Vektor dan Operasinya

Vektor

• Definisi Vektor
  • Vektor adalah entitas matematika yang memiliki arah dan magnitudo (besar).
  • Dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat, misalnya vektor di ruang dua dimensi (x, y) atau tiga dimensi (x, y, z).

Operasi Dasar Vektor

1. Penjumlahan Vektor

   • Vektor A dan B dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen-komponennya.
   • Secara matematis:
     • A = (a1, a2)
     • B = (b1, b2)
     • A + B = (a1 + b1, a2 + b2)

2. Pengurangan Vektor

   • Vektor A dikurangi vektor B dengan mengurangkan komponen-komponennya.
   • Secara matematis:
     • A - B = (a1 - b1, a2 - b2)

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

   • Vektor A dikalikan dengan skalar k dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan k.
   • Secara matematis:
     • kA = (ka1, ka2)

4. Perkalian Skalar (Dot Product)

   • Dihitung dengan mengalikan komponen yang bersesuaian dan menjumlahkannya.
   • Secara matematis:
     • A • B = a1b1 + a2b2
   • Hasilnya adalah bilangan skalar.

5. Perkalian Vektor (Cross Product)

   • Hanya berlaku untuk vektor di ruang tiga dimensi.
   • Hasilnya adalah vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan.
   • Secara matematis:
     • A × B = |A||B|sin(θ)n, di mana θ adalah sudut antara A dan B, dan n adalah unit vektor yang tegak lurus.

6. Panjang (Magnitudo) Vektor

   • Panjang vektor A = √(a1² + a2²) untuk dua dimensi.
   • Untuk tiga dimensi: |A| = √(a1² + a2² + a3²).

7. Unit Vektor

   • Vektor dengan panjang 1.
   • Dihitung dengan membagi vektor dengan panjangnya:
     • A_unit = A / |A|.

8. Vektor Nol

   • Vektor yang tidak memiliki arah dan magnitudo; semua komponen bernilai nol (0, 0) atau (0, 0, 0).

Dengan memahami operasi dasar vektor, kita dapat menganalisis dan memecahkan berbagai masalah dalam fisika, teknik, dan bidang lain yang melibatkan analisis arah dan magnitudo.

Definisi Vektor

• Vektor adalah entitas matematika yang memiliki dua atribut utama: arah dan magnitudo (besar).
• Vektor dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk koordinat, seperti vektor dua dimensi (x, y) atau tiga dimensi (x, y, z).

Operasi Dasar Vektor

• Penjumlahan Vektor

  • Vektor A dan B dapat dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen-komponennya.
  • Secara matematis: A + B = (a1 + b1, a2 + b2).

• Pengurangan Vektor

  • Vektor A dikurangi vektor B dengan mengurangkan komponen masing-masing.
  • Secara matematis: A - B = (a1 - b1, a2 - b2).

• Perkalian Vektor dengan Skalar

  • Vektor A dikalikan dengan skalar k dengan mengalikan setiap komponen dengan k.
  • Secara matematis: kA = (ka1, ka2).

• Perkalian Skalar (Dot Product)

  • Dihitung dengan mengalikan komponen yang bersesuaian dan menjumlahkannya untuk menghasilkan bilangan skalar.
  • Secara matematis: A · B = a1b1 + a2b2.

• Perkalian Vektor (Cross Product)

  • Hanya berlaku untuk vektor di ruang tiga dimensi.
  • Hasilnya adalah vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan.
  • Secara matematis: A × B = |A||B|sin(θ)n, di mana θ adalah sudut antara A dan B.

• Panjang (Magnitudo) Vektor

  • Untuk menghitung panjang vektor A dua dimensi: |A| = √(a1² + a2²).
  • Untuk vektor tiga dimensi: |A| = √(a1² + a2² + a3²).

• Unit Vektor

  • Vektor dengan panjang 1.
  • Dihitung dengan membagi vektor dengan panjangnya: A_unit = A / |A|.

• Vektor Nol

  • Vektor yang tidak memiliki arah dan magnitudo.
  • Semua komponen bernilai nol, misalnya (0, 0) atau (0, 0, 0).

Aplikasi Vektor

• Memahami operasi dasar vektor penting untuk menganalisis dan memecahkan masalah dalam fisika, teknik, dan bidang lain yang berkaitan dengan analisis arah dan magnitudo.

Definisi Vektor

• Vektor adalah entitas matematika dengan arah dan magnitudo.
• Dapat dinyatakan dalam koordinat dua dimensi (x, y) atau tiga dimensi (x, y, z).

Operasi Dasar Vektor

• Penjumlahan Vektor

  • Vektor A dan B dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen.
  • Contoh: A = (a1, a2), B = (b1, b2) maka A + B = (a1 + b1, a2 + b2).

• Pengurangan Vektor

  • Vektor A dikurangi vektor B dengan mengurangkan komponen.
  • Contoh: A - B = (a1 - b1, a2 - b2).

• Perkalian Vektor dengan Skalar

  • Vektor A dikalikan skalar k dengan mengalikan setiap komponen dengan k.
  • Contoh: kA = (ka1, ka2).

• Perkalian Skalar (Dot Product)

  • Dihitung dengan mengalikan komponen yang bersesuaian dan menjumlahkan hasilnya.
  • Contoh: A · B = a1 * b1 + a2 * b2, menghasilkan bilangan skalar.

• Perkalian Vektor (Cross Product)

  • Hanya berlaku untuk vektor di ruang tiga dimensi.
  • Hasilnya adalah vektor tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan.
  • Contoh: A × B = |A||B|sin(θ)n, dengan θ sebagai sudut antara A dan B.

• Panjang (Magnitudo) Vektor

  • Panjang vektor di dua dimensi dihitung dengan √(a1² + a2²).
  • Untuk tiga dimensi, ukuran dinyatakan sebagai |A| = √(a1² + a2² + a3²).

• Unit Vektor

  • Vektor dengan panjang 1, dihitung dengan membagi vektor dengan panjangnya.
  • Contoh: A_unit = A / |A|.

• Vektor Nol

  • Memiliki arah dan magnitudo nol; semua komponen bernilai nol (0, 0) atau (0, 0, 0).

Penerapan Vektor

• Operasi dasar vektor penting dalam analisis masalah di fisika, teknik, dan bidang lainnya yang melibatkan analisis arah dan magnitudo.