Vektorraum-Axiome erklärt

• Ein Vektorraum ist eine nichtleere Menge $V$ von Objekten, genannt Vektoren, auf der zwei Operationen definiert sind, genannt Addition und Skalarmultiplikation (Multiplikation mit einem Skalar), die die folgenden zehn Axiome erfüllen.

Axiome für die Vektoraddition:

• Die Summe von $\mathbf{u}$ und $\mathbf{v}$, bezeichnet mit $\mathbf{u} + \mathbf{v}$, liegt in $V$. (Abgeschlossen unter Addition.)
• $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$ (Addition ist kommutativ.)
• $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ (Addition ist assoziativ.)
• Es gibt einen Nullvektor $\mathbf{0}$ in $V$, so dass $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$. (Additive Identität.)
• Für jedes $\mathbf{u}$ in $V$ gibt es einen Vektor $-\mathbf{u}$ in $V$, so dass $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$. (Additives Inverses.)

Axiome für die Skalarmultiplikation:

• Das skalare Vielfache von $\mathbf{u}$ mit $c$, bezeichnet mit $c\mathbf{u}$, liegt in $V$. (Abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.)
• $c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}$ (Skalarmultiplikation ist distributiv bzgl. Vektoraddition.)
• $(c + d)\mathbf{u} = c\mathbf{u} + d\mathbf{u}$ (Skalarmultiplikation ist distributiv bzgl. Skalaraddition.)
• $c(d\mathbf{u}) = (cd)\mathbf{u}$ (Skalarmultiplikation ist assoziativ.)
• $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$ (Multiplikative Identität.)

Beispiele

• Sei $n$ eine positive ganze Zahl, $m$ und $n$ nichtnegative ganze Zahlen.
• $\mathbb{R}^n$: die Menge aller $n \times 1$ Matrizen (Spaltenvektoren) mit reellen Einträgen.
• $\mathbb{C}^n$: die Menge aller $n \times 1$ Matrizen mit komplexen Einträgen.
• $M_{m \times n}$: die Menge aller $m \times n$ Matrizen mit reellen Einträgen.
  • Spezielle Fälle:
    • $M_{1 \times n}$: die Menge aller $1 \times n$ Matrizen (Zeilenvektoren) mit reellen Einträgen.
    • $M_{2 \times 2}$: die Menge aller $2 \times 2$ Matrizen mit reellen Einträgen.
• $\mathbb{P}_n$: Die Menge aller Polynome vom Grad höchstens $n$ oder das Nullpolynom.
  • Ein typischer Vektor in $\mathbb{P}_n$ hat die Form $$\mathbf{p}(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 +... + a_nt^n$$ wobei $a_0, a_1, a_2,..., a_n$ reelle Zahlen sind.
• $\mathbb{F}(\mathbb{R})$: Die Menge aller reellwertigen Funktionen, die auf der gesamten reellen Zahlengerade definiert sind.

Theorem

• Sei $V$ ein Vektorraum, $\mathbf{u}$ ein Vektor in $V$ und $c$ ein Skalar. Dann gilt:
  • $0\mathbf{u} = \mathbf{0}$
  • $c\mathbf{0} = \mathbf{0}$
  • $(-1)\mathbf{u} = -\mathbf{u}$
  • Wenn $c\mathbf{u} = \mathbf{0}$, dann ist $c = 0$ oder $\mathbf{u} = \mathbf{0}$.