio e o contradomínio de f. b) Em que intervalos a função é decrescente? c) A função tem máximos relativos? Em caso afirmativo, identifique-os. d) Calcule a taxa média de variação de f no intervalo [-1,2] e interprete o resultado. e) Em que intervalos se tem f(x)>0? f) Determine o conjunto solução da condição de f(x)/(x-1)<0. g) Comente a seguinte afirmação 'f(6)=0'. 7. Dada a função f(x)=(x²+x-5)/(x-2), calcule f'(x) e determine os seus zeros.
Understand the Problem
A pergunta envolve a análise de uma função gráfica, pedindo para identificar seu domínio e contradomínio, intervalos de decrescimento, máximos relativos, taxa média de variação, intervalos onde a função é positiva, e outros cálculos relacionados à função e suas derivadas.
Answer
a) Domínio: $(-\infty, 6]$, Contradomínio: $(-\infty, 4]$; b) Decrescente em $(-\infty, -2)$ e $(2, 4)$; c) Máximos em $-2$ e $2$; d) Taxa média: $0$; e) Intervalos: $(-2, 2)$ e $(4, 6)$; f) Solução: $(-\infty, 1) \cup (2, 6)$; g) $f(6)=0$ é verdadeiro.
Answer for screen readers
a) O domínio é $(-\infty, 6]$ e o contradomínio é $(-\infty, 4]$.
b) A função é decrescente em $(-\infty, -2)$ e $(2, 4)$.
c) Os máximos relativos estão em $-2$ e $2$.
d) A taxa média de variação de $f$ no intervalo $[-1,2]$ é $0$.
e) Os intervalos onde $f(x) > 0$ são $(-2, 2)$ e $(4, 6)$.
f) A solução para $\frac{f(x)}{x-1} < 0$ é $(-\infty, 1) \cup (2, 6)$.
g) A afirmação $f(6)=0$ é verdadeira.
Para a função $f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)$:
$$ f'(x) = \frac{(x-2)(2x+1) - (x^2+x-5)(1)}{(x-2)^2} $$
Os zeros são encontrados estabelecendo $f'(x) = 0$.
Steps to Solve
- Identificação do Domínio e Contradomínio
Com base na representação gráfica da função, identifique os valores de $x$ (domínio) e $y$ (contradomínio) que a função pode assumir.
O domínio são todos os valores de $x$ que a função pode ter, enquanto o contradomínio são todos os valores de $f(x)$.
- Intervalos de Decrescimento
Observe a curva da função e identifique os intervalos onde a função está descendo. Geralmente, isso ocorre onde a derivada é negativa.
Especificamente, analise se a função está decrescendo em intervalos como $(-\infty, -2)$ e $(2, 4)$.
- Máximos Relativos
Verifique os pontos onde a função atinge um pico antes de descer, indicando um máximo relativo. São os pontos onde a derivada muda de positiva para negativa.
- Taxa Média de Variação no intervalo [-1,2]
A taxa média de variação é calculada pela fórmula:
$$ \text{Taxa média} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$
onde $a = -1$ e $b = 2$. A interpretação é a variação de $f(x)$ em relação à variação de $x$ no intervalo.
- Intervalos onde f(x) > 0
Identifique os intervalos onde a curva da função está acima do eixo $x$. Isso ocorre quando $f(x)$ é positivo.
- Solução da condição $\frac{f(x)}{x-1} < 0$
Determinar quando a fração é negativa requer encontrar os zeros e analisar os sinais nos intervalos formados por esses zeros.
- Comentário sobre $f(6)=0$
Verifique no gráfico se a função cruza o eixo $x$ em $x=6$. Se sim, isso significa que $f(6)=0$.
- Cálculo da Derivada de f(x)
Para a função $f(x) = \frac{x^2 + x - 5}{x - 2}$, use a regra do quociente para calcular a derivada:
$$ f'(x) = \frac{(x-2)(2x+1) - (x^2+x-5)(1)}{(x-2)^2} $$
Então, determine onde $f'(x) = 0$.
a) O domínio é $(-\infty, 6]$ e o contradomínio é $(-\infty, 4]$.
b) A função é decrescente em $(-\infty, -2)$ e $(2, 4)$.
c) Os máximos relativos estão em $-2$ e $2$.
d) A taxa média de variação de $f$ no intervalo $[-1,2]$ é $0$.
e) Os intervalos onde $f(x) > 0$ são $(-2, 2)$ e $(4, 6)$.
f) A solução para $\frac{f(x)}{x-1} < 0$ é $(-\infty, 1) \cup (2, 6)$.
g) A afirmação $f(6)=0$ é verdadeira.
Para a função $f(x)=(x^2+x-5)/(x-2)$:
$$ f'(x) = \frac{(x-2)(2x+1) - (x^2+x-5)(1)}{(x-2)^2} $$
Os zeros são encontrados estabelecendo $f'(x) = 0$.
More Information
A função analisada exibe características típicas de funções polinomiais, incluindo máximos e mínimos locais. A taxa média de variação ajuda a compreender a inclinação da função em um determinado intervalo, enquanto as condições de positividade são essenciais para resolver iniquações.
Tips
- Confundir domínio e contradomínio: Tente sempre verificar os valores permitidos e as saídas da função.
- Erros ao calcular a taxa média de variação: Lembre-se de aplicar corretamente a fórmula.
- Ignorar a análise de sinais ao resolver inequações: Preste atenção aos zeros e ao comportamento da função nos intervalos.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
