Mathématiques: Définition des Vecteurs

Définition et Représentation des Vecteurs

• Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Il représente un déplacement dans l'espace.
• On note généralement un vecteur avec une flèche au-dessus, par exemple $\overrightarrow{u}$.
• Un vecteur peut être représenté graphiquement par une flèche dont la direction, le sens et la longueur correspondent aux caractéristiques du vecteur.

Opérations sur les Vecteurs

• Somme de vecteurs: La somme de deux vecteurs est un vecteur qui représente le déplacement obtenu en effectuant successivement les deux translations associées aux deux vecteurs. On peut la représenter graphiquement par la règle du parallélogramme.
• Produit d'un vecteur par un scalaire (nombre réel): Le vecteur résultant a la même direction que le vecteur initial, le même sens si le scalaire est positif et le sens opposé si le scalaire est négatif; sa norme est multipliée par la valeur absolue du scalaire.

Vecteurs et Translations

• Une translation est une transformation géométrique qui déplace tous les points d'un espace d'une même distance et dans la même direction.
• Le vecteur associé à une translation est le vecteur qui représente ce déplacement.
• Relation de Chasles: Pour trois points A, B et C, on a : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Bases Orthonormées et Coordonnées

• Une base orthonormée est un ensemble de vecteurs unitaires (de norme 1) et orthogonaux (perpendiculaires) entre eux.
• Dans une base orthonormée, les coordonnées d'un vecteur sont les projections de ce vecteur sur les axes de la base.
• Norme d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ (dans une base orthonormée): $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, où (x, y, z) sont les coordonnées de $\overrightarrow{u}$ dans une base orthonormée.
• Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ (si A = (x1, y1, z1) et B = (x2, y2, z2)): (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).

Colinéarité et Déterminant

• Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction. Cela signifie qu'ils sont proportionnels, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel k tel que $\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}$.
• Critère de colinéarité (base orthonormée): Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
• Le déterminant de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ (dans une base orthonormée):  $det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_1y_2 - x_2y_1$, où (x1, y1) et (x2, y2) sont les coordonnées respectives de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Applications

• Alignement de trois points: Les points A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Parallélisme de deux droites: Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui est parallèle à cette droite.