Zincir Kuralı ve Türevlenebilirlik

Hızlı Gözden Geçirme

• Eğer $\exists$ bir lineer dönüşüm $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ varsa ve $\lim_{\mathbf{h} \rightarrow 0} \frac{\left|f(\mathbf{a}+\mathbf{h})-f(\mathbf{a})-T(\mathbf{h})\right|}{|\mathbf{h}|}=0$ ise, $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ fonksiyonu $\mathbf{a}$ noktasında türevlenebilirdir.
• $T$, $f'(\mathbf{a})$ ile gösterilir.
• Eğer tüm kısmi türevler $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ mevcutsa ve $\mathbf{a}$'nın bir komşuluğunda sürekli ise, $f$, $\mathbf{a}$'da türevlenebilirdir ve $f'(\mathbf{a}) = J_f(\mathbf{a})$'dır.
• $J_f(\mathbf{a})$, $f$'nin $\mathbf{a}$ noktasındaki Jacobian matrisidir.

Zincir Kuralı

• $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$, $\mathbf{a}$'da türevlenebilir ve $g: B \subseteq \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k$, $\mathbf{b} = f(\mathbf{a})$'da türevlenebilir olsun.
• $g \circ f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$, $\mathbf{a}$'da türevlenebilirdir ve $(g \circ f)'(\mathbf{a}) = g'(\mathbf{b}) \circ f'(\mathbf{a})$'dır.
• Eşdeğer olarak, $J_{g \circ f}(\mathbf{a}) = J_g(f(\mathbf{a})) J_f(\mathbf{a})$'dır.

Yüksek Mertebeden Türevler

• $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ olsun.
• $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, $A$'dan $\mathbb{R}$'ye bir fonksiyondur (eğer mevcutsa).
• $\frac{\partial f}{\partial x_i}$'nin türevlenebilir olup olmadığı sorulabilir.
• Eğer türevlenebilirse, kısmi türevleri $\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)$ hesaplanabilir ve bu $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ ile gösterilir.
• Özel olarak, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_i}$'dir.
• $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{a} \in A$, ve $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ ve $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$, $\mathbf{a}$'nın bir komşuluğunda sürekli olsun.
• Bu durumda, $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\mathbf{a}) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(\mathbf{a})$'dır.