gtr3e2wqa

Waarskynlikheidsidentiteite

Die Optelreël

• Die optelreël (somreël) vir enige twee gebeurtenisse ( A ) en ( B ) is:
  • ( P(A \text{ of } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ en } B) )
• Hierdie reël verbind die waarskynlikhede van twee gebeurtenisse met die waarskynlikhede van hul unie en interseksie.
• Vir twee onderling uitsluitende gebeurtenisse vereenvoudig die optelreël na:
  • ( P(A \text{ of } B) = P(A) + P(B) )
• Hierdie vereenvoudiging is omdat onderling uitsluitende gebeurtenisse nie gelyktydig kan voorkom nie, dus:
  • ( P(A \text{ en } B) = 0 )

Die Komplementêre Reël

• Die komplementêre reël bepaal:
  • ( P(\text{nie } A) = 1 - P(A) )
• Aangesien ( A ) en ( \text{nie } A ) komplementêr is:
  • ( P(A \text{ of nie } A) = 1 )

Die Produk Reël vir Onafhanklike Gebeurtenisse

• Vir onafhanklike gebeurtenisse ( A ) en ( B ) is die produkreël:
  • ( P(A \text{ en } B) = P(A) \times P(B) )
• As twee gebeurtenisse ( A ) en ( B ) afhanklik is, dan:
  • ( P(A \text{ en } B) \neq P(A) \times P(B) )

Onderlinge Uitsluiting en Onafhanklikheid

• Gebeurtenisse ( A ) en ( B ) is onderling uitsluitend as:
  • ( P(A \text{ en } B) = 0 )
• Gebeurtenisse ( A ) en ( B ) is onafhanklik as:
  • ( P(A \text{ en } B) = P(A) \times P(B) )
• Net omdat twee gebeurtenisse onderling uitsluitend is, beteken dit nie dat hulle onafhanklik is nie.
• Om te toets of gebeurtenisse onafhanklik is, verifieer of:
  • ( P(A \text{ en } B) = P(A) \times P(B) )

Onderling Uitsluitende Gebeurtenisse

• Onderling uitsluitende gebeurtenisse kan nie terselfdertyd plaasvind nie.
• Daar is geen interseksie tussen hierdie gebeurtenisse nie.
• As twee gebeurtenisse onderling uitsluitend is:
  • ( P(A \text{ en } B) = 0 )
  • ( P(A \text{ of } B) = P(A) + P(B) )
• As gebeurtenisse onderling uitsluitend is, oorvleuel hulle nie, dus die interseksie van ( A ) en ( B ) is leeg, geskryf as ( A \cap B = \emptyset ), en ( P(A \cup B) = 0 ).

Komplementêre Gebeurtenisse

• Komplementêre gebeurtenisse is onderling uitsluitend en maak die hele voorbeeldruimte uit.
• Daar is geen interseksie nie, en geen elemente van die voorbeeldstel is buite die twee stelle nie.
• Die komplementêre reël is:
  • ( P(A') + P(A) = 1 ) of ( P(A') = 1 - P(A) )

Simbole en Versamelings in Waarskynlikheid

• ( S ): Voorbeeldruimte, die versameling van alle moontlike uitkomste.
• ( A, B ): Gebeurtenisse, subversamelings van die voorbeeldruimte.
• ( P(A) ): Waarskynlikheid van gebeurtenis ( A ).
• ( n(A) ): Aantal elemente in versameling ( A ).
• ( A' ): Komplement van ( A ), alle elemente nie in ( A ) nie.
• ( A \cup B ): Unie van versamelings ( A ) en ( B ), alle elemente in ( A ) of ( B ).
• ( A \cap B ): Interseksie van versamelings ( A ) en ( B ), alle elemente in beide ( A ) en ( B ).

Gereedskap en Tegnieke in Waarskynlikheid

Venn-diagramme

• Venn-diagramme word gebruik om aan te dui hoe gebeurtenisse met mekaar verband hou.
• Elke gebeurtenis word voorgestel deur 'n vorm, dikwels 'n sirkel of 'n reghoek.
• Die gebied binne die vorm verteenwoordig die uitkomste wat by die gebeurtenis ingesluit is, en die gebied buite die vorm verteenwoordig die uitkomste wat nie in die gebeurtenis is nie.

Boomdiagramme

• Boomdiagramme is nuttig om die verskillende moontlike uitkomste van 'n reeks gebeurtenisse te organiseer en te visualiseer.
• Elke tak in die boom toon 'n uitkoms van 'n gebeurtenis, saam met die waarskynlikheid van daardie uitkoms.
• Vir elke moontlike uitkoms van die eerste gebeurtenis word 'n lyn getrek waar die waarskynlikheid van daardie uitkoms en die toestand van die wêreld as daardie uitkoms gebeur het, geskryf word.
• Dan, vir elke moontlike uitkoms van die tweede gebeurtenis, word dieselfde gedoen.
• Die waarskynlikheid van 'n opeenvolging van uitkomste word bereken as die produk van die waarskynlikhede langs die takke van die opeenvolging.

Tweerigting-gebeurlikheidstabelle

• Tweerigting-gebeurlikheidstabelle is 'n hulpmiddel om 'n rekord te hou van die tellings of persentasies in 'n waarskynlikheidsprobleem.
• Hulle is veral nuttig om uit te vind of gebeurtenisse afhanklik of onafhanklik is.

Konsepte en Berekeninge

Onderling Uitsluitende Gebeurtenisse

• Onderling uitsluitende gebeurtenisse is gebeurtenisse wat nie terselfdertyd kan plaasvind nie.
• Daar is geen interseksie tussen die gebeurtenisse nie.
• Vir onderling uitsluitende gebeurtenisse:
  • ( P(A \text{ of } B) = P(A) + P(B) )

Komplementêre Gebeurtenisse

• Komplementêre gebeurtenisse is onderling uitsluitend en maak die hele voorbeeldruimte uit.
• Daar is geen interseksie nie, en geen elemente van die voorbeeldstel is buite die twee stelle nie.
• Die komplementêre reël is:
  • ( P(\text{nie } A) = 1 - P(A) )

Sleutelreëls

• Optelreël: Vir enige twee gebeurtenisse ( A ) en ( B ):
  • ( P(A \text{ of } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ en } B) )
• Vir onderling uitsluitende gebeurtenisse:
  • ( P(A \text{ of } B) = P(A) + P(B) )
• Produk Reël vir Onafhanklike Gebeurtenisse: Vir onafhanklike gebeurtenisse ( A ) en ( B ):
  • ( P(A \text{ en } B) = P(A) \times P(B) )
• Komplementêre Reël:
  • ( P(\text{nie } A) = 1 - P(A) )

Die Fundamentele Telsbeginsels

Inleiding tot Tels

• Wiskunde het begin met tels.
• Aanvanklik is vingers, boontjies en knope gebruik om te help met tels, maar dit is slegs prakties vir klein getalle.
• Wanneer 'n groot aantal items getel moet word, word wiskundige tegnieke gebruik.

Die Fundamentele Telsbeginsel

• Die fundamentele telsbeginsel bepaal dat as daar ( n(A) ) uitkomste in gebeurtenis ( A ) is en ( n(B) ) uitkomste in gebeurtenis ( B ) is, dan is daar ( n(A) \times n(B) ) uitkomste in gebeurtenis ( A ) en gebeurtenis ( B ) saam.
• As daar ( n_1 ) moontlike uitkomste vir gebeurtenis ( A ) en ( n_2 ) uitkomste vir gebeurtenis ( B ) is, dan is die totale moontlike aantal uitkomste vir beide gebeurtenisse:
  • ( n_1 \times n_2 )
• Dit kan veralgemeen word na ( k ) gebeurtenisse, waar ( k ) die aantal gebeurtenisse is.
• Die totale aantal uitkomste vir ( k ) gebeurtenisse is:
  • ( n_1 \times n_2 \times n_3 \times \cdots \times n_k )

Berekeninge vir Herhaling Toegelaat

• As daar ( n ) voorwerpe is om van te kies en jy kies ( r ) keer daaruit, is die totale aantal moontlikhede:
  • ( n \times n \times \cdots \times n ; (\text{r kere}) = n^r )

Faktoriaal Notasie

Die Konsep van Faktoriaal Notasie

• In telprobleme is dit algemeen dat die uitkoms van die eerste gebeurtenis die aantal moontlike uitkomste vir die tweede gebeurtenis met presies 1 verminder, en die uitkoms van die tweede gebeurtenis die moontlike uitkomste vir die derde gebeurtenis met nog 1 verminder, ens.
• Hierdie soort probleem kom gereeld voor en word voorgestel deur faktoriaal notasie te gebruik.
• Vir 'n heelgetal ( n ), verteenwoordig die notasie ( n! ) (gelees as ``n faktoriaal'') die produk van alle positiewe heelgetalle tot ( n ):
  • ( n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 )
• Die totale aantal moontlike rangskikkings van ( n ) verskillende voorwerpe word gegee deur ( n! ).
• Daarbenewens word ( 0! ) gedefinieer as:
  • ( 0! = 1 )

Belangrike Eienskappe van Faktoriaal Notasie

• Die faktoriaal van enige nie-negatiewe heelgetal ( n ) is die produk van alle positiewe heelgetalle kleiner as of gelyk aan ( n ).
• Die faktoriaal van ( n ) kan gebruik word om uitdrukkings wat permutasies en kombinasies behels, te vereenvoudig.
• Vir enige positiewe heelgetal ( n ):
  • (\frac{n!}{(n-1)!} = n)
• Faktoriaal notasie kan op verskillende maniere uitgebrei en vereenvoudig word, afhangende van die konteks.
• Faktoriaal notasie is 'n fundamentele konsep in waarskynlikheid en kombinatoriek, wat help om 'n wye verskeidenheid telprobleme doeltreffend op te los.

Toepassing op Telprobleme

Rangskikking van Uitkomste Sonder Herhaling

• Agt atlete neem deel aan 'n 400 m wedloop.
• Die aantal verskillende maniere waarop die eerste drie plekke gerangskik kan word, word gevind deur die keuses wat vir elke posisie beskikbaar is, te oorweeg.
• Vir die eerste plek is daar 8 keuses.
• Vir die tweede plek is daar 7 oorblywende keuses, en vir die derde plek is daar 6 oorblywende keuses.
• Daarom is die aantal verskillende maniere om die eerste drie plekke te rangskik:
  • ( 8 \times 7 \times 6 = 336 )

Rangskikking van Voorwerpe met Beperkings

• In 'n situasie waar beperkings toegepas word, soos dat die jongste seun en die oudste seun saam moet sit, kan die probleem vereenvoudig word deur die beperkte paar as 'n enkele entiteit te behandel.
• As daar sewe seuns is, en die jongste en oudste moet saam sit, word hierdie paar as een behandel, wat ses entiteite laat om te rangskik.
• Die totale aantal rangskikkings is dan die aantal maniere om ses entiteite te rangskik, vermenigvuldig met die aantal maniere om die paar te rangskik:
  • ( 6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440 )
  • As die beperking is dat die jongste en oudste nie saam moet sit nie, is die totale aantal rangskikkings die totale moontlike rangskikkings sonder beperkings minus die aantal rangskikkings waar hulle saam sit: ( 7! - 1440 = 5040 - 1440 = 3600 )

Rangskikking van Letters

• Wanneer letters in 'n woord gerangskik word waar sommige letters mag herhaal, word die totale aantal unieke rangskikkings gevind deur die faktoriaal van die totale aantal letters te deel deur die produk van die faktoriale van die tellings van elke herhaalde letter.
• Vir 'n woord soos ``BASSOON'':
  • Totale rangskikkings = ( \frac{7!}{2! \times 2!} )

Gebruik van Telsbeginsels in Waarskynlikheid

• Die telsbeginsels wat bespreek is, word toegepas om waarskynlikhede van verskeie uitkomste te bereken.
• Die aantal gunstige uitkomste gedeel deur die totale aantal moontlike uitkomste gee die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis.
• Byvoorbeeld, die waarskynlikheid dat 'n ewekansige rangskikking van letters begin en eindig met 'n spesifieke letter, word gevind deur die aantal sulke spesifieke rangskikkings te bereken en te deel deur die totale aantal rangskikkings.

Toepassing op Waarskynlikheidsprobleme

• Wanneer die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis bepaal word, en die totale aantal rangskikkings in die voorbeeldruimte ( S ) en die totale aantal rangskikkings vir die gebeurtenis ( E ) groot is, kan die fundamentele telsbeginsel gebruik word.
• Die waarskynlikheid van die gebeurtenis ( E ) word gegee deur die totale aantal rangskikkings van die gebeurtenis gedeel deur die totale aantal rangskikkings van die voorbeeldruimte:
  • ( P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} )

Persoonlike Identifikasie Nommers (PINs)

• Aantal moontlike PINs as syfers herhaal kan word: ( 10^4 = 10,000 )
• Aantal moontlike PINs as syfers nie herhaal kan word nie: ( 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5,040 )
• Waarskynlikheid dat 'n PIN ten minste een Agt bevat (met herhaling):
  • Totale aantal moontlike PINs = 10,000
  • PINs met geen 8's = ( 9^4 = 6,561 )
  • P(ten minste een 8) = 1 - P(geen 8) = ( 1 - \frac{6561}{10000} = 0.3439 )
• Waarskynlikheid dat 'n PIN ten minste een Agt bevat (sonder herhaling):
  • Totale aantal moontlike PINs = 5,040
  • PINs met geen 8's = ( 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3,024 )
  • P(ten minste een 8) = 1 - P(geen 8) = ( 1 - \frac{3024}{5040} = 0.4 )

Nommerplate

• Vir 'n motor nommerplaat wat bestaan uit 3 letters (uitgesluit vokale en 'Q') gevolg deur 3 syfers (0-9):

Waarskynlikheid dat die Nommerplaat met `Y' Begin en met 'n Onewe Syfer Eindig

• Nommer van Voordelige Gebeurtenisse:
• 1 opsie vir die eerste letter (Y') en 5 opsies vir die laaste syfer (1, 3, 5, 7, 9). Daar is 20 opsies vir elk van die tweede en derde letters (21 moontlike letters minus Y' self), en 10 opsies vir elk van die eerste en tweede syfers.
  • Gunstig ( = 1 \times 20 \times 20 \times 10 \times 10 \times 5 = 200{,}000 )
• Totale aantal moontlike nommerplate:
  • Totaal ( = 21 \times 21 \times 21 \times 10 \times 10 \times 10 = 926{,}100 )
• Waarskynlikheid ( = \frac{200{,}000}{926{,}100} \approx 0.216 )

Waarskynlikheid van Woordrangskikkings

• Vir die woord ``BASSOON":

Waarskynlikheid dat die Woord Begin en Eindig met Dieselfde Letter

• Totale aantal moontlike rangskikkings ( = \frac{7!}{2! \times 2!} = 1{,}260 )
• Aantal rangskikkings wat begin en eindig met dieselfde letter:
  • As die woord begin en eindig met `S':
    • (\frac{5!}{2!} = 60)
  • As die woord begin en eindig met `O':
    • (\frac{5!}{2!} = 60)
• Totale gunstige rangskikkings:
  • ( 60 + 60 = 120 )
• Waarskynlikheid:
  • ( P = \frac{120}{1260} = 0.0952 )