Équation de la chaleur 2D et la méthode des éléments finis

Équation de la chaleur 2D: Introduction à la FEM

• L'équation de la chaleur 2D considère le phénomène de conduction thermique dans un domaine bidimensionnel.
• L'objectif est de déterminer la distribution de température $T(x, y)$ dans le domaine $\Omega$.
• L'équation de la chaleur à l'état stationnaire est donnée par $-\nabla \cdot (k \nabla T) = f$ dans $\Omega$, où $k$ est la conductivité thermique et $f$ est une source de chaleur.

Conditions aux limites

• La température peut être spécifiée sur une partie de la frontière $\Gamma_D$ avec la condition de Dirichlet, $T = T_D$ sur $\Gamma_D$.
• Un flux de chaleur peut être défini sur une autre partie de la frontière $\Gamma_N$, avec la condition de Neumann, $-k \nabla T \cdot \hat{n} = q$ sur $\Gamma_N$, où $q$ est le flux de chaleur.
• La condition de Robin, $-k \nabla T \cdot \hat{n} = h(T - T_{\infty})$ sur $\Gamma_R$, décrit la convection, où $h$ est le coefficient de transfert thermique et $T_{\infty}$ est la température ambiante.

Formulation variationnelle

• La forme pondérée résiduelle de l'équation de la chaleur est obtenue en multipliant l'équation par une fonction de pondération $w$ et en intégrant sur le domaine $\Omega$: $\int_{\Omega} w[-\nabla \cdot (k \nabla T) - f] d\Omega = 0$.
• Le théorème de la divergence est appliqué pour réduire l'ordre des dérivées.
• L'intégration par parties conduit à la forme variationnelle: $\int_{\Omega} \nabla w \cdot (k \nabla T) d\Omega = \int_{\Omega} w f d\Omega + \int_{\Gamma_R} w h (T - T_{\infty}) d\Gamma + \int_{\Gamma_N} w q d\Gamma$.

Approximation par éléments finis

• La température $T(x, y)$ est approchée comme une somme pondérée de fonctions de base $\psi_j(x, y)$ multipliées par des températures nodales $T_j$: $T(x,y) \approx \sum_{j=1}^{n} T_j \psi_j(x,y)$.
• Les fonctions de pondération sont choisies comme étant les fonctions de base: $w(x,y) = \psi_i(x,y), i=1,2,...,n$.
• L'équation discrétisée devient: $\sum_{j=1}^{n} T_j \int_{\Omega} \nabla \psi_i \cdot (k \nabla \psi_j) d\Omega = \int_{\Omega} \psi_i f d\Omega + \int_{\Gamma_R} \psi_i h (\sum_{j=1}^{n} T_j \psi_j - T_{\infty}) d\Gamma + \int_{\Gamma_N} \psi_i q d\Gamma$.

Formulation matricielle

• L'équation discrétisée est réorganisée pour former un système d'équations linéaires: $KT = F$.
• La matrice de rigidité $K$ est définie comme $K_{ij} = \int_{\Omega} \nabla \psi_i \cdot (k \nabla \psi_j) d\Omega + \int_{\Gamma_R} \psi_i h \psi_j d\Gamma$.
• Le vecteur force $F$ est défini comme $F_i = \int_{\Omega} \psi_i f d\Omega - \int_{\Gamma_R} \psi_i h T_{\infty} d\Gamma + \int_{\Gamma_N} \psi_i q d\Gamma$.

Remarques

• La condition de Dirichlet sur $\Gamma_D$ n'a pas encore été appliquée.
• Le calcul élémentaire de $K_{ij}$ et $F_i$ est similaire au cas 1D.
• Le calcul de l'intégrale sur différents éléments représente un défi.

Élément triangulaire linéaire

• La fonction de forme pour un élément triangulaire linéaire est donnée par $\psi(x,y) = a + bx + cy$.
• Les fonctions de forme doivent satisfaire $\psi_i(x_i, y_i) = 1$ et $\psi_i(x_j, y_j) = 0, i \neq j$.
• Les coefficients $a$, $b$, et $c$ sont déterminés en résolvant un système d'équations linéaires.

Calcul des coefficients

• Le système d'équations pour déterminer les coefficients est: $\begin{cases} a + bx_1 + cy_1 = T_1 \ a + bx_2 + cy_2 = T_2 \ a + bx_3 + cy_3 = T_3 \end{cases}$.
• En forme matricielle: $\begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \ 1 & x_2 & y_2 \ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \ b \ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_1 \ T_2 \ T_3 \end{bmatrix}$.
• Les coefficients sont trouvés en inversant la matrice: $\begin{bmatrix} a \ b \ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1 \ 1 & x_2 & y_2 \ 1 & x_3 & y_3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} T_1 \ T_2 \ T_3 \end{bmatrix}$.
• L'inverse de la matrice $J$ est calculée, et le déterminant de $J$ est $det(J) = x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)$.

Algèbre linéaire

• Un espace vectoriel est défini sur un corps et est muni de deux lois: une loi interne (addition vectorielle) et une loi externe (multiplication scalaire).
• Les lois doivent vérifier huit axiomes, incluant associativité et commutativité de l'addition, existence d'un élément neutre et d'un inverse.

Exemples d'espaces vectoriels

• Des exemples d'espaces vectoriels incluent $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}^n$ sur $\mathbb{C}$, les matrices $m \times n$ sur $\mathbb{R}$, et les polynômes à coefficients réels sur $\mathbb{R}$.

Sous-espaces vectoriels

• Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel si $F$ est non vide, stable par addition et par multiplication scalaire.

Combinaison linéaire et sous-espace engendré

• Une combinaison linéaire est une expression de la forme $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_n v_n$.
• L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires est appelé le sous-espace vectoriel engendré, noté $\text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n)$.

Indépendance linéaire

• Des vecteurs sont linéairement indépendants si la seule solution à $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_n v_n = 0$ est $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_n = 0$.

Base et dimension

• Une base d'un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent l'espace.
• La dimension est le nombre de vecteurs dans une base.

Applications linéaires

• Une application linéaire est une fonction $T: E \rightarrow F$ qui vérifie $T(u + v) = T(u) + T(v)$ et $T(\alpha u) = \alpha T(u)$.

Noyau et image

• Le noyau est $\text{ker}(T) = {u \in E \mid T(u) = 0}$ et l'image est $\text{Im}(T) = {T(u) \mid u \in E}$.
• Le théorème du rang stipule que $\text{dim}(E) = \text{dim}(\text{ker}(T)) + \text{dim}(\text{Im}(T))$.

Le théorème de Pythagore

• Dans un triangle rectangle, $a^2 + b^2 = c^2$, où $a$ et $b$ sont les longueurs des côtés et $c$ est la longueur de l'hypoténuse.
• La preuve utilise quatre triangles rectangles congruents pour former un carré externe avec un carré interne.

Preuve

• L'aire du grand carré est $(a + b)^2$.
• L'aire du grand carré est aussi la some des aires des 4 triangles et du carré interne, donc $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$, simplifiant à $a^2 + b^2 = c^2$.