Zincir Kuralı ve Türevlenebilirlik

• Bu notlar, 29 Ekim 2013 tarihli 18. dersin özetidir.

Hızlı Gözden Geçirme

• $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ fonksiyonu eğer $\exists$ lineer bir dönüşüm $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ mevcutsa, $\mathbf{a}$ noktasında türevlenebilirdir.
• $\lim_{\mathbf{h} \rightarrow 0} \frac{\left|f(\mathbf{a}+\mathbf{h})-f(\mathbf{a})-T(\mathbf{h})\right|}{|\mathbf{h}|}=0$.
• $T$, $f'(\mathbf{a})$ ile gösterilir.
• Eğer tüm kısmi türevler $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ mevcutsa ve $\mathbf{a}$'nın bir komşuluğunda sürekli ise, $f$, $\mathbf{a}$ noktasında türevlenebilirdir ve $f'(\mathbf{a}) = J_f(\mathbf{a})$ olur. $J_f(\mathbf{a})$, $f$'nin $\mathbf{a}$ noktasındaki Jacobian matrisidir.

Zincir Kuralı

• $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$, $\mathbf{a}$'da türevlenebilir ve $g: B \subseteq \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k$, $\mathbf{b} = f(\mathbf{a})$'da türevlenebilir olsun.
• $g \circ f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$, $\mathbf{a}$'da türevlenebilirdir ve $(g \circ f)'(\mathbf{a}) = g'(\mathbf{b}) \circ f'(\mathbf{a})$ olur.
• Eşdeğer olarak, $J_{g \circ f}(\mathbf{a}) = J_g(f(\mathbf{a})) J_f(\mathbf{a})$'dır.
• Örnek:
• $f(x, y) = (x^2y, xy^2)$ ve $g(u, v) = (u+v, uv)$ olsun.
• $J_f(x, y) = \begin{bmatrix} 2xy & x^2 \ y^2 & 2xy \end{bmatrix}$, $J_g(u, v) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ v & u \end{bmatrix}$ olur.
• Bu nedenle, $J_{g \circ f}(x, y) = J_g(f(x, y)) J_f(x, y) = J_g(x^2y, xy^2) J_f(x, y) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ xy^2 & x^2y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2xy & x^2 \ y^2 & 2xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xy + y^2 & x^2 + 2xy \ 2x^2y^3 + x^2y^3 & x^3y^2 + 2x^2y^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xy + y^2 & x^2 + 2xy \ 3x^2y^3 & x^3y^2 + 2x^2y^3 \end{bmatrix}$'dir.

Yüksek Mertebeden Türevler

• $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ olsun.
• $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, $A$'dan $\mathbb{R}$'ye bir fonksiyondur (eğer mevcutsa).
• $\frac{\partial f}{\partial x_i}$'nin türevlenebilir olup olmadığını sorabiliriz.
• Eğer öyleyse, kısmi türevlerini hesaplayabiliriz: $\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)$, bu ifade $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ ile gösterilir.
• Özellikle, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_i}$ olur.
• Örnek: $f(x, y) = x^3y^2 + x^4y$.
• $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + 4x^3y$, $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y + x^4$.
• $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6xy^2 + 12x^2y$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2x^3$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6x^2y + 4x^3$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 6x^2y + 4x^3$.
• Teorem:
• $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{a} \in A$ olsun.
• $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ ve $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$, $\mathbf{a}$'nın bir komşuluğunda sürekli ise, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\mathbf{a}) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(\mathbf{a})$'dır.