Жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімі

Жылуөткізгіштік теңдеуіне бастапқы-шеттік есептерді қою

• Бір өлшемді (1D) жылуөткізгіштік теңдеуі біртекті бірінші шекаралық (Дирихле) шартымен берілген.
• Теңдеудің шешімі қарастырылады.

Теңдеулер

• Берілген теңдеулер:
  • ut = a²uxx, 0 < x < l, t > 0 (1)
  • u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 (2)
  • u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ l (3)
• u(x, t) ≠ 0 нөлдік емес шешімді табу үшін Фурьенің айнымалылар бойынша жіктеу әдісі қолданылады.
• u(x, t) = T(t)X(x) ≠ 0 (4)

Ажырату және шарттар

• Екі жай дифференциалдық теңдеуге ажырату:
  • T'(t) / a²T(t) = X''(x) / X(x) = -λ² немесе T'(t) + (αλ)²T = 0 (5)
  • X''(x) + λ²X(x) = 0 (6)
• (4) шешімді (2) шекаралық шарттарға қойғанда X(0) = 0, X(l) = 0 (7) шарттары алынады.

Штурм-Лиувилль есебі

• (6) - (7) Штурм-Лиувилль есебі болып табылады.
• Оның меншікті мәндері мен меншікті функциялары:
  • λk = πk/l, Xk(x) = sin(πkx/l), k = 1, 2, 3, ... (8)

Жалпы шешімі

• (5) бірінші ретті теңдеудің жалпы шешімі: Tk(t) = Cke-a²(πk/l)²t, k = 1, 2, 3, ... (9)
• Мұндағы Ck – белгісіз еркін тұрақты сандар.
• Суперпозиция қағидасы бойынша есептің жалпы шешімі: u(x, t) = ∑(k=1 to ∞) Cke-a²(πk/l)²t sin(πkx/l) (10)

Тұрақтыларды анықтау

• Ск тұрақтылары (3) бастапқы шартты қолданып анықталады.
• u(x, 0) = ∑(k=1 to ∞) Ck sin(πkx/l) = φ(x).
• Сk Фурье коэффиценттері:
  • Ck = 2/l ∫(0 to l) φ(x)sin(πkx/l)dx, k = 1, 2, 3, ... (11)
• Бұл Сk мәндерін анықтап, (10) өрнекке қойсақ, (1) – (3) аралас есебінің шешімін аламыз.

Теорема және Ескерту

• Егер φ(x) ∈ C[0, l], φ'(x) – Q облысында бөлікті үзіліссіз және φ(0) = φ(l) = 0 болса, онда (10) қатар Q = {t > 0, 0 < x < l} облысында бірқалыпты және абсолютті жинақталады және (1)-(3) есепті қанағаттандырады.
• Дирихле шарттарының орнына Нейман шарты немесе үшінші шекаралық шарттар берілсе, онда да есеп дәл осындай жолмен шығарылады, тек меншікті мәндер мен меншікті функциялары өзгешелікте болады.

Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеу үшін бастапқы шеттік есеп

• Біртекті шекаралық шартрпен берілген біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеу үшін бастапқы шеттік есеп. Qt = {(x, t) | 0 < x < l, t > 0} облысында
  • ut = a²uxx + f(x, t) (12)
• біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуін u|t=0 = φ(x), 0 ≤ x ≤ l (13)
• u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t > 0 (14)
• біртекті шекаралық шарттарын қанағаттандыратын u(x, t) ∈ C2,1 (Qt) шешімін табу есебі.

Фурье қатары

• (12) - (14) есебінің шешімін, оның біртекті жағдайына сәйкес келетін Штурм-Лиувилль есебінің меншікті функциялары бойынша Фурье қатары.
• шекаралық шарттар үшін меншікті функциялар (14) жүйесі sin(πkx/l) болғандықтан, шешім u(x, t) = ∑(k=1 to ∞) Tk(t)sin(πkx/l) (15)
• Мұндағы Тk(t) — белгісіз функциялар.

Функцияларды жіктеу

• Алдымен есептегі белгілі f(x, t) және φ(x) функцияларын меншікті функциялар бойынша Фурье қатарына жіктеледі: f(x, t) = ∑(k=1 to ∞) fk(t)sin(πkx/l), fk(t) = 2/l ∫(0 to l) f(x, t)sin(πkx/l)dx, k = 1, 2, ... (16) φ(x) = ∑(k=1 to ∞) φk sin(πkx/l), φk = 2/l ∫(0 to l) φ(x)sin(πkx/l)dx, k = 1, 2, 3, ... (17)

Туынды және шарттар

(15) қатардың t және x бойынша сәйкес қажетті дербес туындыларын тауып, (16) қатармен бірге (15) теңдеуге қойсақ: Tk'(t) + (aπk/l)²Tk(t) = fk(t), k = 1, 2, 3, ... (18)

• бірінші ретті біртекті емес жай дифференциалдық теңдеулерін аламыз.

Жоғарыдағы (13) бастапқы шартты және (17) жіктелуді ескеріп, u(x, 0) = ∑(k=1 to ∞) Tk(0)sin(πkx/l) = φ(x) = ∑(k=1 to ∞) φk sin(πkx/l) теңдеулері үшін Tk(0) = φk, k = 1, 2, 3, ... (19)

Коши есебі

Бұл (18) – (19) Коши есебінің Тk(t) шешімін бірмәнді анықтап, (15) қатарға қойсақ, ізделінді u(x, t) шешімді аламыз.

Біртекті емес шекаралық шарттармен қойылған есеп

• Біртекті жылуөткізгіштік теңдеу үшін біртекті емес шекаралық шарттармен қойылған бастапқы-шеттік есеп.
• х = 0, x = l шекарасында u(0, t) = μ(t), u(l, t) = ν(t) (20)
• біртекті емес шекаралық шарттарды және u(x, 0) = φ(x), t > 0 (21)
• бастапқы шартты қанағаттандыратын ut = a²uxx, 0 < x < l, t > 0 (22) жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін табу керек.
• Егер шекаралық шарт біртекті болмаса, онда шешімге шекарада нөлге тең болатындай ауыстыру енгізу қажет.

Көбінде шешімді u(x, t) = v(x, t) + ω(x, t) (23) түрінде іздейміз. ω(x, t) функциясы (20) шекаралық шарт орындалатындай қалағанымызша таңдап алынады.

Мысалы ω(x, t) = μ(t) + x/l (ν(t) – μ(t)) түрінде алуға болады. Бұдан кейін (23) шешімді (20)–(22) қойсақ, белгісіз v(x, t) функциясы үшін біртекті шекаралық шартты бірақ біртекті емес теңдеуі үшін келесі бастапқы-шеттік есебін аламыз.

Алынған теңдеулер

• Алынған теңдеулер жүйесі (24):
  • vt = a²vxx + f(x, t), 0 ≤ x ≤ l, t > 0,
  • v(0, t) = v(l, t) = 0, t > 0,
  • v(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ l.

Шындығында (23) бойынша:

• u(0, t) = v(0, t) + μ(t) = μ(t) ⇒ v(0, t) = 0,
• u(l, t) = v(l, t) + ν(t) = ν(t) ⇒ v(l, t) = 0,
• u(x, 0) = v(x, 0) + μ(0) + x/l (μ(0) - ν(0)) = φ(x) ⇒ мұндағы f(x, t) = -μ' + x/l (μ' - ν'). Ал алынған (24) біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуі үшін біртекті шекаралық шарттармен қойылған бастапқы-шеттік есебі алдыңғы бөлімде көрсетілгендей жолмен шешіледі.