Vraagstukken Oplossen & Fibonacci

Oplossingsmethodes voor Vraagstukken

• De rij van Fibonacci is een reeks getallen die met twee keer het getal 1 begint.
• Elk volgend getal in de rij is de som van de twee voorgaande getallen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, enzovoort.
• De rij van Fibonacci komt veelvuldig in de natuur voor, bijvoorbeeld bij de voortplanting van konijnen, de opbouw van nautilusschelpen, en de ontwikkeling van bijenpopulaties.
• De spiraalvormige zaadverdeling in zonnebloemen kan ook aan de rij van Fibonacci worden gelinkt.

3.1 Vraagstukken Oplossen met Hoofdbewerkingen

• Sectie 3.1 behandelt het oplossen van vraagstukken met hoofdbewerkingen.

1 Hoofdbewerkingen

• Het internationaal ruimtestation (ISS) vliegt rond de aarde met een snelheid van 27.660 km/u.

• De omtrek van de baan van het ISS is ongeveer 42.412 km.

• De omwentelingstijd van het ISS is 92 minuten.

• Een laptop kost 720 euro.

• Er is reeds 510 euro gespaard.

• Er kan wekelijks 7 euro van het zakgeld worden gespaard.

• Er moet nog 30 weken worden gespaard om de laptop te kunnen kopen.

2 De Regel van Drie

• De regel van drie is een methode om problemen met verhoudingen op te lossen.
• Bij een spaghettifeestje waren er vorig jaar 24 personen aanwezig, en was er 1920 g spaghetti nodig.
• Dit jaar zijn er 30 personen.
• Voor 30 personen is 2400 gram spaghetti nodig.
• Om de regel van drie toe te passen, zoek eerst naar de twee grootheden in het vraagstuk.
• Noteer de gevraagde grootheid rechts.
• Herleid in de tweede lijn naar 1.
• Herleid in de derde lijn naar het gevraagde getal.
• Geef een antwoord.

3 Werken met een Verhoudingstabel

• Een verhoudingstabel is een hulpmiddel voor het oplossen van rekenproblemen met verhoudingen.

• Het is vergelijkbaar met de regel van drie, maar het antwoord staat in een tabel.

• Vorig jaar waren er 24 personen op een spaghettifeest, waarvoor 1920 g spaghetti nodig was.

• Dit jaar zijn er 18 personen.

• Er is 1440 g spaghetti nodig voor 18 personen.

• Voor 5 m³ notelaar betaalt een meubelmaker 370 euro.

• Voor 8 m³ notelaar betaalt de meubelmaker 592 euro.

• Om een verhoudingstabel op te lossen, zoek je de twee grootheden en noteer je die onderaan de tabel.

4 Samenvatting

• Het is belangrijk om de gegevens en het gevraagde uit een tekst te kunnen halen.
• Het bepalen van de verhouding tussen getallen is cruciaal.
• De regel van drie is een nuttige methode.
• Vraagstukken kunnen worden opgelost door hoofdbewerkingen, een verhoudingstabel, of de regel van drie.

5 Oefeningen

• Een fietser legt in 10 minuten 3 km af, dus in een halfuur legt hij 9 km af.
• Om 24 koekjes te bakken is 600 g bloem nodig. Om 10 koekjes te bakken is 250 g bloem nodig.
• Om zijn oprit 20 cm te verhogen heeft Tim 8 vrachtwagens zand nodig, voor 50 cm zijn dat 20 vrachtwagens.
• Een printer drukt 12 pagina's per minuut af, om een document van 57 pagina's af te drukken heeft de printer 4 min 45 sec nodig.
• Bepaal de verhouding van hoogte en breedte van het scherm: 5:3, 21:9, 8:5.
• Vul de volgende verhoudingen aan:
• 1 sec staat tot 1 minuut als 1 staat tot 60.
• 1 sec staat tot 1 uur als 1 staat tot 3600 .
• 1cm staat tot 1 m als 1 staat tot 100.
• Het kleinste getal is 52, het grootste 156 staat tot 1 tot 3.
• Vul de volgende verhoudingstabellen aan.
• Bij een gezamenlijke winst van 1890 euro, krijgt Floris 840 euro en Guus 1050 euro.
• Verdeel 640 euro onder Jan, Frieda en Karel zodat hun bedragen zich verhouden als de getallen 4, 5 en 7.
• Jan krijgt 160 euro, Frieda 200 euro en Karel 280 euro.

3.2 Vraagstukken Oplossen in Verbrand met Deelbaarheid

• Sectie 3.2 behandelt het oplossen van vraagstukken in verband met deelbaarheid.

1 Priemgetallen

• Een priemgetal is een natuurlijk getal met precies twee delers: 1 en zichzelf.
• Voorbeelden van priemgetallen zijn 3 en 71.
• 51 is geen priemgetal, want het is deelbaar door 3 en 17.
• 1 en 0 zijn geen priemgetallen.
• Priemgetallen kleiner dan 20 zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 en 19.

2 Ontbinden in Priemfactoren

• Elk niet-priemgetal kan worden geschreven als een product van priemfactoren.
• 6 = 2.3
• 12 = 2.2.3 = 2².3
• 18 = 2.3.3 = 2.3²
• Alle priemfactoren van een deler van een getal zijn ook priemfactoren van dat getal zelf.
• Alle priemfactoren van een getal zijn ook factoren van elk veelvoud van dat getal.
• Voorbeeld: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5

3 Grootste Gemeenschappelijke Deler

• De grootste gemeenschappelijke deler (ggd) van twee getallen is het grootste getal dat beide getallen deelt.
• Notatie: ggd(a, b).
• De ggd van twee getallen is nooit groter dan het kleinste van de twee.
• De ggd kan uit het hoofd, via opsomming van delers, of via het algoritme van Euclides worden bepaald.
• Het algoritme van Euclides stelt dat ggd(a, b) = ggd(b, r), met r als de rest van de deling van a door b.

4 Kleinste Gemeenschappelijk Veelvoud

• Het kleinste gemeenschappelijk veelvoud (kgv) van twee getallen is het kleinste getal ongelijk aan nul, een veelvoud van beide.
• Notatie: kgv(a, b).
• Het kgv van twee getallen is nooit kleiner dan het grootste van de twee.
• Het kgv kan uit het hoofd, via opsomming van veelvouden of door ontbinding in priemfactoren worden bepaald.
• 18 = 2*3^2 en 24 = 2^3*3, dus kgv(18,24) = 2^3*3^2 = 72

5 Samenvatting

• De begrippen "grootste gemeenschappelijke deler" en "kleinste gemeenschappelijk veelvoud" zijn gedefinieerd.
• De ggd en kgv van getallen kunnen worden bepaald door ze uit het hoofd te berekenen of door factoren te gebruiken.
• Een priemgetal is een natuurlijk getal dat precies twee verschillende delers heeft, namelijk 1 en zichzelf.
• Onderling ondeelbare getallen hebben 1 als ggd.

6 Oefeningen

• Vind de grootste gemene deler van:
• 30 en 20: 10
• 48 en 60: 12
• 27 en 36: 9
• 12 en 24: 12
• 30 en 45: 15
• 28 en 42: 14
• 10 en 15: 5
• 21 en 14: 7
• 32 en 56: 8
• 24, 48 en 60: 12
• 80, 100 en 220: 20
• 26, 39 en 130: 13
• Vind de kleinste gemeenschappelijke factor van:
• 4 en 7: 28
• 8 en 6: 24
• 20 en 30: 60
• 4 en 12: 12
• 10 en 15: 30
• 18 en 27: 54
• 24 en 36: 72
• 20 en 25: 100
• 8 en 12: 24
• 4, 5 en 6: 60
• 4, 10 en 25: 100
• 6, 10 en 12: 60
• Pass het algoritme van Euclides toe: ggd (424, 64), ggd (231, 84), ggd (504, 180).
• Bepaal telkens de grootste gemeenschappelijke deler.
• Bepaal telkens het kleinste gemeenschappelijke deler aan.

3.3 Opgaven Oplossen door het Gebruik van Letters

• Sectie 3.3 geeft uitleg over hoe opgaven op te lossen door letters te gebruiken.

1 Even Kennismaken

• Lettervormen in wiskunde worden gebruikt om eigenschappen en bewerkingen in symbolen te noteren.
• Een lettervorm is een uitdrukking waarin letters getallen vertegenwoordigen.
• Voorbeelden:
  • 3 * a * b (product van letters en getallen)
  • x + y + 6 (som van letters en getallen)
  • 2x = 12 (vergelijking in de onbekende x)
  • a * b = b * a (vermenigvuldigen is commutatief)
  • A = (b * h) / 2 (oppervlakteformule van een driehoek)
  • I = k * i * t (interestformule economie)
  • R = U / I (wet van Ohm, een formule uit de elektronica)
• Afspraken:
  • Het vermenigvuldigingsteken mag worden weggelaten tussen letters en tussen een getal en een letter.
    • 3 * a wordt 3a
    • a * b * c wordt abc
    • 3 * 4 blijft 3 · 4
  • In een lettervorm die een product voorstelt, schrijven we het cijfergedeelte (coëfficiënt) eerst,
    • Het lettergedeelte wordt alfabetisch gerangschikt:
    • b * 5 * a * c wordt 5abc
  • De factor 1 wordt niet geschreven: 1 * x * y wordt xy

2 Gebruik van Letters bij Regelmaat

• Letters worden gebruikt om de regelmaat tussen een aantal puppy's en een aantal pootjes weer te geven.

  • Als h het aantal puppy's is en p het aantal pootjes, dan hebben we volgende relaties

  • h = 1 → p = 4

  • h = 2 → p = 8

  • h = 3 → p = 12

  • h = 4 → p = 16

  • h = 5 → p = 20

  • Aangezien elke puppy vier pootjes heeft, wordt dit: aantal pootjes = 4 * aantal honden

  • Vandaar: p = 4.h

• Een tabel voor het aantal lucifers die nodig zijn om een aantal vierkanten te maken, waarbij v het aantal vierkanten is en l het aantal lucifers.

  • v = 1 → l = 4

  • v = 2 → l = 7

  • v = 3 → l = 10

  • v = 4 → l = 13

  • v = 5 → l = 16

  • v = 6 → l = 19

  • v = 7 → l = 22

  • Aantal lucifers is gelijk aan het drievoud van het aantal vierkanten vermeerderd met één: aantal lucifers = 3 * aantal vierkanten + 1

  • Vandaar: 1 = 3v + 1

3 De Letter als Plaatsvervanger van een Getal

• Om de oppervlakte van * een parallellogram* te bepalen, kan volgende formule worden gebruikt A = b.h waarde voor b cm) waarde voor h (in cm) oppervlakte A (in cm²) · 10 5 50 18 6 108 20 12 240 b h b ℎ = 𝐴

• Om de ritprijs met de taxi te bepalen, kan volgende formule worden gebruikt 3 + 2· n = p n aantal gereden km p te betalen prijs (in €) 6 3 + 2 · 6 = 15 25 3 + 2 · 25 = 53

4 Samenvatting

• Bij lettervormen staat het cijfergedeelte vooraan en het letterdeel alfabetisch.
• Het is belangrijk om een eenvoudige woordformule op te zetten vanuit een reeks getallen of figuren.
• Letters kunnen worden vervangen door getallen om de bewerkingen uit te voeren en bepaalde zaken weer te geven.

5 Oefeningen

• Vul aan de reeks:
• Bepaal het verband tussen het aantal ingekleurde vierkantjes v en het nummer van de figuur n: v = n of y = 2n-1

3.4 Opgaven Oplossen met Vergelijkingen

• In sectie 3.4, leer hoe je wiskundige problemen met vergelijkingen oplost.

1 Vergelijkingen

• Een vergelijking is een gelijkheid met een onbekend element.
• Het linkerlid staat links en het rechterlid rechts van het = teken.
• Het doel is om de mogelijke waarden te vinden voor de onbekende die de gelijkheid correct maken.
• Een voorbeeld: x + 21 = 35.
• Als x aan beide kanten een bewerking krijgen staat de balans in evenwicht
• Zo komt men tot de waarde van x =14

2 Opgaven

• Om een aantal opgaven op te lossen:
  • Lees de opdracht volledig.
  • Stel x voor hetgeen wat je zoekt.
  • Vertaal het probleem naar een gelijkwaardige vergelijking.
  • Voer de oplossing stap voor stap uit.
  • Controleer uw vergelijking.
  • In een voorbeeld stelt iemand de vergelijking naar:
  • 3x = 30
• De opgave is nu vereenvoudigd, los deze opdeling opnieuw door.
• x= 10

3 Procent berekeningen

• Vele vragen in verband met procenten ( % ) kan je herleiden door de vergelijking te herhalen
• Bepaal % x is van = 68
• Zet X= 17 %

4 Formules Transformaties

• Formules Omvormen kunnen gebruikt worden om een vergelijking op te lossen.
• Gebruik A = l.b, zet X = en los de deling als laatste op.

5 Overzicht

    - Hierdoor kan je vergelijkingen vereenvoudigen tot, x+a=b met x op de oorspronkelijke waarde.

6 Oefeningen

• 2x+7 te leren
• 5x3 en vergelijkingen op te kunnen lossen

Vaardigheden | ICT: coderen met de Schildpad In GeoGebra

• Met de GeoGebra Schildpad kunnen specifieke acties kunnen worden gedaan
• Met het commando t = Turtle() kun je de Schildpad op het scherm te plaatsen. Om mee te beginnen bevindt zich de schildpad in het midden bij de oorsprong van het as-kruis.
• De primaire commando's om de Schildpad handelingen te laten uitvoeren, zijn:
  • TurtleVooruit(naam van je schildpad afstand) = De schildpad staat hier zijn gegeven bedrag.
  • De TurtleTurnLeft(naam van je schildpad, hoek) = de schildpad staat hier zijn gegeven bedrag in gradaties aan.
  • TurtlePN(naam van je schildpad) = Pennen naar onder.
• Om de schildpad kan worden gebruikt, typ in en dan het commando er achter: